2.1 认识实数 讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

认识实数 2.1认识实数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 勾股定理的应用解释 课前复习 勾股定理的应用体现 勾股定理的应用题型 新课探索 无理数的定义 无理数的定义 常见的无理数的几种类型 无理数类型 无理数的估算 无理数的估算 用估算法比较数的大小 比较大小 实数的概念及分类 概念分类 实数的有关概念和性质 性质 实数与数轴上点的关系 数轴 题型练习 无理数 题型练习 无理数的大小估算 实数概念理解 实数与数轴 实数的大小比较 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 一、勾股定理的应用解释 ①勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. ②通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二 者相辅相成，以解决问题.常见图形： 二、勾股定理的应用体现 ①已知直角三角形的两边，求第三边。 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 ②解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或 待求的边）。这一步是解决问题的核心。 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 作答：写出明确的答案。 3、 勾股定理的应用题型 1、勾股定理与网格问题 2、勾股定理与折叠问题 3、求梯子滑落高度 4、解决水杯中筷子问题 5、求河宽 6、求台阶上地毯长度 7、判断汽车是否超速 8、判断是否受台风影响 9、选址使到两地距离相等 10、求最短路径 新课探索 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.如圆周率π、面积为2的正方形的边长等. 说明： (1)无理数有正负之分，分别称为正无理数和负无理数. (2)只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. (3)这句话反过来说也是正确的，即无理数是无限不循环小数. 从小数观点理解无理数：(1)小数；(2)位数无限；(3)不循环.三者缺一不可. 二、常见的无理数的几种类型 分类 举例 一般的无限不循环小数 1.41421356... 有规律但不循环的小数 1.1010010001...（相邻两个1之间0的个数依次加1） 某些含π的数 2π 开方开不尽的方根（下面会学习到） 【练习】 下列数中，哪些是无理数？ (3.14159)，，(0)，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1， 注意 (1)无理数的两大特征：一是无限性；二是不循环. (2)识别无理数，不能只看形式，关键看它能否写成无限不循环小数. 三、无理数的估算 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用逐步逼近，先确 定其整数部分，再确定十分位、百分位等. 注意： “精确到”与“误差小于”的意义区别：如精确到1m,是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于 1m,答案 与原数相差不超过1m都符合题意，答案不唯一.一般情况下，误差小于1m就是 估算到个位，误差 小于10m就是估算到十位. 【练习】 单选题估算的值在() A 5和6之间 B 6和7之间 C 7和8之间 D 8和9之间 四、用估算法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，一般先进行分析，估算出无理数的取 值范围，再进行具体的比较. 比较两个数的大小时常用的结论： (1)若a>b≥0,则>; (2)若a>b,则>; (3)若a,b都为正数，且a>b,则a²>b²; (4)若a,b都为负数，且0>a>b,则b²>a². 【练习】 比较大小：。 五、实数的概念及分类 实数的概念：有理数和无理数统称实数 实数的分类： 按概念分类： 按正负性分类 实数 点拨 (1)判断一个实数是有理数还是无理数，应遵循“一化简、二辨析、三判断”的原 则； (2)由于无理数的引入，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后所研究与探讨的取值问题，都在实数范围内进行； (3)含根号的数不一定都是无理数； (4)能写成分数的数都是有理数，但需要注意不要把类似3的数误认为是分数，它是无理数. 【练习】 下列说法不正确的是 ( ) A 实数包括正实数、零、负实数 B正整数和负整数统称为整数 C无理数一定是无限小数 6、 实数的有关概念和性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数↔a+b=0 绝对值 实数a的绝对值表示|a| (1) |a|= (2) (2)|a|≥0(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a| 倒数 a与1/a互为倒数（其中a≠0） (1)a，b互为倒数ab↔1；(2)正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数 【练习】 下列说法中不正确的是 ( ) A -1的绝对值是1 B -1的倒数是-1 C -1的相反数是1 D -1是无理数 7、 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都表示一个实数.即实数与数轴上的点是——对应的. 2.用数轴上的点表示无理数的三步法： 【练习】 如图，数轴上点C表示的数为（ ） 题型练习 1、 无理数 1．在，3.1415926、，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐 次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2、 无理数的大小估算 4．已知a，b为相邻整数，且，则下列关于a和b的描述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．估计的值在（   ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 6．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 3、 实数概念理解 7．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 8．实数是2025的（   ） A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确 【答案】B 9．实数的相反数是2023，那么实数是（    ） A．2023 B． C． D． 4、 实数与数轴 10．与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 11．如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交 于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 12．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D． 5、 实数的大小比较 13．下列各数中，最小的是（    ） A． B．2 C．0 D． 14．下列各数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 15．下列各数中，最小的数是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D． 易错点 1、 混淆有理数与无理数：误将无限循环小数当无理数，或认为带根号的数必为无理数（如√4是有理数）。 2、无理数识别错误：将π/2当成分数（分数是有理数），或认为无限小数都是无理数（无限循环小数是有理数） 3、实数与数轴对应关系：误认为数轴上的点不都表示实数（实为一一对应）。 4、绝对值与相反数混淆：如|-|错写为-，或的相反数错写为（倒数）。 总结 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.如圆周率π、面积为2的正方形的边长等. 说明： (1)无理数有正负之分，分别称为正无理数和负无理数. (2)只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. (3)这句话反过来说也是正确的，即无理数是无限不循环小数. 从小数观点理解无理数：(1)小数；(2)位数无限；(3)不循环.三者缺一不可. 二、常见的无理数的几种类型 分类 举例 一般的无限不循环小数 1.41421356... 有规律但不循环的小数 1.1010010001...（相邻两个1之间0的个数依次加1） 某些含π的数 2π 开方开不尽的方根（下面会学习到） 三、无理数的估算 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用逐步逼近，先确 定其整数部分，再确定十分位、百分位等. 四、用估算法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，一般先进行分析，估算出无理数的取 值范围，再进行具体的比较. 比较两个数的大小时常用的结论： (1)若a>b≥0,则>; (2)若a>b,则>; (3)若a,b都为正数，且a>b,则a²>b²; (4)若a,b都为负数，且0>a>b,则b²>a². 五、实数的概念及分类 实数的概念：有理数和无理数统称实数 实数的分类： 按概念分类： 按正负性分类 实数 8、 实数的有关概念和性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数↔a+b=0 绝对值 实数a的绝对值表示|a| (3) |a|= (4) (2)|a|≥0(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a| 倒数 a与1/a互为倒数（其中a≠0） (1)a，b互为倒数ab↔1；(2)正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数 9、 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都表示一个实数.即实数与数轴上的点是——对应的. 2.用数轴上的点表示无理数的三步法： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识实数 2.1认识实数 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 勾股定理的应用解释 2 课前复习 勾股定理的应用体现 勾股定理的应用题型 新课探索 无理数的定义 4 无理数的定义 常见的无理数的几种类型 无理数类型 无理数的估算 无理数的估算 用估算法比较数的大小 比较大小 实数的概念及分类 概念分类 实数的有关概念和性质 性质 实数与数轴上点的关系 数轴 题型练习 无理数 10 题型练习 无理数的大小估算 实数概念理解 实数与数轴 实数的大小比较 易错点 16 易错点 总结 17 总结 课前复习 一、勾股定理的应用解释 ①勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. ②通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二 者相辅相成，以解决问题.常见图形： 二、勾股定理的应用体现 ①已知直角三角形的两边，求第三边。 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 ②解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或 待求的边）。这一步是解决问题的核心。 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 作答：写出明确的答案。 3、 勾股定理的应用题型 1、勾股定理与网格问题 2、勾股定理与折叠问题 3、求梯子滑落高度 4、解决水杯中筷子问题 5、求河宽 6、求台阶上地毯长度 7、判断汽车是否超速 8、判断是否受台风影响 9、选址使到两地距离相等 10、求最短路径 新课探索 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.如圆周率π、面积为2的正方形的边长等. 说明： (1)无理数有正负之分，分别称为正无理数和负无理数. (2)只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. (3)这句话反过来说也是正确的，即无理数是无限不循环小数. 从小数观点理解无理数：(1)小数；(2)位数无限；(3)不循环.三者缺一不可. 二、常见的无理数的几种类型 分类 举例 一般的无限不循环小数 1.41421356... 有规律但不循环的小数 1.1010010001...（相邻两个1之间0的个数依次加1） 某些含π的数 2π 开方开不尽的方根（下面会学习到） 【练习】 下列数中，哪些是无理数？ (3.14159)，，(0)，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1， 解析： (3.14159) 是有限小数，属于有理数。 是分数，属于有理数。 (0) 是整数，属于有理数。 （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）是有规律但不循环的无限小数， 属于无理数。 是含有的数，属于无理数。 所以无理数有，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），。 注意 (1)无理数的两大特征：一是无限性；二是不循环. (2)识别无理数，不能只看形式，关键看它能否写成无限不循环小数. 三、无理数的估算 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用逐步逼近，先确 定其整数部分，再确定十分位、百分位等. 注意： “精确到”与“误差小于”的意义区别：如精确到1m,是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于 1m,答案 与原数相差不超过1m都符合题意，答案不唯一.一般情况下，误差小于1m就是 估算到个位，误差 小于10m就是估算到十位. 【练习】 单选题估算的值在() A 5和6之间 B 6和7之间 C 7和8之间 D 8和9之间 答案：A、分析：∵25<26<36,:5<<6,则的值在5和6之间，故选：A. 四、用估算法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，一般先进行分析，估算出无理数的取 值范围，再进行具体的比较. 比较两个数的大小时常用的结论： (1)若a>b≥0,则>; (2)若a>b,则>; (3)若a,b都为正数，且a>b,则a²>b²; (4)若a,b都为负数，且0>a>b,则b²>a². 【练习】 比较大小：。 答案：> 解析：因为，，所以。 五、实数的概念及分类 实数的概念：有理数和无理数统称实数 实数的分类： 按概念分类： 按正负性分类 实数 点拨 (1)判断一个实数是有理数还是无理数，应遵循“一化简、二辨析、三判断”的原 则； (2)由于无理数的引入，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后所研究与探讨的取值问题，都在实数范围内进行； (3)含根号的数不一定都是无理数； (4)能写成分数的数都是有理数，但需要注意不要把类似3的数误认为是分数，它是无理数. 【练习】 下列说法不正确的是 ( ) A 实数包括正实数、零、负实数 B正整数和负整数统称为整数 C无理数一定是无限小数 答案：B、分析：A、实数包括正实数、零、负实数，正确； B、正整数、0和负整数统称为整数，错误； C、无理数一定是无限小数，正确； 故选：B. 6、 实数的有关概念和性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数↔a+b=0 绝对值 实数a的绝对值表示|a| (1) |a|= (2) (2)|a|≥0(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a| 倒数 a与1/a互为倒数（其中a≠0） (1)a，b互为倒数ab↔1；(2)正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数 【练习】 下列说法中不正确的是 ( ) A -1的绝对值是1 B -1的倒数是-1 C -1的相反数是1 D -1是无理数 答案：D、分析：A、-1的绝对值是1,故A不符合题意； B、-1得到数是-1,故B不符合题意； C、-1的相反数是1,故C不符合题意； D、-1是有理数，故D符合题意； 故选：D. 7、 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都表示一个实数.即实数与数轴上的点是——对应的. 2.用数轴上的点表示无理数的三步法： 【练习】 如图，数轴上点C表示的数为（ ） 答案： 分析：由勾股定理，得OA==,由圆的性质，得OC=OA=, 故答案为：. 题型练习 1、 无理数 1．在，3.1415926、，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐 次加1）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是无限不循环小数，据此逐个判断即可. 【详解】解：由题意得，无理数有（相邻两个1之间0的个数逐次加 1），一共3个. 故选：C. 2．下列各数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、是开方开不尽的数，属于无理数； C、是有限小数，属于有理数； D、，是整数，属于有理数； 故选：B ． 3．在实数，，，，，中，无理数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义：无 限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：， 在实数，，，，，中，无理数有，，共个， 故选：B． 2、 无理数的大小估算 4．已知a，b为相邻整数，且，则下列关于a和b的描述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，即可解答． 【详解】解：， ， ， a，b为相邻整数，且， ，． 故选：C． 5．估计的值在（   ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的大小估算．根据题意，先确定的范围，再进行估算即可． 【详解】解：，即， ， 故选：C． 6．下列各数中比4大比5小的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数的大小比较，逐一判断各选项的数的范围即可得到答案． 【详解】解：， 所给的各数中比4大比5小的实数是． 故选C． 3、 实数概念理解 7．实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为 相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． 8．实数是2025的（   ） A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了实数及相反数，熟练掌握实数及相反数的意义是解题的关键；因此此题可根据相反数的意义进行求解 【详解】解：实数是2025的相反数； 故选：B ． 9．实数的相反数是2023，那么实数是（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【详解】∵实数的相反数是2023， ∴， 故选：B． 4、 实数与数轴 10．与数轴上的点一一对应的数是（   ） A．分数 B．有理数 C．无理数 D．实数 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据实数与数轴上的点一对一对应，进行判断即可． 【详解】解：与数轴上的点一一对应的数是实数 故选D． 11．如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交 于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，推 出即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B， ∴， ∴点B表示的实数是， 故选：D． 12．如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得点P到原点的距离大于2，再由点P在原点右侧即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，点P到原点的距离大于数1到原点的距离的2倍， ∴数轴上点表示的数要小于， ∴四个数中，只有符合题意， 故选：A． 5、 实数的大小比较 13．下列各数中，最小的是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数大小的比较．根据正数大于0，负数小于0，两个正数比较大小绝 对值大的较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小．据此比较四个选项所给的数的 大小，即可得出结果． 【详解】， ， ． 而，所以， 最小的是． 故选：A． 14．下列各数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．先比 较数的大小，即可得出答案 【详解】解：∵ ∴最小的数是 故选：C． 15．下列各数中，最小的数是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查比较实数的大小，正数0负数，两个正数比较大小绝对值大的较大，两个负数比较绝对值大的反而小.据此比较四个选项所给数的大小，即可得出结果. 【详解】解：∵ ∴最小的数是 故选：A. 易错点 1、 混淆有理数与无理数：误将无限循环小数当无理数，或认为带根号的数必为无理数（如√4是有理数）。 2、无理数识别错误：将π/2当成分数（分数是有理数），或认为无限小数都是无理数（无限循环小数是有理数） 3、实数与数轴对应关系：误认为数轴上的点不都表示实数（实为一一对应）。 4、绝对值与相反数混淆：如|-|错写为-，或的相反数错写为（倒数）。 总结 一、无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数.如圆周率π、面积为2的正方形的边长等. 说明： (1)无理数有正负之分，分别称为正无理数和负无理数. (2)只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数. (3)这句话反过来说也是正确的，即无理数是无限不循环小数. 从小数观点理解无理数：(1)小数；(2)位数无限；(3)不循环.三者缺一不可. 二、常见的无理数的几种类型 分类 举例 一般的无限不循环小数 1.41421356... 有规律但不循环的小数 1.1010010001...（相邻两个1之间0的个数依次加1） 某些含π的数 2π 开方开不尽的方根（下面会学习到） 三、无理数的估算 对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用逐步逼近，先确 定其整数部分，再确定十分位、百分位等. 四、用估算法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小，若其中一个是无理数，一般先进行分析，估算出无理数的取 值范围，再进行具体的比较. 比较两个数的大小时常用的结论： (1)若a>b≥0,则>; (2)若a>b,则>; (3)若a,b都为正数，且a>b,则a²>b²; (4)若a,b都为负数，且0>a>b,则b²>a². 五、实数的概念及分类 实数的概念：有理数和无理数统称实数 实数的分类： 按概念分类： 按正负性分类 实数 8、 实数的有关概念和性质 名称 表示 性质 相反数 实数a的相反数是-a a，b互为相反数↔a+b=0 绝对值 实数a的绝对值表示|a| (3) |a|= (4) (2)|a|≥0(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a| 倒数 a与1/a互为倒数（其中a≠0） (1)a，b互为倒数ab↔1；(2)正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数 9、 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴 上的每一个点都表示一个实数.即实数与数轴上的点是——对应的. 2.用数轴上的点表示无理数的三步法： 1 学科网（北京）股份有限公司 $