专题02 特殊平行四边形最值问题的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题02 特殊平行四边形最值问题的三种考法 类型一、菱形最值问题 1．已知菱形的边长为6，且，是对角线上一动点，求的最小值 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短．连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，据此计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是对角线上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为． ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 2．如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，连接．证明是的中位线，再利用垂线段最短解决问题． 【详解】解：连接，延长交于点，连接。 四边形是菱形，， ，， ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 当时，的值最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 3．如图，菱形中，，，交于O，点M在线段上，且，点P为上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，过点作于，与的交点为点，由菱形的性质并结合题意可得为等边三角形，则，从而可得，进而可得，由垂线段最短可得，此时得到最小值，再由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，与的交点为点， ， ∵菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，由垂线段最短可得，此时得到最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 4．在中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴和x轴的正半轴滑动，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，过点A作于点E，连接，利用平行四边形的性质证明是等边三角形，得到，进而求出，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质求出，由即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点E，连接， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边的关系，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 5．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．连接，作于，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明得到，，接着判定为等边三角形，所以，然后根据点E的位置判断的最（大）小值即可． 【详解】解：连接，作于，如图所示： 四边形为菱形，， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， ，两点分别从，两点同时出发，以相同的速度分别向终点，移动， ， 在和中， ， ，， ， 为等边三角形， ， 当点运动到点时，的值最大， 的最大值为2． 当点运动到点时，的值最小， 的最小值为． 故答案为：，． 6．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，，P是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】2 【分析】连接DQ，根据菱形的性质说明是等边三角形，， 再根据“边角边”证明，可得然后说明当时，OQ最小，作，最后根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：如图，连接DQ， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴，即. ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴. 所以点在直线DQ上运动，故当时，OQ最小， 过点作， 在中，， ∴， 所以长度的最小值是2． 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，作出辅助线确定最小值是解题的关键． 7．由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接交于，作于，由题意可得四边形为菱形，，求出，， ，由三角形中位线定理可得，，，，证明四边形为矩形，求出，结合题意可得，求出点在到的距离是的直线上运动，由题意可得点到直线的距离为，作点关于直线的对称点为，连接交直线于，由轴对称的性质可得，由两点之间，线段最短可得，，此时的值最小，作于，则，，求出的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接交于，作于， ∵、是两个大小相同的等边三角形， ∴，， ∴四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形的面积是的面积的6倍， ∴， ∴，即， ∴， ∴点在到的距离是的直线上运动， 由题意可得点到直线的距离为， 作点关于直线的对称点为，连接交直线于， 由轴对称的性质可得：， ∴由两点之间，线段最短可得，，此时的值最小， 作于，则，， ∴，即的最小值为， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 8．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 9．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 10．如图，边长为4 的菱形的对角线、相交于点O， ，P 为线段上的一动点，连接，将线段 绕点B 逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质，在上取点，使，连接，由旋转得，，，由菱形的性质可得，，，进而可得为等边三角形，则，，证明，可得．由题意知，点为的中点，可知当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值，进而可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：在上取点，使，连接， 由旋转得，，， ． 四边形为菱形， ，，，． ， 为等边三角形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ， 点为的中点． 当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值， 的最大值为2， 即线段长的最大值为2． ，， ， ， ， 即线段长的最小值为1． 故答案为：2；1． 11．如图，在菱形中，，，点E、F分别是边、上的动点，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据菱形的性质，得到和是等边三角形，证明，从而推出是等边三角形，设，则，由垂线段最短可知，当时，最短，此时有最小值，面积有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，，， ，， 和是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 设，则， ， ， 当最小时，面积有最小值， 由垂线段最短可知，当时，最短，即有最小值， 是等边三角形， ， ， 的最小值为， 面积的最小值为， 故答案为： 12．如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接交于，由点分别是边、、、中点证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的性质证明四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，即，由，则点在直线上，然后作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点，根据两点之间线段最短可得当点三点共线时，最短为长，然后由等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点，    ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为，即， ∵， ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得：当点三点共线时，最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：, ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-线段最短问题，等边三角形的判定与性质，菱形性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形中位线性质定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 13．定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形．如图，在筝形中，，，．将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N，证明，则当三点共线时，的值最小，结合菱形性质，得，证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N ∴ 由平移可得 在和中 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小 ∵， 且四边形为菱形 ∴ ∴， ∵， ， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴则的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，证明和都是等边三角形，再由勾股定理求得，再得出的最小值为，然后证明，进而推出是等边三角形，即可得解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 15．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，过E作于F，过A作于H，证明得，则是等边三角形，再证明得，则是等边三角形，，，根据“两点之间线段最短”，当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接、， ∴，， ∵， ∴， 过E作交的延长线于F，过A作于H， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”，得最短， ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， ∵交的延长线于F， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中， ∵，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 16．菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是 ；此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】作点关于轴的垂线，可推出垂线的长度即为，则要使取最小值，点、、应在一条直线上，再结合含直角三角形特征、勾股定理即可得解． 【详解】解：作轴， 菱形中，， ， 中，， 则要使取最小值，点、、应在一条直线上， 作轴， 此时即为最小值， 点的坐标为， ， 则菱形中，， ， ， ，， 最小值为， ， ， 又， ， ． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、含直角三角形特征、垂线段最短、勾股定理，解题关键是结合含直角三角形特征找出的最小值． 17．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【详解】解：菱形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 绕点按逆时针方向旋转，得到， ，， ， ， 如图，连接， ， ， 点在射线上， ∴当时，有最小值，最小值为， 的最小值是， 故答案为：． 18．如图，在菱形中，，，对角线、交于点，点、分别在边上移动，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质以及轴对称的性质，过点O作，且，连接，则四边形为平行四边形，根据的最小值，即求的最小值．根据轴对称的性质得出当G、F、H三点共线时，的值最小，最小值即为的长．设交于点Q，由对称性质可知，．进而根据已知条件求得，，再在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】如图，过点O作，且，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值，即求的最小值． 作点O关于所在直线的对称点H，连接， ∴， ∴当G、F、H三点共线时，的值最小，最小值即为的长． 设交于点Q，由对称性质可知，． ∵在菱形中，，， ∴，，，则， ∴是等边三角形． ∴， 在中，， ∵， ∴． ∴， ∴在中，． 故答案为：． 类型二、矩形最值问题 1．如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 2．如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，且， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，点P为直线上一个动点，作射线，过点C作，垂足为Q，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 9 【分析】取的中点M，连接，，由矩形的性质得到，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值和最大值． 【详解】解：取的中点M，连接，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 由三角形三边关系定理得到：， ， 的最小值为1，最大值为． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形三边关系，矩形的性质，勾股定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 4．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】设与EF的交点为O，过点A作于H，由平行四边形的性质可得，即当时，有最小值，即有最小值，由面积法可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：设与EF的交点为O，过点A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质以及勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于且与的距离为1的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交、于、，过点作垂足为， 四边形是矩形， ， ， 四边形和是矩形， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为1的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ，， ， 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为2，点分别在上，且与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．取的中点，连接，证明，可得，从而得到，进而得到．根据题意可得当在同一条直线上时，取得最小值．然后在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ， ， ， ． ， 当在同一条直线上时，取得最小值． 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 7．如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，根据等边三角形的性质得到；点是的中点，根据折叠可知点和点关于对称可得，因此与重合时，，据此求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，折痕为， 垂直平分， ， 过点折叠矩形纸片，使点落在上的点， ， ． 为等边三角形． ， 点是的中点，点为中点， 由折叠可知：点和点关于对称， ， 与重合时，的值最小，此时， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何变换综合问题，折叠的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的性质、轴对称最短问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8．如图，在矩形中，，点是的中点，点是上的任意一点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，过作于，过作于，先证明四边形为矩形，得到，再根据中点和折叠得到，最后根据根据垂线段最短可得，解得，然后根据计算即可． 【详解】解：过作于，过作于， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将矩形沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵，， ∴根据垂线段最短可得， ∴，解得， ∵， ∴当时，最小， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，，点E在边上，将绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．过点F作的延长线于点G，可证，得到，，设，则，即得，由勾股定理得，即得到当时，的值最小，最小值为，进而即可求解． 【详解】解：过点F作的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 当时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线，勾股定理求出，，证明出是等边三角形，连接、，作于点，则，勾股定理求出，证明出，得到，然后利用求解即可． 【详解】取的中点，在上取一点，连接，使，作射线， 四边形是矩形，，， ，， ，， ，， ， ， ， 是等边三角形， 连接、，作于点，则， ， ， ， ， 将线段逆时针旋转到， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点E是边上一点，，F是上一点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形三边关系应用，连接、、，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，，说明点G在以点E为圆心，为半径的圆上运动，得出当E、M、G三点共线时，最小，且最小值为：． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将四边形沿折叠，得到四边形． ∴， ∴点G在以点E为圆心，为半径的圆上运动， ∴当E、M、G三点共线时，最小，且最小值为：． 故答案为：． 12．如图，在矩形中,，点F是上一动点(包括端点E，C)，点P是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点，过点作于点，连接， 判定四边形，都是正方形，是中位线，得到点P的运动轨迹为，根据垂线段最短原理，当P与重合时，最短，此时解答即可． 本题考查了中位线，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．明确的最小值的情况是解题的关键． 【详解】解：连接，取的中点，过点作于点，连接， ∵矩形中,， ∴，，， ∴四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴点P的运动轨迹为， 根据垂心段最短原理，当P与重合时，最短，此时 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，过点作，垂足为点，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键． 根据矩形的性质可求出，延长，使得，连接，，结合等腰三角形三线合一的性质易证明，即说明点Q在定直线上．再根据三角形中位线定理可知，即说明当最小时，有最小值．最后根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质，求出即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴． 延长，使得，连接，，如图，    ∵，， ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴， ∴点Q在定直线上． ∵的中点为E， ∴， ∴当最小时，有最小值． ∵当时，最小，此时， ∴的最小值为． 故答案为：1． 14．如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，．连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当A，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当A，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，是边上任意一点，分别过点作射线的垂线，垂足分别是，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，连接、，由矩形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，即可解决问题．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 和的边上的高， ， ， ， ， ， 随着的增大而减小， 时，最小，， 故答案为：． 16．如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理和点P的运动轨迹，取中点，连接、，交于点，根据四边形为矩形，得到四边形为矩形，，结合点为的中点，得到直线为点的运动轨迹，则当时，最小，根据等面积法求出即可． 【详解】解：取中点，连接、，交于点，如图， 四边形为矩形， ，，， 点E为中点，点H为中点， ，， 四边形为矩形， ， ， 点为的中点，点F在直线上运动 点P在直线上运动， 当时，最小， 此时， 即， ， 故答案为：． 17．如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点，连接并延长交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，推出为等边三角形，得，证明得，，继而得到当点在对角线上运动时，点在射线上运动，再根据等腰三角形三线合一性质得，且是边上的中线，根据垂线段最短得为的最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点在对角线上运动时，点在射线上运动， ∵，即平分， 又∵， ∴，且是边上的中线， 此时为的最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，垂线段最短等知识点，确定点的运动路径是解题的关键． 18．如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作关于的对称点，连接，可得当共线，且时，，此时最小，证明四边形为矩形，可得，进一步可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴， 当共线，且时， ，此时最小， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由对称可得：， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 19．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当点F在点B上方时，作等边，连接，可证明，得到，则点Q在直线上运动；设直线分别交直线于H、K，可得，，则，，则可求出；作点D关于直线的对称点G，连接，则，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，求出，得到，同理可得，即的最小值为；当点F在点B下方时，同理可得的最小值为． 【详解】解：如图所示，当点F在点B上方时，作等边，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴点O是定点， ∴点Q在直线上运动； 如图所示，设直线分别交直线于H、K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于直线的对称点G，连接，则， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴的最小值为； 如图所示，当点F在点B下方时，同理可得的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形推出点Q的轨迹是解题的关键． 20．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作于点E，交于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短及勾股定理，得到的最小值为的长是解答的关键．如图，过点D作于，连接，，证明四边形是矩形得到，要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长，利用三角形的等面积法求得即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于，连接，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 类型二、正方形最值问题 1．如图，在正方形中，，为边上一点，，为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的最值问题．连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为． 【详解】解：连接、，如图： ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 2．如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间的距离公式等知识点．作交的延长线于点，设，则，，证明，求得，，利用勾股定理求得，，即，则的最小值为点到点和点的距离最小，再利用坐标与图形的性质求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， 设， ∵， ∴，， ∵正方形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为点到点和点的距离最小，如图， 作点关于的对称点，连接， 则的最小值为的长， ∴， 故答案为：． 3．如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点三点共线时，最小．由勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将△沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、A三点共线时，最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．如图，正方形的面积为S，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，正方形的性质； 由正方形的性质可得B、D关于对称，则，的最小值为，然后根据正方形的面积为S，是等边三角形进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴B、D关于对称， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵正方形的面积为S， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ，此时的长为 ． 【答案】 4 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，得出，可得当时，最小，即最小，只要利用勾股定理和等面积法求出即可求出的最小值；作辅助线如图，可得四边形是矩形，推出，，等面积法求出，勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质得出，，进而可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最小，即最小，如图， ∵正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 此时， 过点G作，，垂足分别为H、I，过点F作于P，如图， ∵，， ∴，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 6．如图，点是边长为8的正方形的对角线上的动点，以为边向左侧作正方形，点为的中点，连接，在点E运动过程中，线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，可证，得到G点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形、四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴G点轨迹为线段， 当时，最短， ∵P为中点， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到G点轨迹是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B是x轴上一个动点，连接，以为边作正方形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作轴于点，则，在轴正半轴取点，使得，连接，延长至点，使得，连接，则，再证明，可求，则垂直平分，那么，则，当点三点共线时，取得最小值即为，由中点坐标公式可得，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点，则，在轴正半轴取点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理当点在点右侧，亦成立， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值即为， ∵，，且为中点， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，中点坐标，两点间距离公式等知识点，正确运用转化思想是解题的关键． 8．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，，，过点O作于点H，证明，得出，证明垂直平分，得出，证明，根据当、E、G三点共线时，最小，即最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 9．如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，，证明和，推出和，由两点之间线段最短，知当共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， 故答案为：． 10．如图，正方形的边长为5，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，将线段绕C点逆时针旋转得，连，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，从而求得，再根据三角形三边关系即可得到结论． 【详解】解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴线段的最小值为． 11．如图，正方形的边长为3，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转45°得到，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，在上取，连接，过点D作于H；可证明，得，，则点F在直线上运动，当F点与H点重合时取得最小值；由勾股定理求得，进而求得，再由角直角三角形的性质求得的长，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，连接，在上取，连接，过点D作于H； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转45°得到， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点F在直线上运动， 当F点与H点重合时，取得最小值； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识，证明三角形全等，并由此确定出点F的运动路径是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊平行四边形最值问题的三种考法 类型一、菱形最值问题 1．已知菱形的边长为6，且，是对角线上一动点，求的最小值 2．如图，在菱形中，，为边上一点，．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则菱形的边长为 ． 3．如图，菱形中，，，交于O，点M在线段上，且，点P为上的一个动点，则的最小值是 ． 4．在中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴和x轴的正半轴滑动，连接，则的最小值为 ． 5．如图，在菱形中，两点分别从两点同时出发，以相同的速度分别向终点移动，连接，在移动的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 6．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，，P是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为 ． 7．由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为 ． 8．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 9．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 10．如图，边长为4 的菱形的对角线、相交于点O， ，P 为线段上的一动点，连接，将线段 绕点B 逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 11．如图，在菱形中，，，点E、F分别是边、上的动点，且，则面积的最小值为 ． 12．如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ．    13．定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形．如图，在筝形中，，，．将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ． 14．如图，在菱形中，，，点、分别是边、上的动点，且，则的最小值是 ． 15．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为 ． 16．菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是 ；此时点的坐标为 ． 17．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是 ． 18．如图，在菱形中，，，对角线、交于点，点、分别在边上移动，且，连接、，则的最小值为 ． 类型二、矩形最值问题 1．如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 2．如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，，点P为直线上一个动点，作射线，过点C作，垂足为Q，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 4．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 5．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 6．如图，正方形的边长为2，点分别在上，且与相交于点，连接，则的最小值为 ． 7．如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ． 8．如图，在矩形中，，点是的中点，点是上的任意一点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为 ． 9．如图，在矩形中，，点E在边上，将绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 10．如图在矩形中，，．点在线段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 11．如图，在矩形中，，，点M是的中点，点E是边上一点，，F是上一点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．则的最小值为 ． 12．如图，在矩形中,，点F是上一动点(包括端点E，C)，点P是的中点，连接，则的最小值为 ． 13．如图，在矩形中，，，是边上一个动点，过点作，垂足为点，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ． 14．如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，．连接、，则的最小值为 ． 15．如图，在矩形中，是边上任意一点，分别过点作射线的垂线，垂足分别是，若，则的最小值是 ． 16．如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 17．如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 18．如图，在矩形中，，．点在边上，且，分别是边上的动点，且，是线段上的动点，连接．若取最小值，则线段的长为 ． 19．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 20．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作于点E，交于点F，连接，则的最小值为 ． 类型二、正方形最值问题 1．如图，在正方形中，，为边上一点，，为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作于点、于点，连接、，则的最小值为 ． 2．如图，正方形的边长为4，点E、F分别是边、上的点，满足，以为边在点A的同侧作正方形，则的最小值为 ． 3．如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．则的最小值是 ． 4．如图，正方形的面积为S，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为 ． 5．如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ，此时的长为 ． 6．如图，点是边长为8的正方形的对角线上的动点，以为边向左侧作正方形，点为的中点，连接，在点E运动过程中，线段的最小值是 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B是x轴上一个动点，连接，以为边作正方形，连接，则的最小值为 ． 8．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 9．如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为 ． 10．如图，正方形的边长为5，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，将线段绕C点逆时针旋转得，连，线段的最小值为 ． 11．如图，正方形的边长为3，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转45°得到，连接，则线段长度的最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $