第三章 勾股定理 讲义 2024——2025学年苏科版八年级数学上册

第三章勾股定理专项训练 2024——2025学年苏科版八年级数学上册 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的 等于 ，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 . 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. （2）在应用勾股定理时要注意它的训练： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么. 知识点2 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过 完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 勾股定理的发现 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 【题型1 用勾股定理解三角形】 【练习1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，上的高长为，则的面积为 ； 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（2024秋•碑林区校级期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．25 C．49 D．64 【练习1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，则等于（    ） A．65 B．45 C．55 D．35 【练习2】（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）数学史上有一个著名的希波克拉底月牙问题，如图，在中，分别以各边为直径作半圆，当，时，阴影部分的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 1．（2024秋•肃州区校级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（　　） A．14 B．34 C．58 D．72 2．（2025秋•锦江区校级月考）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝6，S3＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C． D． 3．（2025春•磁县期末）如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，则正方形B的面积为（　　） 4．（2025春•蔡甸区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是（　　） A．5 B．11 C．17 D．22 5．（2025春•黄石校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝6．分别以AB，AC，BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4等于　 　 ． 6（2025春•东城区校级期中）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图①）中的两个正方形和八个直角三角形按图②方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2（S1＞S2），则下列四个结论：①S1+S2；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，则S1＝3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1＝4S2，其中正确的序号是　 　 ． 7．（2025春•海淀区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1+S4＝35，S3＝26，则S2＝ 　 　 ． 【题型3 利用勾股定理证平方关系】 【例1】（2025春•宁明县期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，则AD2+BC2＝　 　 ． 【练习1】（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【练习2】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【练习3】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图和是外两个等腰直角三角形，，下列说法正确的是： ． ①，且； ②； ③平分； ④取的中点，连，则． 1．（2024秋•温州期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝5，CD＝4，且AC＝AD．记AB长为x，AC长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x2﹣y2 B．x2+y2 C．x﹣y D．x+y 2．（2025春•临潭县校级月考）如图，AC⊥BD，垂足为O，连接AB，BC，CD，AD． 计算：若AO＝1，BO＝2，CO＝3，DO＝4，AB2＝ 　 　 ，BC2＝ 　 　 ，CD2＝ 　 　 ，DA2＝ 　 　 ； 验证：AB2+CD2＝AD2+BC2； 应用：若BC＝6，AD＝8，AB•CD＝40，CD＞AB，求CD﹣AB的值． 【题型4 勾股定理的证明方法】 【练习3】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式： ． 1．（2024秋•长安区校级期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B．S2＝c2+ab C．S1＝S2 D．a2+b2＝c2 【题型5 以弦图为背景的计算题】 【例1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（25八年级下·湖北·期中）如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 【练习3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 1．（2024秋•桐柏县期末）中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角△ABC的两条直角边（m＞n），下列四个说法：①m2+n2＝64，②S△ABC＝12，③m﹣n＝4，④4mn+16＝64．其中说法正确的是（　　） A． ① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．（2025•银川校级一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝24，则S2的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．6 3．（2025•浙江三模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，连结DE与FG相交于点M，延长DE交BC于点N，若M是DE的中点，AB＝8，则EN的长（　　） A． B． C．2 D． 4．（2025秋•新城区校级月考）综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】将两个这样的直角按照按照图②所示摆放，使BC和CD在一条直线上，连接AE． （1）请用a，b，c分别表示出梯形ABDE，△ABC，△CDE，△ACE的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理a2+b2＝c2． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为 　 　 ． （3）如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值 5．（2026•江西模拟）如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为　 　 ． 【强化训练 勾股定理的证明及应用】 1．（2025•锦江区校级开学）如图，x，y，z，w，p分别表示相应线段的长度，其中是无理数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025秋•栖霞区校级月考）若一个直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，则c2＝a2+b2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是 　 　 ． 3．（2025秋•南岸区校级月考）如图△ABC中，AB＝1，BC＝0.9，AC＝1.7，则△ABC的面积为　 　 ． 4．（2025•汇川区二模）如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　 ． 5．（2025春•浙江月考）如图，已知P为△ABC内一点，过点P分别作三边的垂线，垂直分别为E，F，G，若BE＝2，EA＝4，AG＝2，GC＝5，FC＝6，则BF＝　 　 ． 6．（2025•惠州一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝　 　 ． 7．（2025春•萍乡期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P为射线AC上一点．则当△ABP是等腰三角形时，AP的长为　 　 ． 8．（2025春•安阳月考）如图，在△ABC中∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝8，在△ABC所在平面内取点P，使得△ABP为等边三角形，连接CP，则CP的长为 　 　 ． 9．（2024秋•盐湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D是AB上的一点，且BD＝BC，则CD的长为 　 　 ． 10．（2025•沈阳开学）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，M、N分别为BD，AC的中点，BD＝26，MN＝5，则AC的长为　 　 ． 11．（2025秋•栖霞区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ABD＝50°，∠DBC＝10°，EF＝3，求BD的长． 12．（2025春•海淀区校级期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3） 根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 13．（2025春•沈北新区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25，BA＝7，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）BC＝　 　 ． （2）斜边AC上的高线长为 　 　 ． （3）①当P在边AB上时，AP的长为 　 　 ，（用含t的代数式表示）t的取值范围是 　 　 ． ②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 　 　 ． （4）在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $