专题01 特殊平行四边形与函数结合的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题01 特殊平行四边形与函数结合的三种考法 类型一、菱形存在性问题 1．综合与探究： 如图，直线与过点的直线交于点与x轴交于点B． (1)求直线对应的函数解析式； (2)求的值，并直接写出不等式的解集； (3)若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值； (3)已知直线上有两个动点（在的下方），线段在直线上平移且，在平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A， (1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________； (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D． (1)求点C的坐标； (2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积； (3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线，分别交坐标轴于点、、、． (1)求直线的函数表达式，并求出点、、、的坐标； (2)如图2，点为线段上的一个动点，将绕点逆时针旋转得到．点随着点的运动而运动，请求出点运动所形成的线段所在直线的解析式； (3)直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型二、矩形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l与直线平行，且直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点在直线l上． (1)求直线l对应的函数表达式以及点C的坐标； (2)点P在y轴的正半轴上，Q是平面直角坐标系内一点，若四边形为矩形，求点P，Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，两点，且，． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求出直线的解析式； (3)如图2，点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，若以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，请求出点的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点    (1)求直线的解析式 (2)将沿着翻折，点B落在点处，连接，则四边形的形状为 (3)若点H是直线上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 5．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、正方形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点，一次函数的图象与y轴交于点D、与边交于E，并且平分矩形的周长． (1)_______，_______； (2)点P是一次函数图象上一动点，且点P在第二象限，点Q是x轴上一个动点，点T是平面内一点，若以B、P、Q、T为顶点的四边形是正方形，求点P的坐标． 2．[模型建立]如图，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： [模型运用] (1)如图，若，，则的面积为________； (2)如图，在等腰中，，，点，点，则点的坐标________． (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转至直线（如图），求直线的函数表达式； 3．[模型探究]如图①，等腰直角三角形中，，，过点A作于点D，过点B作于点E．若，，求长． [迁移应用]如图②，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴交于A、B两点． （1）的长为______，的长为______． （2）将直线绕点B顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为______． [拓展延伸]如图③，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动． 如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________________； (2)探究迁移：若点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 4．【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形与函数结合的三种考法 类型一、菱形存在性问题 1．综合与探究： 如图，直线与过点的直线交于点与x轴交于点B． (1)求直线对应的函数解析式； (2)求的值，并直接写出不等式的解集； (3)若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或或 【分析】（1）将点代入得出点的坐标，然后运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出，然后根据三角形面积公式求出三角形面积即可；不等式的解集即为在上方的部分，直接写出即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，先分别求出点F的坐标，然后画出图形，求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 将点代入中， 得， 解得， 故直线对应的函数解析式为； （2）解：把代入得：， 解得： ∴， ∴， ∴； ∵，即在上方的部分， 又∵点， ∴的解集为； （3）解：存在； 设点F的坐标为， ∵，， 则， ， ， ①当时，， ∴， 解得：， ∴，如图，此时点F在y轴上， ∵点A、B在x轴上，此时为菱形的对角线， ∴点N与点F关于x轴对称， ∴此时点N的坐标为； ②当时，， ∴， 解得：或， ∴此时或 如图，当时， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴此时点； 如图，当时， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴此时点； ③当时，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴此时点； 综上，点的坐标分别为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的与几何问题的综合，一次函数与不等式的关系，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质以及菱形的性质是解本题的关键． 2．如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值； (3)已知直线上有两个动点（在的下方），线段在直线上平移且，在平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令，，即可求解； （2）根据题意可求出的面积，再根据的面积为时，可求出点的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求解； （3）根据菱形的判定和性质，分类讨论，再图形结合，运用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则； ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得，，即， ∴． （2）解：已知，，是的垂直平分线， ∴，即，且， ∴， ∵，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在直线的图象上， ∴设， ∴， ∴， ∴，整理得，， 解得，，， ∴，， ∵点是射线上的动点，， ∴舍去， ∴点的坐标为， ∴当时，如图所示，作点关于轴对称的点，将线段向上平移至点与点重合，即，此时点三点共线，即四边形是平行四边形，则，此时的值最小， ∴， ∵， ∴， 如上所示，过点作轴于点，过点作轴于点，且， ∴，则，， ∴在中，，则， ∴的值最小为． （3）解：存在，理由如下， 已知，，在中，， ∵点的垂直平分线， ∴，且， ∴， ①如图所示，点与点重合，四边形是菱形，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，四边形是菱形，即，， ∴，即， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴； ②如图所述，点与点重合，四边形是菱形，过点作轴于点， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴，即点在轴上， ∴， ∴； ③如图所述， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴当点与点重合时，点与点重合，四边形是菱形，即四边形是菱形， ∴； ④如图所述，点在点的上方， ∵，， ∴，即， ∴四边形不是菱形，即这种情况不存在，同理，点在点的下方的情况也不存在； 综上所述，存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴点B，C且与直线交于点A， (1)直接写出点B，C的坐标；B________；C________； (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)存在，点Q的坐标为或或（2，- 2） 【分析】（1）根据的表达式即可求出B、C两点的坐标. （2）设点D的坐标为由，先求出D点的横坐标，再代入中求出纵坐标即可. 设直线的解析式为将D点坐标代入求出k的值，即可得到直线的函数表达式. （3）设点，分情况讨论：①若以为边时，四边形是菱形，列出关于a的方程求出a的值，即可求出点Q的坐标.②当四边形 是菱形时，画出图形，先写出P点的坐标，则易得Q点的坐标.③当与互相垂直平分时四边形是菱形，画出图形，先写出P点的坐标，则易得Q点的坐标. 【详解】（1）由得， 时， 时，         ∴点B的坐标为，点C的坐标为. （2）设点D的坐标为 ∵的面积为6， ∵D是线段上的点， ∴点 设直线的解析式为 ∴直线的解析式为 （3）若以为边，设点 ①如图1， 当时，四边形是菱形， ∴点 ②如图2，当 四边形 是菱形时， ∴点 ∴点 ③若为对角线，如图3 当与互相垂直平分时以为顶点的四边形是菱形， ∴点P的纵坐标为2 ∴点P的坐标 ∴点 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的相关问题.利用图形的面积求点的坐标，以及用分类讨论法求特殊四边形中点的坐标.解题的关键是要学会分类讨论及数形结合法，正确的画出图形，不要漏解. 4．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D． (1)求点C的坐标； (2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积； (3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为 (2) (3)存在，点Q的坐标为：，，， 【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标； （2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可； （3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，①当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；②当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；③当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得： ，解得， 直线的解析式为， 又直线与直线交于点C， ，解得， 当时，则， 点C的坐标为； （2）解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小， 直线与x轴的交点为， 又点D和点关于y轴对称， 点， ， 设直线的解析式为，可得，解得， 直线的解析式为， 令，则，得点， ， 又，， ， ， ； （3）解：由题意可得直线的解析式为， 联立线与直线，即，解得，， 设， ①当ED为菱形对角线时，， 即， 解得， ； ②当EQ为菱形对角线时，， ， ， 解得或， ，； ③当EF为菱形对角线时，， 即， 解得， ， 综上：存在，点Q的坐标为：，，，． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质、菱形的判定与性质，分类讨论是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，直线，分别交坐标轴于点、、、． (1)求直线的函数表达式，并求出点、、、的坐标； (2)如图2，点为线段上的一个动点，将绕点逆时针旋转得到．点随着点的运动而运动，请求出点运动所形成的线段所在直线的解析式； (3)直线上有任意一点，平面直角坐标系内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，，， (2) (3)存在；或或或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）把点代入，求出，得，把代入，求出，再求出直线与坐标轴的交点坐标即可； （2）证明，求出点，则可得结论； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【详解】（1）解：已知点在直线的图象上， ， ∴， 把点代入直线，得， 解得：， 直线的函数表达式为：； 在直线中，令，则， ， 令，则， 解得， ， 直线中，令，则， ， 令，则， 解得， ． （2）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 旋转， ，， ，且， ， ，， 点在直线的图象上， 设，则， ，，， ， 令，， ，， ， ∴整理得，， 点运动所形成的线段所在直线的解析式为：； （3）解：存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 理由如下：在直线中，令，则， ，则， 点是直线上有任意一点， 设， 第一种情况，如图所示，以，为边，四边形是菱形，过点作轴于点， 则，， ，， ，即，解得，， 或， 或． 第二种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形， ，， ，， ， 点于点重合， ， ； 第三种情况，如图所示，以为对角线，四边形是菱形，连接交以点， ， ， 四边形是菱形， ，， 点的纵坐标为，即，解得，， ，； 综上所述，存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 类型二、矩形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线l与直线平行，且直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点在直线l上． (1)求直线l对应的函数表达式以及点C的坐标； (2)点P在y轴的正半轴上，Q是平面直角坐标系内一点，若四边形为矩形，求点P，Q的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为，点Q的坐标为 【分析】（1）由题意设直线l对应的函数表达式为，然后将代入得到，然后将代入求解即可； （2）首先求出点B的坐标为，证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）直线l与直线平行， 设直线l对应的函数表达式为． 直线l经过点， ， 解得． 直线l对应的函数表达式为． 点在直线l上， ． 点C的坐标为． （2）如图，四边形是矩形， 与是矩形的对角线． 直线l对应的函数表达式为， 令，得， 点B的坐标为． 点A的坐标为，点C的坐标为， ，． ． 是对角线与的交点． 点P在y轴的正半轴上， 点Q在y轴上． ． 点P的坐标为，点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质和判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，两点，且，． (1)直接写出点的坐标为______； (2)求出直线的解析式； (3)如图2，点为线段的中点，点为直线上一点，点为坐标系内一点，若以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数综合、待定系数法、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）解方程即可得到结论； （2）求出点、点和点的坐标，根据全等三角形的判定和性质定理得到点的坐标，即可求出直线的解析式； （3）分别过点、作交直线于，作，分别过点、作交直线，作，则四边形、四边形均为矩形，根据全等三角形的性质得到，，，求得的解析式，进而得到直线的解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：对于直线， 当时，， ∴,, 即，； ∴， ∴， ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴,， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； （3）解：如图，分别过点、作交直线于，作交直线于， 分别过点、作交直线于，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，，点为线段的中点，， ∴，即， 且， ∵≌， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∴ ∴点为线段的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的解析式为，则有， ∴， ∴直线的解析式为； ∵，， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：； 联立和得： ， 解得， ∴． 综上，以，，，为顶点且为边的四边形为矩形时，点的坐标为或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可得n的值，进而可求解点B坐标； （2）由中点公式得点，则有直线的表达式为：，设点，则点，然后根据题意分类讨论进行求解即可； （3）设，点，而点、的坐标分别为、；由题意可分当是矩形的边时，当是矩形的对角线时，然后结合两点距离公式及中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 故直线的表达式为：， 令，则， ∴点； （2）解：点为线段的中点， 则由中点公式得，点，即， 设直线的表达式为：，则有：， ∴， 则直线的表达式为：， 设点，则点， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ； 当点在轴右侧，且在点左侧时， ； 当点在轴左侧时， 同理可得：；故或； （3）解：设，点，而点、的坐标分别为、； ①当是矩形的边时， 则点与点A重合，故点，故点； ②当是矩形的对角线时， 由中点公式得：且①， 由矩形的对角线相等得：，即②， 联立①②并解得：， 故点，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握中点坐标公式及一次函数的图象与性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点    (1)求直线的解析式 (2)将沿着翻折，点B落在点处，连接，则四边形的形状为 (3)若点H是直线上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的表达式为：； (2)平行四边形 (3)存在，点的坐标为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，，求出点的坐标，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当是对角线、是对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，则， 令，则， 即点、的坐标分别为：、， 点为线段的中点，则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 即直线的表达式为：； （2）解：设点的坐标为：， 由题意得，，， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点的坐标为：； 由点、的坐标得，， ， 四边形的形状为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）解：存在，理由： 设点、点， 由点的坐标得，，同理可得：， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：（不合题意的值已舍去）， 即点的坐标为：，（舍去）； 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：，此时Q与B重合，不能组成矩形，舍去； 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：， 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，矩形的性质、图象的翻折等知识点，熟练掌握一次函数的性质，及图形翻折的知识是解题的关键． 5．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为， 【分析】（1）根据题意得出，进而求得的解析式； （2）由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解． （3）当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：点在上，点的横坐标为， 当时，， ， 将点和代入中， 得：， 解得． 直线的函数解析式为：； （2）直线与轴，轴分别交于点，， 当时，；当时， 点，， ， ． ，； （3）当时，轴，则的纵坐标为， 将代入，解得：，即， ∵，， ∴ ，，， ∴，，， ∴，即， 则 当时，，则点与点重合， ∵到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位， 则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到 ∴满足条件的点的坐标为，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 类型二、正方形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点，一次函数的图象与y轴交于点D、与边交于E，并且平分矩形的周长． (1)_______，_______； (2)点P是一次函数图象上一动点，且点P在第二象限，点Q是x轴上一个动点，点T是平面内一点，若以B、P、Q、T为顶点的四边形是正方形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）根据解析的性质可得；再求出，，则，，再根据直线平分矩形的周长可得，解方程可得，则可得到，据此利用两点距离计算公式求解即可； （2）分为两种情况讨论，当四边形是正方利时和当四边形是正方形时，用一线三直角证明三角形全等，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵直线平分矩形的周长， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情形： ①如图，当四边形是正方形时，过点作于， 四边形是正方形， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ， ，， ∵， ∴轴 点的横坐标是， 将代入得：， 点的坐标是； ②如图，当四边形是正方形时，过点作轴于． 四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ∴ ， ，． 设，则， ∴， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 2．[模型建立]如图，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： [模型运用] (1)如图，若，，则的面积为________； (2)如图，在等腰中，，，点，点，则点的坐标________． (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转至直线（如图），求直线的函数表达式； 【答案】(1)； (2)； (3)直线的函数表达式为． 【分析】（）过作于点，过作于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，所以，由勾股定理得，然后通过面积公式即可求解； （）过作轴，过作于点，过作于点，易得四边形，四边形是矩形，则，，，，证明，故有，，从而得，故有解析式为，然后通过一次函数的性质即可求出点的坐标； （）过作交于点，过作轴于点，则有，则，同（）理可证，然后求出点，点，，再通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：过作于点，过作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，过作轴，过作于点，过作于点，易得四边形，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴点， 故答案为：； （3）解：如图，过作交于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， 同（）理可证：， ∴，， 由直线可得，当时，；当时，； ∴点，点， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．[模型探究]如图①，等腰直角三角形中，，，过点A作于点D，过点B作于点E．若，，求长． [迁移应用]如图②，在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴交于A、B两点． （1）的长为______，的长为______． （2）将直线绕点B顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为______． [拓展延伸]如图③，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点C是第二象限内一点，在平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】[模型探究]7；[迁移应用] （1）2；4；（2）；[拓展延伸] 或或 【分析】[模型探究]证明，可得，即可解答； [迁移应用] （1）分别把当，代入解析式，即可求解； （2）过点A作交直线于点C，过点C作轴于点N，则，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，同理[模型探究]得：，从而得到，从而得到点，即可求出直线的解析式； [拓展延伸]分三种情况讨论，即可求解． 【详解】[模型探究] 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； [迁移应用] 解：（1）对于， 当时，，当时，， ∴， ∴； 故答案为：2；4 （2）如图，过点A作交直线于点C，过点C作轴于点N，则， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理[模型探究]得：， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； [拓展延伸] 解：存在， 对于， 当时，；当时，， ∴点， ∴， ①当四边形是正方形时，分别过点D，C作轴于点E，轴于点N，则， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴点； ②当四边形为正方形时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，即点D的坐标为； ③当四边形为正方形时，如图，过点D作x轴的垂线，垂足为点G，过B作于点H，则， 同理可证， ∴， 设，∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，∴， ∴点； 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 3．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动． 如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________________； (2)探究迁移：若点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)； (2)矩形，理由见解析； (3)或 【分析】本题考查了一次函数，待定系数法，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定，利用分类讨论思想，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设经过时间， ，，， ，， 点在直线：上，点在直线：上， 且轴，轴， ，， ， 又 轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时且在原点右侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． 当点在左侧时，且在原点左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点左侧时， 经过时间，则，，， ，与前一种情况一样． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 4．【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：． 【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点． （）的长为________，的长为________． （）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________． 【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】模型探究：证明见解析；迁移应用：（），；（）；拓展延伸：存在，点的坐标为或或． 【分析】模型探究：利用余角性质可得，再由即可证明； 迁移应用：（）分别把和代入函数解析式计算即可求解；（）过点作，交直线于点，过点作轴于点，由旋转可得，可得为等腰直角三角形，得到，同理可得，进而得到，再利用待定系数法即可求解； 拓展延伸：由函数解析式可得，，再根据题意画出图形，分三种情况解答即可求解； 【详解】解：模型探究：∵于点，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移应用：（）把代入得，， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：，； （）过点作，交直线于点，过点作轴于点，则， 由旋转可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理模型探究可得， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线所对应的函数表达式为， 故答案为：； 拓展延伸：存在． 对于，当，；当，， ∴，， ①当为正方形的一边时，如图，分别过作轴于，轴于，则， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴, ∴， 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点的坐标就是①中点的坐标，点为①中的点，即点的坐标为 ③当为正方形的对角线时，如图，过点作轴垂线，垂足为点，过作于点，则， 同理可证， ∴，， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $