专题04 根与系数之间关系的五种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级上册

专题04 根与系数之间关系的五种考法 类型一、利用韦达定理化简求值 1．已知，是方程的两根，则的值为（   ） A． B．0 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解使方程成立的未知数的值是解题的关键． 由一元二次方程的解、根与系数的关系可得，，即，再对代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 2．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 3．已知m， n是方程： 的两个根．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根定义和根与系数关系，解题的关键是把要求的式子进行正确的变形；先根据根的定义把m代入方程，再根据根与系数的关系得到m和n的关系，把要求的式子进行变形即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， ∴ ∴． 故答案为：． 4．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 5．若实数、，满足，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 7．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作，则的值为 ． 【答案】． 【分析】由根与系数的关系得，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】由韦达定理得：， 原式， ∵ ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求解． 8．若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式，一元二次方程的解． 由一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而可得，结合，即可得的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 9．设，是方程的两个根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、一元二次方程根与系数的关系，因为是方程的一个根，可得：和，整理可得：，再把代入，可得：原式，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，再利用整体代入法代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ，， 把的两边同时乘以， 可得：， ， 把代入， 可得：， 整理可得：原式， ，是方程的两个根， ，， ， ， ． 类型二、利用韦达定理求参数范围 1．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，且 (2)不存在实数，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握以上公式． （1）整理原方程，再利用根的判别式列出不等式，求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式进行整理判断即可． 【详解】（1）解：由整理得，， 根据题意得， 解得，且； （2）解：不存在实数，理由如下： 令方程的两个根分别为， 则， ∴， 所以，不存在实数． 2．（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟悉解一元二次方程的方法，根的判别式以及根与系数的关系． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）①由，则方程有两个相等的实根，则，根据求解即可； ②根据根与系数的关系，代入求解即可． 【详解】（1）， ， ， 所以． （2）①由题知，方程有两个相同的实数根， 所以， 解得； ②由根与系数的关系，， ， ， 即， 解得或， 当时，方程为，，符合题意； 当时，方程为，，不符合题意， 故． 3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的两个不相等的实数根，得，即可列式作答； （2）结合一元二次方程根与系数的关系，得和，因为，所以，解得，，结合，即可作答； 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根 ∴，即； （2）解：∵，且， ∴ 整理得， 解得：， ∵由（1）知， ∴ 检验：当时，，即； 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根据一元二次方程根的情况求参数等内容，正确掌握，是解题的关键． 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由可得关于k的方程，求解该方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、， ∴， ∵， ∴ ． 解方程得：，． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 5．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2． (1)若，求m的值； (2)令T＝＋，求T的取值范围． 【答案】(1)1 (2)0<T≤4且T≠2 【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积． （1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值； （2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根， ∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0， 解得m≤1， ∵m是不小于-1的实数， ∴-1≤m≤1， ∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3． ∵x12+x22=2， ∴（x1+x2）2-2x1x2=2， ∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2， 整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去）， ∴m的值为1； （2）T＝＋， = = = = ==2-2m． ∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0， 解得m=1或m=0． ∴当m=1或m=0时，T没有意义． ∴且 ∴0<2-2m≤4且．即0<T≤4且T≠2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子． 6．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2）由是方程的根， ， ， 解得． （3）， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 类型三、利用韦达定理求根分布问题 1．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是．选D 2．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 令，根据题意列不等式组，解不等式组即可． 【详解】令，因为方程的两根都大于， 所以由题意可得， 解得：， 解得：， 解得：或， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 3．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根同为正根； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由一元二次方程有两个正根，可列不等式组，再解不等式组即可； （2）由一元二次方程两个均大于1，可得 即再结合根与系数的关系列不等式，结合，从而可得答案； （3）由可得 结合求解 再利用 再解方程求解的值，再检验即可. 【详解】（1）解： 一元二次方程有两个正根， 由①得： 解得：或 由②得： 由③得： 所以的取值范围为：； （2）解： 由（1）得： 一元二次方程两个均大于1， 即 而 解得： 综上 （3）解： ，则 解得： 整理得： 或 经检验：或都符合题意. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练的运用根的判别式与根与系数的关系求解一元二次方程中字母参数的值或范围是解本题的关键. 类型四、利用韦达定理求整数解问题 1．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； (3)若方程的两个根均为正整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)5或8或9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可得； （2）先得出，再求出方程的解，代入方程求解即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据方程的两个根均为正整数分类讨论，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （2）解：当取最大整数值时，则， ∴方程为， 解得， ∵方程与有一个相同的根， ∴， 解得． （3）解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∵这个方程的两个根均为正整数， ∴①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， 综上，的值为5或8或9． 2．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程，当判别式时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，若方程的两个实数根为、，则，． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出判别式，列出不等式即可得答案； （2）根据（1）中结果得出值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）设方程的两个实数根为、，且， ∴，， 由（1）可知：， ∵为符合条件的最小整数， ∴， ∵该方程的较大根是较小根的倍， ∴， ∴，， ∴， 解得：，． 当时，，则，符合题意， 当时，，则，与不符，舍去， ∴． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值； (2)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与的分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式的求值，掌握“利用根与系数的关系构建整体，再代入求值”是解本题的关键． （1）将代入方程即可求出； （2）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到，即，代入代数式化简即可求出答案． 【详解】（1）解：是方程的一个根，代入方程得：， 即， ； （2）解： a与（）分别是关于x的方程的两个根， ，， 与都是整数， 与同为整数， ， ， ， ， 将代入， 原式， ， ． 类型五、利用韦达定理构造一元二次方程 1．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为、，则，． 材料2：已知实数、满足，，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为、，则 ， ． (2)已知实数、满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程， ，， ， ； （3）解：将两边同时除以， 变形为， ∴实数和可看作方程的两根， ，， ． 2．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 3．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 4．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2)或或 【分析】（1）利用换元法解方程，设，则原方程可化为，解关于的方程得到，，则或，然后分别解两个元二次方程即可； （2）根据已知条件，当时，，解关于的一元二次方程得，则； 当时，把、看作方程的两不相等的实数根，则根据根与系数的关系得到，，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：，， ∴原方程的解为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵实数，满足：，且， 当时，，解关于的一元二次方程， 得：， ∴； 当时，则、是方程的两不相等的实数根， ∴，， ∴； ∴的值为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；也考查了换元法，解一元二次方程，求代数式的值，运用了恒等变换的思想．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 根与系数之间关系的五种考法 类型一、利用韦达定理化简求值 1．已知，是方程的两根，则的值为（   ） A． B．0 C．10 D．14 2．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知m， n是方程： 的两个根．则 ． 4．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 5．若实数、，满足，，且，则的值为 ． 6．如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 7．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作，则的值为 ． 8．若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 9．设，是方程的两个根，求的值． 类型二、利用韦达定理求参数范围 1．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．（1）解方程：； （2）已知是方程的两个根． ①若，求m的值； ②若，求m的值． 3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根 (1)直接写出m的取值范围 (2)若满足，求m的值． 4．如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值． 5．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2． (1)若，求m的值； (2)令T＝＋，求T的取值范围． 6．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若，求的值； (3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 类型三、利用韦达定理求根分布问题 1．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 3．一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根同为正根； (2)两个根均大于； (3)． 类型四、利用韦达定理求整数解问题 1．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值； (3)若方程的两个根均为正整数，直接写出的值． 2．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值； (2)若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与的分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 类型五、利用韦达定理构造一元二次方程 1．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为、，则，． 材料2：已知实数、满足，，且，求的值． 解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为、，则 ， ． (2)已知实数、满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值． 2．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 3．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 4．阅读材料，解答问题： 【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $