1—2 认识实数 平方根与立方根-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

1—2 认识实数 平方根与立方根 认识实数 一、实数的概念及分类 实数包括有理数和无理数。有理数可以进一步分为正有理数、零和负有理数，其中有理数包括整数和分数。无理数则是无限不循环小数。 二、实数的大小比较 实数之间可以进行大小比较，常用的方法有求差比较法、绝对值比较法和平方法。此外，在数轴上，右边的数总比左边的数大。 平方根与立方根 1、 平方根 1. 定义：如果一个数X的平方等于a，那么这个数X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。 2. 性质： （1） 一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。例如，9的平方根是3和-3。 （2） 0的平方根是0。 （3） 负数没有平方根。 3. 表示方法：正数a的平方根记作，读作“正负根号a”。 4. 开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。 2、 立方根 1. 定义：如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根，也叫做三次方根。 2. 性质. （1）0的立方根是0。 （2） 每一个数a都有一个立方根。 （3） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 3. 表示方法：数a的立方根记作，读作“三次根号a”。 4. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。 巩固课内例1:有理数与无理数分类 1．在实数 ，， ，，，，中，无理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．在实数、、、、、中，无理数的个数是 个． 3．把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中， (1)有理数 ； (2)无理数 ． 巩固课内例2:求下列各数的算术平方根 1．计算的结果是（   ） A． B．2 C． D．4 2．的算术平方根是 ． 3．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例3:铁球自由落体问题 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 2．提高安全意识，谨防高空坠物．自由落体运动的公式为为重力加速度，．若某物体下落的高度为，则该物体下落的时间是 s． 3．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ 巩固课内例4:求下列各数的平方根 1．25的平方根是（   ） A． B． C． D．5 2．的平方根是 ． 3．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例5:求下列各式的值——平方根化简 1．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 3．先说出下列各式的意义，再计算． (1) (2) (3)． 巩固课内例6:求下列各数的立方根 1．27的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 2．的平方根是 ．的立方根是 ． 3．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例7:求下列各式的值——立方根化简 1．下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例8:靠墙摆放梯子问题 1．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？（    ）    A．8米 B．6米 C．10米 D．4米 2．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，现有一长度为的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端到地面的距离约为 ．（精确到） 3．【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端外移的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 类型一、比较大小 1．在实数，0，中，最小的一个是（   ） A．0 B． C． D． 2．比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 3．比较下列各对数的大小： (1)和 (2)和 类型二、勾股定理与无理数 1．如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为（    ） A．3.5 B．3.6 C． D． 2．如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 3．请在数轴上用尺规作出对应的点． 类型三、算术平方根的非负性 1．若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 2．若是的三边，且，则的面积为 ． 3．已知，，求的值． 类型四、算术平方根的实际应用 1．把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形．如图所示：则这个大正方形的周长是（   ） A． B．2 C． D． 2．一块长方形工件的长宽之比是，且面积为，则这块长方形工件的长是 ．（结果保留根号） 3．临夏刺绣，以其独特的婉约之美，让人沉醉其中．在八坊博物馆中，众多精美的刺绣织物静静陈列，诉说着临夏千年的故事．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长． (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由．（取3） 类型一、网格中的无理数 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．若的整数部分和小数部分分别是，则（   ） A． B． C． D． 2．如图为一张方格纸，的顶点位于网格线的交点上．若的面积为，则该方格纸的面积为 ． 3．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 类型二、平方根的实际应用 1．做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 2．物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式：（g为重力加速度，取g的值为）．现有两个物体分别从离地面和处，同时由静止自由落到地面，则它们落到地面时间相差 s． 3．如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 类型三、实数与数轴化简 1．实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 2．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得 ． 3．（1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 类型一、立方根的实际应用 1．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 2．已知一个正方体铁块的体积为，李师傅现准备将这个铁块融化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长是 ． 3．幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 类型二、平方根和立方根解方程 1．关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 2．方程的根是 ． 3．解方程： (1)； (2)． 类型三、估算无理数 1．估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．已知为整数，且，则的值为 ． 3．小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1—2 认识实数 平方根与立方根 认识实数 一、实数的概念及分类 实数包括有理数和无理数。有理数可以进一步分为正有理数、零和负有理数，其中有理数包括整数和分数。无理数则是无限不循环小数。 二、实数的大小比较 实数之间可以进行大小比较，常用的方法有求差比较法、绝对值比较法和平方法。此外，在数轴上，右边的数总比左边的数大。 平方根与立方根 1、 平方根 1. 定义：如果一个数X的平方等于a，那么这个数X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。 2. 性质： （1） 一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。例如，9的平方根是3和-3。 （2） 0的平方根是0。 （3） 负数没有平方根。 3. 表示方法：正数a的平方根记作，读作“正负根号a”。 4. 开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。 2、 立方根 1. 定义：如果一个数X的立方等于a，那么这个数X就叫做a的立方根，也叫做三次方根。 2. 性质. （1）0的立方根是0。 （2） 每一个数a都有一个立方根。 （3） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 3. 表示方法：数a的立方根记作，读作“三次根号a”。 4. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。 巩固课内例1:有理数与无理数分类 1．在实数 ，， ，，，，中，无理数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，熟知无理数是无限不循环小数，无理数的三种形式是解决问题的关键．根据无理数的定义即可解答． 【详解】解：在实数 ，， ，，，，中， ，，，是有理数， ，，是无理数，共3个， 故选：C． 2．在实数、、、、、中，无理数的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查无理数，由常见的无理数逐个判定即可得到答案，熟记无理数常见形式是解决问题的关键． 【详解】解：在实数、、、、、中，无理数有、、，共3个， 故答案为：3． 3．把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中， (1)有理数 ； (2)无理数 ． 【答案】(1)，0， (2)，，，（两个1之间依次多一个6） 【分析】本题考查了实数中有理数和无理数的分类，解题的关键是掌握有限小数和无限循环小数都称为有理数，无限不循环小数叫无理数． （1）进行分类之前，先对某些数进行计算或化简，然后再根据有理数的定义进行分类． （2）根据无理数的定义进行分类． 【详解】（1）解：， 有理数：，0，； （2）无理数：，，，（两个1之间依次多一个6）． 巩固课内例2:求下列各数的算术平方根 1．计算的结果是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的概念，直接计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，若，则叫做的算术平方根，由算术平方根的定义求解即可得到答案．熟记算术平方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：的算术平方根是， 故答案为：． 3．求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根的概念，关键是掌握算术平方根的定义．如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此可计算． （1）由从而可得答案； （2）由从而可得答案； （3）由从而可得答案 【详解】（1）解：∵， 的算术平方根是； （2）解：∵， 的算术平方根是； （3）解：∵， 的算术平方根是 巩固课内例3:铁球自由落体问题 1．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．忽略空气阻力的影响，高空抛物的物体所在高度（单位：m）和下落的时间（单位：s）近似满足自由落体公式，其中，那么从高空抛物到落地的时间与从高空抛物到落地的时间之比的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入原式求得，将代入原式求得即可解答． 【详解】解：将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； 将代入原式，可得， 解得（负值舍去）； ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 2．提高安全意识，谨防高空坠物．自由落体运动的公式为为重力加速度，．若某物体下落的高度为，则该物体下落的时间是 s． 【答案】5 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，将代入公式，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该物体下落的时间是． 故答案为：5． 3．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间（结果保留根号）； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度（），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据公式，代入计算即可； （2）先根据根，求得高度，再根据公式物体质量高度（），计算能量即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这串钥匙在下落过程中所带能量有． 巩固课内例4:求下列各数的平方根 1．25的平方根是（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，一个数a的平方根是满足的所有x的值，由此可解． 【详解】解：， 25的平方根是． 故选C． 2．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 3．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． （1）由可得答案； （2）由可得答案； （3）由可得答案； 【详解】（1）解：， ∴的平方根是； （2）解：∵，， ∴的平方根是； （3）解： ， ∴的平方根是； 巩固课内例5:求下列各式的值——平方根化简 1．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的区别与联系成为解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题题意； B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意； C．，故，故该选项错误，不符合题题意； D．，则，正确，符合题意． 故选D． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，把两边同时平方，可得：，根据平方根的定义可知． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．先说出下列各式的意义，再计算． (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟知平方根和算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可； （2）根据算术平方根的计算方法和算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的计算方法和平方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：解： 表示 的平方根， ； （2）解：表示225的算术平方根， ； （3）解：表示的负平方根， ． 巩固课内例6:求下列各数的立方根 1．27的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的概念及计算．根据立方根的定义：若一个数的立方等于，则这个数称为的立方根，求解即可．熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴27的立方根是3． 故选：A． 2．的平方根是 ．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：， ； ， ； 故答案为：，． 3．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】本题主要考查了求立方根： （1）利用立方根的定义开立方即可． （2）利用立方根的定义开立方即可． （3）利用立方根的定义开立方即可． （4）利用立方根的定义开立方即可． 【详解】（1）解：的立方根为； （2）解：的立方根为； （3）解：的立方根为； （4）解：的立方根为． 巩固课内例7:求下列各式的值——立方根化简 1．下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根的运算，需根据平方根，算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，立方根，因此，计算正确； B、，平方根表示算术平方根，结果为非负数，即，而是平方根的两个解，故选项错误； C、，被开方数为，算术平方根，结果应为正数，选项错误； D、，计算，立方根，结果应为负数，选项错误， 故选：A ． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ， 所以 . 巩固课内例8:靠墙摆放梯子问题 1．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？（    ）    A．8米 B．6米 C．10米 D．4米 【答案】A 【分析】本题考查了求梯子滑落高度(勾股定理的应用)，先求出滑动前，梯子的底端到墙的距离，再设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，列式计算，即可作答． 【详解】解：滑动前，梯子的底端到墙的距离为（米） 设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米， 得方程，， 解得：， 则（米） 所以梯子向后滑动了8米． 故选：A 2．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，现有一长度为的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端到地面的距离约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴由勾股定理可得， ∴当梯子稳定摆放时，它的顶端到地面的距离约为， 故答案为：． 3．【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端外移的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得云梯能达到的高度，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）解：，， ∴， ∴； （3）解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 类型一、比较大小 1．在实数，0，中，最小的一个是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较． 直接比较大小作答即可． 【详解】解：∵， ∴最小的一个是， 故选：C 2．比较两数的大小：4 （用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，立方根的定义，根据，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 3．比较下列各对数的大小： (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较， （1）利用乘方的方法，使它们指数相同再比较 （2）对于一正一负的根式比较，直接利用正数大于负数的性质比较即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴ （2）解：根据正数大于负数的原则，是负数，是正数，所以 类型二、勾股定理与无理数 1．如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为（    ） A．3.5 B．3.6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴等知识，先由勾股定理求出，再由题意得到，由实数与数轴上点的对应关系求解即可得到答案．熟练掌握勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， ， 则点对应的实数为， 故选：D． 2．如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 3．请在数轴上用尺规作出对应的点． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图，利用勾股定理作出的长度是解题的关键． 构建直角三角形，然后用尺规在数轴上作图即可． 【详解】解：如图： 在数轴正半轴上找到表示的点； 过点作垂线，以为圆心，为半径画弧，交垂线于点，连接， ∴， 在数轴负半轴上找到表示的点； 过点作垂线，以为圆心，为半径画弧，交垂线于点，连接， ∴， 以为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点， ∴点表示的数为，即为所求． 类型三、算术平方根的非负性 1．若m，n为实数，且，则的值为（   ） A．1 B．0 C．81 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 2．若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 3．已知，，求的值． 【答案】55 【分析】本题考查了二次根式的定义，求代数式的值，根据算术平方根的被开数非负求出x的值是解题的关键．根据算术平方根的定义得出，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∴. ∴. ∵， ∴， ∴， ∴．. 类型四、算术平方根的实际应用 1．把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形．如图所示：则这个大正方形的周长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出正方形的边长，再根据周长为边长的4倍，即可得出结果． 【详解】解：∵面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的周长是， 故选C． 2．一块长方形工件的长宽之比是，且面积为，则这块长方形工件的长是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设长方形工件的长为，则宽为，根据题意列式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 【详解】解∵一块长方形工件的长宽之比是， ∴设长方形工件的长为，则宽为， 由题意可得：， 解得（负值不符合题意，舍去）， ∴这块长方形工件的长是， 故答案为：． 3．临夏刺绣，以其独特的婉约之美，让人沉醉其中．在八坊博物馆中，众多精美的刺绣织物静静陈列，诉说着临夏千年的故事．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长． (2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)不能裁出来，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用．熟练掌握矩形面积公式，圆面积公式，是解题的关键． （1）设绣布的长为，宽为，得，解得，得，．即得周长为． （2）设完整圆形绣布的半径为，得，解得，根据，得，故不能裁出来． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意得：， 即，则， ， ， ，． 绣布的长为，宽为， 其周长为． （2）解：不能裁出来． 理由如下：设完整圆形绣布的半径为， 由题意得， ∵取 ， 解得（负值已舍去）， ， 不能裁出来． 类型一、网格中的无理数 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．若的整数部分和小数部分分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了算术平方根和估算无理数的大小，根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．如图为一张方格纸，的顶点位于网格线的交点上．若的面积为，则该方格纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设小正方形的边长为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为， ∴ 解得：（负值舍去） ∴该方格纸的面积为 故答案为：． 3．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点． (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用勾股定理画图． （1）借助格点，根据勾股定理构长为的线段即可； （2）利用勾股定理进行证明即可． 【详解】（1）解：线段即为边长为的线段； （2）解：∵为直角三角形，，， ∴． 类型二、平方根的实际应用 1．做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意是解本题的关键． 由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：，即， 即解得：或（舍去）， ∴溢水杯内部的底面半径约为． 故选：C． 2．物体从静止状态自由下落的高度h（单位：m）与所需时间t（单位：s）满足公式：（g为重力加速度，取g的值为）．现有两个物体分别从离地面和处，同时由静止自由落到地面，则它们落到地面时间相差 s． 【答案】 【分析】本题考查利用算术平方根的性质解方程，通过代入已知量到自由下落公式，关键步骤是正确代入数值并解方程，舍去不符合实际的负解．根据题目给出的自由下落公式，将已知高度和重力加速度代入，利用算术平方根的性质解方程求出下落时间即可解答． 【详解】解：由题意将和， 代入公式，可得：或， 化简得：或， ∵表示物体下落的时间， ∴或， 则它们落到地面时间相差． 故答案为：． 3．如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 类型三、实数与数轴化简 1．实数、在数轴上对应点的位置如图，则的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，绝对值，数轴，有理数的加减， 根据数轴上点的位置可得，且，再根据有理数的加减法法则计算判断，然后去掉绝对值计算即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 原式． 故选：A． 2．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴原式 ， 故答案为：． 3．（1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 【答案】（1）4，0，1，（2） 【分析】本题考查算术平方根的性质，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键： （1）根据算术平方根的定义，进行求解即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：（1）， ∴对于任意有理数； （2）由图可知：，， ∴， ∴． 类型一、立方根的实际应用 1．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 2．已知一个正方体铁块的体积为，李师傅现准备将这个铁块融化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个的体积为，则另一个小正方体铁块的棱长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为， 故答案为：5． 3．幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．解题的关键是运用圆柱的体积公式． 【详解】解：设底面半径是，则高为 根据题意，得． 解得． 答：底面半径是． 类型二、平方根和立方根解方程 1．关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的应用，解题的关键是掌握平方根的求法，注意一个正数的平方根有两个． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 2．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，先移项，再把未知数的系数化为1，然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是先化成乘方的形式，再开方运算． （1）先移项，可得平方的形式，根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （2）先移项，可得立方的形式，根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）解：， ， ， ． 类型三、估算无理数 1．估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算．首先确定的范围，再通过减法运算判断结果所在的区间． 【详解】解：∵， ∴． ∴ 故选：D． 2．已知为整数，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算． 求出、的取值范围，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为4， 故答案为：4． 3．小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 画出示意图，如图所示 可得图中正方形的面积为 ∵，可忽略，于是得，解得， ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： (1)的整数部分为_________________； (2)求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)，图见解析 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）利用算术平方根估计的大小，即可得到的整数部分； （2）类比于题干的求解过程，画出图形求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 的整数部分为12； 故答案为：12； （2）解：∵面积为150的正方形边长为，且， ∴可设，其中， 所画示意图如下： 如图，可得图中正方形的面积为：， ∵，可忽略， 于是得， 解得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$