专题10 二元一次方程组实际应用的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题10 二元一次方程组实际应用的四种考法 类型一、方案选择问题 1．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 2．已知：用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨；用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划用型飞机辆，型飞机辆，一次运完，且恰好每辆飞机都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型飞机和辆型飞机都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租飞机方案； (3)若型飞机每辆需租金元次，型飞机每辆需租金元次．请选出最省钱的租飞机方案，并求出最少租飞机费用． 3．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 4．综合与实践 某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下： 车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆） 新能源大巴 60 1000 18 中型客车 30 600 15 设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆． (1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案． (2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方案． 5．如何设计采购方案． 素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元． 素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决： 任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则______（用含x的代数式表示）； 任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价； 任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 类型二、行程问题 1．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 2．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 3．甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 4．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 类型三、工程问题 1．黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 2．“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度． 七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组： 盛盛：    乐乐： (1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整； (2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义． 盛盛：x表示________，y表示________； 乐乐：x表示________，y表示________； (3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答． 3．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 4．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若让两队合做，天可以完工，需费用万元；若让两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元．问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ (3)若工程完成的时间不能超过天，请你设计合理方案，使得完成此项工程的费用最少？ 类型四、销售利润问题 1．随着夏季的到来，天气逐渐炎热，空调已经成为人们生活的必需品．某商场有两种空调，种空调每台售价3000元，种空调每台售价3600元，5月中旬售出两种空调共80台，总销售额为270000元． (1)5月中旬售出种空调多少台？ (2)5月下旬，为加大种空调的销售力度，商场决定将种空调的售价在5月中旬种空调售价的基础上降低，结果种空调的销量比5月中旬种空调的销售增加了种空调的售价和销量与5月中旬相同，结果5月下旬两种空调的总销售额比5月中旬、两种空调的总销售额增加了，求的值． 2．本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三： 表三 盲盒种类 单价（元／个） 优惠方案 A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折 优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折 优惠方案三：总费用满800元立减100元 （备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）| B款盲盒 15 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有人，购买这两款盲盒的总费用为元，求的最小值． 3．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 4．某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计： 数量 收入 套餐 套餐 第一天 次 次 元 第二天 次 次 元 (1)求这两款套餐的单价； (2)套餐的成本约为元，套餐的成本约为元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应个套餐，且套餐的数量不少于套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上的最大利润； (3)火锅店后续推出增值服务，每个套餐可选择再付元即可加料，即在鱼豆腐、面筋、川粉和蘑菇中任选两种涮菜．小明是这个火锅店的常客，年他共花费元购买两个套餐，其中套餐不加料的数量占总数量的，则小明选择套餐加料的数量为______个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二元一次方程组实际应用的四种考法 类型一、方案选择问题 1．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据数量关系列出方程运算即可； （2）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得：， 解这个方程组得， 答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹． （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， ∵和都为整数， ∴符合条件的解为：，，， 答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个． 2．已知：用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨；用辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划用型飞机辆，型飞机辆，一次运完，且恰好每辆飞机都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型飞机和辆型飞机都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租飞机方案； (3)若型飞机每辆需租金元次，型飞机每辆需租金元次．请选出最省钱的租飞机方案，并求出最少租飞机费用． 【答案】(1)辆型飞机一次可运货吨，辆型飞机一次可运货吨 (2)有两种租飞机方案：方案一：型飞机辆，型飞机辆；方案二：型飞机辆，型飞机辆 (3)最省钱的租飞机方案是方案二：型飞机辆，型飞机辆，最少租飞机费用为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用． （1）根据辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨；辆型飞机和辆型飞机载满货物一次可运货吨，列出方程组即可解决问题． （2）由题意得到，根据、均为正整数，即可求出、的值． （3）求出每种方案下的租金数，经比较、分析，即可解决问题． 【详解】（1）解：设辆型飞机一次可运货吨，辆型飞机一次可运货吨． 依题意列方程组得：， 解方程组，得： 答：辆型飞机一次可运货吨，辆型飞机一次可运货吨． （2）结合题意和（1）得： ， 都是正整数 或 答：有两种租飞机方案： 方案一：型飞机辆，型飞机辆； 方案二：型飞机辆，型飞机辆． （3）型飞机每辆需租金元次，型飞机每辆需租金元次， 方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） ＞， 最省钱的租飞机方案是方案二：型飞机辆，型飞机辆，最少租飞机费用为元． 3．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)该超市购进A种春联120副，B种春联180副 (2)有4种购买方案，方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；方案四：购买7副A种春联，80副B种春联 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用． （1）设购进副A种春联，副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可． （2）设购进A种春联副，B种春联副，根据题意，得，再利用方程的正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联， 根据题意，得， 解得， 答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副． （2）解：设购进A种春联副，B种春联副， 根据题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以满足题意的值为 所以有4种购买方案， 方案一：购买58副A种春联，20副B种春联； 方案二：购买41副A种春联，40副B种春联； 方案三：购买24副A种春联，60副B种春联； 方案四：购买7副A种春联，80副B种春联． 4．综合与实践 某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下： 车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆） 新能源大巴 60 1000 18 中型客车 30 600 15 设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆． (1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案． (2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方案． 【答案】(1)共有种租车方案，方案1：租用辆新能源大巴，方案2：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案3：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案4：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案5：租用辆新能源大巴，辆中型客车． (2)租用辆新能源大巴，辆中型客车． 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）根据租用车辆恰好载客240人列出二元一次方程，求出方程的非负整数解即可； （2）设租用辆新能源大巴，辆中型客车，组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，据此列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴， ∵x，y为非负整数， ∴或或或或， ∴共有种租车方案， 方案1：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案2：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案3：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案4：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案5：租用辆新能源大巴，辆中型客车． （2）由已知租用辆新能源大巴，辆中型客车， 根据题意得到， ， 答：租用辆新能源大巴，辆中型客车． 5．如何设计采购方案． 素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元． 素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决： 任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则______（用含x的代数式表示）； 任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价； 任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套； 任务3：可行的购买方案见解析，在这些购买方案中，购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元可得结果； 任务2：根据题中条件，列一元一次方程，解方程即可； 任务3：购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，根据题意求得，再列出满足条件的整数解，计算每一种购买方案商家的获利，再找出商家获利最高的购买方案． 【详解】任务1：因为一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，所以， 故答案为． 任务2：因为小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元， 所以， 解得， ． 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套． 任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套， 根据题意，得，所以． 因为是非负整数， 所以或或或或或 因为每个吉祥物钥匙扣利润为（元），每套明信片利润为（元）， 购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套，商家获利300元； 购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套，商家获利270元； 购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套，商家获利240元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利210元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利180元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利150元． 答：可行的购买方案有购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套；购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套；购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套；购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套；购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套；购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套．购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高． 类型二、行程问题 1．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 2．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 3．甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)B表示两人在乙出发1.5小时后两人相遇 (3)甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象结合题意，分析即可得出； （3）设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，根据题意结合图象得到两人在乙出发1.5小时后相遇，在乙出发小时后，相距千米，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）由题意，设直线BC的函数解析式为， 把，得：， ， ∴直线的函数解析式为； （2）由题意，结合图象可得，B表示两人在乙出发小时后两人相遇． （3）由题意，设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米， 根据题意可得，， 解得 答：甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米． 4．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 【答案】(1)坡道的长度为1800米 (2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键． （1）设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答； （2）利用第（1）问求出的速度，设经过分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答. 【详解】（1）解：设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟． 根据题意，得解得 答：坡道的长度为1800米． （2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为（米／分钟）． 设经过t分钟后两车相距300米， ①相遇之前：，解得； ②相遇之后：，解得． 答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米． 类型三、工程问题 1．黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 2．“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度． 七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组： 盛盛：    乐乐： (1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整； (2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义． 盛盛：x表示________，y表示________； 乐乐：x表示________，y表示________； (3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答． 【答案】(1)260，29000； (2)甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数； (3)甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据所列方程组补全即可； （2）由（1）作答即可； （3）任选其一求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：盛盛：由， ，可知x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度， ∴表示甲、乙两个工程队施工总时间， 即； 乐乐：由，， ，可知x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数， ∴表示甲、乙两个工程队施工总长度， 即； 故答案为：260，29000； （2）解：由（1）可知：盛盛：x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度； 乐乐：x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数； 故答案为：甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数； （3）解：选择盛盛的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路长度为x米，乙工程队修建快速路长度为y米． ； 解得 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米； 选择乐乐的方法解答： 解：设甲工程队修建快速路时间为x天，乙工程队修建快速路时间为y天． ； 解得 则甲工程队修建快速路长度为（米） 则乙工程队修建快速路长度为（米） 答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米． 3．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 4．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若让两队合做，天可以完工，需费用万元；若让两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元．问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ (3)若工程完成的时间不能超过天，请你设计合理方案，使得完成此项工程的费用最少？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需天，乙队单独完成此项工程需天 (2)甲队单独完成此项工程需费用万元，乙队单独完成此项工程需费用万元 (3)甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，乙队天完成，使得完成此项工程的费用最少 【分析】（1）甲队单独完成此项工程需a天，乙队单独完成此项工程需b天，由题意得，，进行计算并检验，即可得； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，由题意得，，进行计算即可得； （3）根据甲工程队单独完成此项工程各需天得工程完成的时间不能超过天，有三个方案，方案一：甲工程队单独完成此项工程需天，所需费用万元，方案二：甲、乙工程队天可以完工，所需费用万元；方案三：甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元；将费用进行比较即可得． 【详解】（1）解：甲队单独完成此项工程需a天，乙队单独完成此项工程需b天， 由题意得，，解得，，经检验，是原方程组的解， 答；甲队单独完成此项工程需天，乙队单独完成此项工程需天； （2）解：设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元， 由题意得，，解得，， ∴甲队单独完成此项工程需费用万元，乙队单独完成此项工程需费用万元； （3）解：∵甲工程队单独完成此项工程各需天 ∴工程完成的时间不能超过天，有三个方案， 方案一：甲工程队单独完成此项工程需天，所需费用万元， 方案二：甲、乙工程队天可以完工，所需费用万元； 方案三：甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元； ∵， ∴甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，乙队天完成，使得完成此项工程的费用最少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． 类型四、销售利润问题 1．随着夏季的到来，天气逐渐炎热，空调已经成为人们生活的必需品．某商场有两种空调，种空调每台售价3000元，种空调每台售价3600元，5月中旬售出两种空调共80台，总销售额为270000元． (1)5月中旬售出种空调多少台？ (2)5月下旬，为加大种空调的销售力度，商场决定将种空调的售价在5月中旬种空调售价的基础上降低，结果种空调的销量比5月中旬种空调的销售增加了种空调的售价和销量与5月中旬相同，结果5月下旬两种空调的总销售额比5月中旬、两种空调的总销售额增加了，求的值． 【答案】(1)5月中旬售出种空调30台； (2)的值为30． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系列出方程； （1）设5月中旬售出种空调台，则售出B种空调台，根据销售总额=销售单价×销售数量列出一元一次方程即可； （2）利用销售总额=销售单价×销售数量，结合5月下旬两种空调的总销售额比5月中旬、两种空调的总销售额增加了，即可列出关于a的一元二次方程，再根据实际情况取其值即可； 【详解】（1）解∶设5月中旬售出种空调台，则售出B种空调台，所以可列方程为： ， 解得： ∴5月中旬售出种空调30台； （2）解：由（1）可知：B的5月中旬的销售额为元， ∴ 解得：（不合题意，舍去） ∴的值为30． 2．本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三： 表三 盲盒种类 单价（元／个） 优惠方案 A款盲盒 20 优惠方案一：A款盲盒满30份及以上打八五折 优惠方案二：B款盲盒满18份及以上打八折 优惠方案三：总费用满800元立减100元 （备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）| B款盲盒 15 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有人，购买这两款盲盒的总费用为元，求的最小值． 【答案】(1)选A款和B款盲盒的分别有18、12人；(2)700 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设选A款和B款盲盒的分别有x、y人，根据“按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元”列方程组求解即可； （2）根据题意，得出选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人，然后分两种情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值；②当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值，最后比较①、②两种情况即可求解． 【详解】（1）解∶设选A款和B款盲盒的分别有x、y人， 根据题意，得， 解得， 答：选A款和B款盲盒的分别有18、12人； （2）解：∵剩余17人中选择A款盲盒有人， ∴选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人， ①当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为700； ②当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为755； ∵， ∴当时，y的最小值为700． 3．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 【答案】(1)A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元 (2)①；②，最大利润为1900元 【分析】(1)设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，根据购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元，列出方程组，解方程组即可； (2)①该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，购进A种礼品m个，B种礼品n个，结合（1）中求出的进价，得到购进A种礼品需要元，B种礼品需要元，列出二元一次方程，整理可得n关于m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出W与m的关系式，根据W随m的变化情况及m的取值范围求最大利润即可． 本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意得，， 解得， 故A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元；． （2）(2)①依题意得，， ∴． ②∵W表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最大值．即A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为， (元)． 4．某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计： 数量 收入 套餐 套餐 第一天 次 次 元 第二天 次 次 元 (1)求这两款套餐的单价； (2)套餐的成本约为元，套餐的成本约为元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应个套餐，且套餐的数量不少于套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上的最大利润； (3)火锅店后续推出增值服务，每个套餐可选择再付元即可加料，即在鱼豆腐、面筋、川粉和蘑菇中任选两种涮菜．小明是这个火锅店的常客，年他共花费元购买两个套餐，其中套餐不加料的数量占总数量的，则小明选择套餐加料的数量为______个． 【答案】(1)套餐销售单价为元，套餐销售单价为元 (2)元 (3)小明选择套餐加料的数量为个 【分析】（1）设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设售出套餐个，总利润为w元，根据题意得出，然后根据一次函数的性质即可求解； （3）设套餐不加料数量为个，套餐加料和套餐不加料共个，则套餐加料数量为﹣个，根据题意列出二元一次方程，根据整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元， 根据题意，得 解得 答:A套餐销售单价为元，套餐销售单价为元； （2）设售出套餐个，总利润为w元， 则＝﹣﹣﹣＝， 套餐的数量不少于套餐数量的，即， ，， 随的增大而减小，为正整数， 当＝时，最大，的最大值为元； （3）设套餐不加料数量为个，套餐加料和套餐不加料共个，则套餐加料数量为﹣个， 根据题意，得：﹣＝， 整理，得：﹣＝，且，均为正整数， 解得， ﹣＝， 即小明选择套餐加料的数量为个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组、不等式以及一次函数关系式是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $