专题09 二元一次方程组特殊解的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题09 二元一次方程组特殊解的四种考法 类型一、整数解问题 1．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为，求出、的表达式，由得出、等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：解方程组得： ， ， 解得：， ， ， 整理得：， ，均为正整数， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为、、，共个； 故选：A． 2．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当15时，． 则所有满足条件的整数之和为8． 故选：C. 3．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 4．要使方程组有正整数解，求整数a的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，正确表示出y的值是解题关键．根据题意用a表示出y的值，进而得出符合题意的值． 【详解】解：， 由②得：， 故， 则， ∵方程组有正整数解，且a是整数 ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； ∴当时，即时，，此时，此时符合题意； 综上：满足题意的整数a的值是， 故答案为： 5．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 类型二、整体法解二元一次方程组 1．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得，故选：B 2．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 3．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 4．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的知识，能灵活将方程组变形是解题的关键． 先将方程组变形得到，再根据方程组的解是，可得方程组的解为，然后即可求解； 【详解】解：方程组，变形得，， ∵方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 5．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的值，弄清题中方程组解的特征是解题的关键． 根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组，∴，解得， ∴．故答案为：3． 6．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键在于灵活运用整体思想，消元思想．将代入得，由①②得关于的代数式⑤，再利用整体思想，设，可将原方程化简为：，由③④得关于的代数式⑥，由⑤、⑥消元即可得出m、n的值，即可求出方程的解． 【详解】解：将代入， 得， 由①②得， 设，原方程化简为：， 由③④得：， 将⑤代入⑥得：， 整理得：； ∴ ，即， 解得：．故答案为：． 类型三、根据解求参数问题 1．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 2．已知方程组的解，的绝对值相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组解的关系是解题的关键．方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将方程组两式相加，得，根据，的绝对值相等，分两种情况，当时，，得到；当时，，得到，分别解之即可． 【详解】解：∵， ∴①②，得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得． 故答案为：或． 3．已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先根据方程组中的第一个方程可得，代入第二个方程可得，再根据方程组有无穷多组解可得，，据此求解即可得． 【详解】解：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， ∵这个方程组有无穷多组解， ∴，， 由得：， 将代入得：，解得， 将代入得：， ∴． 4．已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的值． 【答案】(1)；(2)4 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，无理数估算； （1）由立方根、算术平方根的定义得，即可求解； （2）由得，代入即可求解； 会求立方根、算术平方根无理数估算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：， ， 由（1）知，， ， 的值为． 5．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键． （1）根据可得，代入①求出与的解，然后将解代入②即可求出； （2）无论数取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含的项不影响等式，即的系数必须为0，由此求解． 【详解】（1）解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （2）解：， , 无论数m取何值，方程总有一个固定的解， ，解得： 固定解为：． 6．已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，不等式组的整数解和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解题的关键．先求出方程组的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】（1）在方程组中， 得：， 解得：， 把代入②可得，， 解得：， 方程组的解为； （2）x为负数，y为非正数， ，即， 解得， a为整数， a的值为或时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 7．已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再把代入得出，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同解， ∴解方程组得：， 把代入得：，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解本题的关键． 类型四、新定义问题 1．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得， ，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”． （1）点A ，B 是“燕南点”的是 （2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值． 【答案】（1） B； （2） M，在第一象限； （3）． 【分析】（1）根据“燕南点”的定义分别判断即可； （2）直接利用“燕南点”的定义得出a的值再求出点的坐标进而得出答案； （3）直接利用“燕南点”的定义得出t的值进而得出答案； 【详解】（1）点A，令 解得 ， A不是“燕南点“， 点B，令 解得 ， B是“燕南点”； 故答案为：B； （2）根据题意,得， ， ，求得， 所以，所以M，在第一象限； （3）方程组的解为 ∵点是“燕南点”， ∴ ∴ ，∴，解得， ∴t的值为10． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标的知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力． 2．规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b-a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5-3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”． (1)若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值； (3)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和-2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式的值． 【答案】(1)m的值为4； (2)m的值为2、n的值为1； (3)-8. 【分析】（1）根据“郡园方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可； （2）根据“郡园方程”的定义即可得出关于m、n的方程组，解之即可； （3）根据“郡园方程”的定义即可得出mn+m＝4，mn+n，二者做差即可得出m-n的值，将三个数代入代数式（mn+m）2-9（mn+n）2-3（m-n）中计算即可． 【详解】（1）解：（1）∵方程2x＝m是“郡园方程”， ∴， 解得：m＝4． ∴关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，则m的值为4． （2）解：∵方程是“郡园方程”，它的解为m， ∴，解得：． ∴关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为m，则m的值为2、n的值为1． （3）（3）∵方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”， ∴， ∴mn+m＝4，mn+n， ∴m﹣n＝4﹣（）， ∴（mn+m）2﹣9（mn+n）2﹣3（m﹣n）＝42﹣9×（）2-38． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值、解二元一次方程组等知识点，解题的关键是：（1）根据“郡园方程”的定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据规定解方程的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答也是解题关键． 3．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 4．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 5．当都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点、哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点、是“爱心点”，请判断、两点的中点在第几象限？并说明理由； （3）已知、为有理数，且关于、的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求、的值． 【答案】（1）为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3），= 【分析】（1）分别把A、B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可； （2）把点A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1，）中，分别用a、b表示出m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，则可得A和B点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C点坐标，然后即可判断点C所在象限； （3）解方程组，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，即可求出p、q的值． 【详解】解：（1）A点为“爱心点”，理由如下： 当A（5，3）时，m﹣1＝5，＝3， 解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12， 所以2m＝8+n， 所以A（5，3）是“爱心点”； 当B（4，8）时，m﹣1＝4，＝8， 解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n， 所以B点不是“爱心点”； （2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下： ∵点A（a，﹣4）是“爱心点”， ∴m﹣1＝a，＝﹣4， 解得：m＝a+1，n＝﹣10． 代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2， 所以A点坐标为（﹣2，﹣4）； ∵点B（4，b）是“爱心点”， 同理可得m＝5，n＝2b﹣2， 代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2． 所以点B坐标为（4，2）． ∴A、B两点的中点C坐标为（），即（1，﹣1），在第四象限． （3）解关于x，y的方程组，得：． ∵点B（x，y）是“爱心点”，∴m﹣1＝p﹣q，＝2q， 解得：m＝p﹣q+1，n＝4q﹣2． 代入2m＝8+n，得：2p﹣2q+2＝8+4q﹣2，整理得2p﹣6q＝4． ∵p，q为有理数，若使2p﹣6q结果为有理数4， 则p＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣． 所以p＝0，q＝﹣． 【点睛】本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组特殊解的四种考法 类型一、整数解问题 1．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 3．已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 4．要使方程组有正整数解，求整数a的值是 ． 5．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 类型二、整体法解二元一次方程组 1．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 4．若方程组的解是，则方程组的解是 ． 5．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 6．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 类型三、根据解求参数问题 1．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 2．已知方程组的解，的绝对值相等，则的值为 ． 3．已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 4．已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的值． 5．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 6．已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 7．已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值． 类型四、新定义问题 1．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得， ，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”． （1）点A ，B 是“燕南点”的是 （2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值． 2．规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b-a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5-3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”． (1)若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值； (3)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和-2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式的值． 3．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 4．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 5．当都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点、哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点、是“爱心点”，请判断、两点的中点在第几象限？并说明理由； （3）已知、为有理数，且关于、的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求、的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $