专题07 圆的面积综合（计算专项训练）数学北师大版六年级上册

专题07：圆的面积综合 圆的面积 圆所占面积的大小叫圆的面积。 把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r。 圆的面积公式：Ｓ＝πｒ² 或者S=π（d÷2）² 或者S=π（C÷(2π)）² 圆环的面积 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度．） 半圆的面积 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝πｒ²÷2 题型1：圆面积计算 题型特征：利用面积公式直接计算。 典型例题： 求下列图形的周长和面积。 解题思路：已知圆的直径是6cm，根据圆的周长公式即可求出周长；根据圆的面积公式即可求出面积。 解题过程： 周长：（cm） 半径：6÷2＝3（cm） 面积：（cm2） 所以圆的周长为18.84cm，面积为28.26cm2。 跟踪训练： 求下列图形的面积和周长。 题型2：多边形与圆的面积 题型特征：多边形的面积－圆的面积 典型例题： 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 解题思路：要求阴影部分的面积，观察图形可知，阴影部分的面积等于梯形的面积减去半圆的面积。所以需要先确定梯形的上底、下底、高以及半圆的半径，再分别运用梯形面积公式和圆的面积公式计算出梯形面积与圆的面积，圆的面积除以2即可求得半圆面积，最后用梯形面积和半圆面积作差得到阴影部分面积。 解题过程： 梯形面积： （平方厘米） 半圆面积： 阴影部分面积： 因此，阴影部分面积为9.87平方厘米。 跟踪训练： 求阴影部分的面积。 题型3：分割法求面积 题型特征：通过分割，转化为完整图形的面积 典型例题： 计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 解题思路：将左边的半圆切割成两个圆，拼接到右边阴影部分的上下空白处，则整个阴影部分的面积就是正方形面积的一半，即可作答。 解题过程： 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 阴影部分的面积是8平方厘米。 跟踪训练： 计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 题型4：重叠法圆的面积 题型特征：几个图形面积相减求阴影部分面积 典型例题： 如图：求阴影部分的面积。（单位：cm） 解题思路：把这个图形分成4个部分，如图，观察图形可知阴影部分的面积＝S①＋S③＝（S①＋S②＋S③）＋（S③＋S④）－（S②＋S③＋S④）＝S大扇形＋S小扇形－S长方形，大扇形是半径为8cm的圆的，小扇形是半径为6cm的圆面积的，根据圆的面积＝半径2，长方形面积＝长×宽，代入数据进行计算即可。 解题过程： S阴影部分 ＝S①＋S③ ＝（S①＋S②＋S③）＋（S③＋S④）－（S②＋S③＋S④） ＝S大扇形＋S小扇形－S长方形 ＝π×82＋π×62－8×6 ＝π×（82＋62）－48 ＝π×（64＋36）－48 ＝π×100－48 ＝25π－48 ＝25×3.14－48 ＝78.5－48 ＝30.5（cm2） 所以阴影部分的面积是30.5cm2。 跟踪训练： 求阴影部分面积。（单位：cm） 题型5：圆环的面积 题型特征：大圆面积－小圆面积 典型例题： 如图：求圆环的面积。 解题思路：已知外圆半径12cm，内圆半径8cm，根据圆环的面积：S＝πR2－πr2＝π（R2－r2），代入数据计算即可。 解题过程： （122－82）×3.14 ＝（144－64）×3.14 ＝80×3.14 ＝251.2（cm2） 圆环的面积是251.2cm2。 跟踪训练： 求下面图形涂色部分的面积。 题型6：部分圆环的面积 题型特征：完整圆环的几分之几 典型例题： 求下图阴影部分的面积。 解题思路：根据半径＝直径÷2，阴影部分的面积就是两个，的环形的，刚好可拼成环形面积的一半，根据环形的面积公式，代入数据计算出环形的面积再除以2，即可得解。 解题过程： 6÷2＝3（cm） （cm2） 阴影部分的面积是25.12cm2。 跟踪训练： 求下边图形阴影部分的面积。 题型7：扇形的面积 题型特征：圆心角占圆的几分之几，面积就是几分之几 典型例题： 计算下面图形中的阴影部分面积。（π取3.14） 解题思路： 如上图所示，将阴影部分上面用红线描出的部分记为①，由图可知三角形为等腰直角三角形，所以斜边上的高也是4厘米，同时也是圆心角为90°的扇形的半径，通过分析图形，阴影部分的面积可以用圆心角为90°半径为4厘米的扇形面积减去①的面积求出，而①的面积又可以用等腰直角三角形的面积减去2个圆心角为45°半径为4厘米的扇形面积求出。 解题过程： 根据分析中的图示：将红线描出的部分记为① 等腰直角三角形的面积： （平方厘米） 圆心角为45°半径为4厘米的扇形面积： （平方厘米） 圆心角为90°半径为4厘米的扇形面积： （平方厘米） ①的面积：（平方厘米） 阴影部分的面积：（平方厘米） 所以图形中的阴影部分面积为9.12平方厘米。 跟踪训练： 如图所示，三个圆的周长都是18.84厘米，求涂色部分的面积。 题型8：圆面积的实际应用 题型特征：利用圆面积公式求解 典型例题： 一块长方形木块，长8分米，宽4分米，如果把它制成一个最大的圆形桌面，被锯掉的木板面积是多少平方分米？ 解题思路：根据题意，要在长方形中制成最大的圆形，就要将长方形的宽作为圆的直径，圆的半径就是直径的一半；根据，及圆的面积公式：，分别求出长方形和圆的面积，最后用长方形的面积减去圆的面积即可。 解题过程： 8×4＝32（平方分米） （平方分米） 32－12.56＝19.44（平方分米） 答：被锯掉的木板面积是19.44平方分米。 跟踪训练： 如图是一种蒸饭的木桶叫甑子，木桶盖为圆形。王伯伯要在一个边长20厘米的正方形木板上栽下一个最大的盖子。 （1）王伯伯先在木板上用笔画出盖子的轮廓，轮廓长多少厘米？ （2）裁下盖子后，剩下木板的面积是多少平方厘米？ 题型9：圆环面积的实际应用 题型特征：先求完整圆环面积，再求实际面积 典型例题： 某款车上安装的雨刷是在一个摆臂上安装胶条，只有胶条才能把挡风玻璃上的灰尘刷干净，如图所示。这款车上雨刷摆臂长度60厘米，胶条长度是40厘米，摇摆角度是180°，那么这种雨刷能刷到的面积是多少平方厘米？ 解题思路：雨刷摇摆角度是180°，求雨刷能刷到的面积，就是一个环形面积的一半，环形的，，根据环形的面积公式，用环形的面积再除以2即可得解。 解题过程： 60－40＝20（厘米） （平方厘米） 答：这种雨刷能刷到的面积是5024平方厘米。 跟踪训练： 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称。制作一把这样扇骨两面贴宣纸扇面的折扇，一共需要多少平方厘米的宣纸？ 题型1：圆面积计算 跟踪训练： 求下列图形的面积和周长。 【答案】50.24平方厘米，25.12厘米；63.585平方分米，28.26分米 【分析】圆的直径÷2＝半径，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的面积＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 2×3.14×4＝25.12（厘米） 3.14×（9÷2）2 ＝3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方分米） 3.14×9＝28.26（分米） 题型2：多边形与圆的面积 跟踪训练： 求阴影部分的面积。 【答案】19.44dm2 【分析】根据图可知，梯形的下底＝梯形的高－圆的半径，即10－4＝6dm，阴影部分面积＝上底是4dm，下底是6dm，高是10dm的梯形面积－底是6dm，高是6dm的三角形面积－半径是4dm的圆的面积的，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】10－4＝6（dm） （4＋6）×10÷2－6×6÷2－3.14×42× ＝10×10÷2－6×6÷2－3.14×16× ＝100÷2－36÷2－50.24× ＝50－18－12.56 ＝32－12.56 ＝19.44（dm2） 阴影部分的面积是19.44dm2。 题型3：分割法求面积 跟踪训练： 计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】7.5平方厘米 【分析】如下图所示，将阴影部分的图形通过旋转和平移，转化为一个上底是1厘米，下底是4厘米，高是3厘米的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算。 【详解】4－3＝1（厘米） （1＋4）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 则阴影部分的面积7.5平方厘米。 题型4：重叠法圆的面积 跟踪训练： 求阴影部分面积。（单位：cm） 【答案】9.12cm2 【分析】观察图形，4个直径为4cm的半圆可以组成2个圆，则阴影部分的面积＝2个圆的面积－正方形的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（4÷2）2×2－4×4 ＝3.14×22×2－4×4 ＝3.14×4×2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（cm2） 阴影部分的面积是9.12cm2。 题型5：圆环的面积 跟踪训练： 求下面图形涂色部分的面积。 【答案】21.98cm2 【分析】本题是求圆环（涂色部分）的面积，由图可知外圆的半径为4cm，内圆的半径为3cm。根据圆的面积公式S＝πr2（S表示面积，π通常取3.14，r表示半径），分别求出外圆和内圆的面积，再用外圆的面积减内圆的面积即可得到涂色部分的面积。 【详解】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2） 50.24－28.26＝21.98（cm2） 图形涂色部分的面积是21.98cm2。 题型6：部分圆环的面积 跟踪训练： 求下边图形阴影部分的面积。 【答案】28.26cm2 【分析】看图可知，阴影部分是圆环，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出圆环面积，再乘即可。 【详解】3.14×（102－82）× ＝3.14×（100－64）× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝28.26（cm2） 阴影部分的面积是28.26cm2。 题型7：扇形的面积 跟踪训练： 如图所示，三个圆的周长都是18.84厘米，求涂色部分的面积。 【答案】21.195平方厘米 【分析】观察图形可知，四边形由两个三角形组成，根据三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是360°，三个圆的周长相同，则它们的形状相同，据此可知，阴影部分的面积可以拼成一个圆心角是（360°－90°）的扇形的面积，根据圆周长公式：C＝2πr，用18.84÷3.14÷2即可求出圆的半径，再根据圆的面积公式： S＝πr2，代入数据即可求出一个圆的面积，阴影部分的面积占圆的（360°－90°）÷360°＝，然后根据分数乘法的意义，用一个圆的面积×，即可求出阴影部分的面积。 【详解】360°－90°＝270° 270°÷360°＝ 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3×3×3.14× ＝9×3.14× ＝28.26× ＝21.195（平方厘米） 涂色部分的面积是21.195平方厘米。 题型8：圆面积的实际应用 跟踪训练： 如图是一种蒸饭的木桶叫甑子，木桶盖为圆形。王伯伯要在一个边长20厘米的正方形木板上栽下一个最大的盖子。 （1）王伯伯先在木板上用笔画出盖子的轮廓，轮廓长多少厘米？ （2）裁下盖子后，剩下木板的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）62.8厘米 （2）86平方厘米 【分析】（1）木桶盖为圆形，在一个边长20厘米的正方形木板上栽下一个最大的盖子，则圆形盖子的直径就为20厘米，根据圆的周长公式：，代入数据计算即可知道轮廓长多少厘米； （2），圆的面积公式：，同一个圆内，半径是直径的一半，剩下木板的面积＝正方形的面积－圆的面积，代入数据计算即可。 【详解】（1）3.14×20＝62.8（厘米） 答：轮廓长62.8厘米。 （2）20×20＝400（平方厘米） （平方厘米） 400－314＝86（平方厘米） 答：剩下木板的面积是86平方厘米。 题型9：圆环面积的实际应用 跟踪训练： 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称。制作一把这样扇骨两面贴宣纸扇面的折扇，一共需要多少平方厘米的宣纸？ 【答案】2512平方厘米 【分析】制作一把这样扇骨两面贴宣纸扇面的折扇，实际就是求半径是30厘米的圆的面积减去半径是10厘米的圆的面积，即求圆环的面积，根据圆环的面积＝×（－），代入数据计算即可。 【详解】3.14×（302－102） ＝3.14×（900－100） ＝3.14×800 ＝2512（平方厘米） 答：一共需要2512平方厘米的宣纸。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $