专题03 一元二次方程特殊解的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题03 一元二次方程特殊解的两种考法 类型一、换元法解一元二次方程问题 1．关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 4．已知a、b实数且满足，则的值为 ． 5．已知方程的根是，，则方程的根是 6．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 7．若实数，则的值为 ． 8．求方程的正整数解． 9．利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 10．换元法解方程：． 11．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)【直接应用】解方程：； (2)【间接应用】已知实数a，b满足：，，且，求的值； (3)【拓展应用】已知实数x，y满足：，且，求的值． 类型二、一元二次方程新定义问题 1．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 3．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 5．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程特殊解的两种考法 类型一、换元法解一元二次方程问题 1．关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的来求解．此题主要考查了换元法解一元二次方程，注意由两个方程的特点进行简便计算是解题的关键． 【详解】解：已知方程 的解为 ，． 对于新方程 ，可令 ， 则方程变为 ，与原方程形式相同． 故方程的解为 或 ，即： 或 ． 解得： 或 故方程的解是，． 故选：B． 2．解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：设，则， 因为， 所以， 两边同乘，消去分母：， 移项整理得：． 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则一元二次方程必有一根为 ． 【答案】2024 【分析】利用换元法，进行计算即可 【详解】由，得． 设，则． 关于x的一元二次方程有一根为2025，即有一个根为2025， ，解得， 一元二次方程必有一根为2024． 4．已知a、b实数且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 5．已知方程的根是，，则方程的根是 【答案】或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，根据题意可知，方程的根是或，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程的根是，， ∴方程的根是或， 解得或． 故答案为：或． 6．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】将题干中的一元二次方程通过变量替换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：把一元二次方程 整理得． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 7．若实数，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，用换元法解一些复杂的方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．设，原式化为：，解一元二次方程求得的值，从而求得． 【详解】解：设，原式化为：， 整理得，， 解得，， ， ， 故答案为：6． 8．求方程的正整数解． 【答案】原方程的正整数解为，，． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；先将方程变形为关于x的一元二次方程，进而根据题意得出判别式为完全平方数，进而求得y的值，逐个代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：以x为主元，有，方程的正整数解． 则是完全平方数， 所以，1，4，9，16，解得，4． 当时，，，（舍）； 当时，，，． 所以原方程的正整数解为，，． 9．利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，设，则．再按照一元二次方程的解法求解即可； （2）把原方程化为：，设，则，再按照解一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 10．换元法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 11．阅读材料，解答问题： 材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)【直接应用】解方程：； (2)【间接应用】已知实数a，b满足：，，且，求的值； (3)【拓展应用】已知实数x，y满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可． （2）分情况讨论：①，②，再类比材料中内容换元解方程即可． （3）令，，将原方程转化为一元二次方程，利用根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或， ∴，，，． （2）∵， ∴或． ①当时，令，， ∴，则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴，此时． ②当时，， 此时， 综上：或． （3）令，，则，， ∵，∴，即， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，故． 类型二、一元二次方程新定义问题 1．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)①②或3 (2)该方程的“关爱码”为或 (3)2 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是，计算见解析 (2)或 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再根据题意即可得到答案； （2）根据题意利用公式法解一元二次方程，再列出两根相减等于1的式子，解出即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵符合“邻根方程”定义， ∴是“邻根方程”； （2）解：∵关于的二次方程．（是常数）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴或， ①当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ②当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ③当时，即， 方程根为， 不符合题意，不存在的值使得其中一个根比另一个根大1， ∴综上所述：或． 3．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论； (3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数，见解析 (3) 【分析】本题考查了二次方程根的应用： （1）根据题意直接可得到答案； （2）求出的两根，与的两根对比即可得到关系；证明见解析； （3）利用（2）中结论求出其友好方程的根，再将看作整体即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：， 故答案为：； （2）解：， ， ， 解得； 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 故答案为：，互为倒数； 证明：解方程， 当时，． 解方程，得， ∴ ． 故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； （3）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为2025． ，即， 将看作整体，则或， ∴． 4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”，理由见详解 (2)0或 (3)t的最大值为 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻近根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程得大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由，得t与a的关系，化简即可． 【详解】（1）解：方程是“邻近根方程”， 理由：在方程中， ， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”． （2）解：， ， ，， ，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”， ，即， ∴， 解得：或． （3）解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 即t的最大值为． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻近根方程”的定义． 5．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①证明见解析；②存在，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③； （2）解：①证明：， ， 此方程一定是“美好方程”． ②存在，理由如下： ， ，， 始终在函数的图象上， ， ， ∴ 则 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $