第三章 一元一次方程（举一反三单元测试·培优卷）数学沪教版五四制2024六年级上册

第三章 一元一次方程·培优卷 【沪教版五四制2024】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 5．（3分）（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 6．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题：若设城中有户人家，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：，“”表示被污染的数，正确答案是，那么被污染的数是（   ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则n的值为（   ） 6 7 5 n 4 A．1 B．2 C．8 D．9 10．（3分）（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小明一家三口准备外出旅游，有甲、乙两家旅行社可供选择，为了竞争，甲旅行社说：“父亲买全票，其他人可享受6折优惠”．乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”．这两家旅行社每人的原票价相同，小明发现在甲旅行社买票可比乙旅行社优惠20元．由此可知每人的原票价为（    ） A．100元 B．120元 C．150元 D．200元 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级上·四川广安·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x少3”可列方程 ． 12．（3分）（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 13．（3分）（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 14．（3分）设，，且，则的值是 ． 15．（3分）（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 16．（3分）帅帅今年岁，帅帅问数学老师的年龄，数学老师回答说：“等你到我这么大时，我的年龄是你现在年龄的4倍”，那么数学老师现在的年龄是 岁． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解方程： (1)； (2) 18．（6分）（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）解方程：． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 _____，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边都除以，得．……第五步 (1)横线处的步骤为_____，这一步的依据是_____． (2)该同学的解答过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____， (3)请直接写出该方程正确的解． 19．（8分）（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 20．（8分）（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 21．（10分）（24-25七年级上·重庆忠县·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 22．（10分）服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 23．（12分）（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 24．（12分）（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次方程·培优卷 【沪教版五四制2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 利用一元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：A、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、未知数最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（3分）（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的适合方程． 将分别代入四个选项中求解判断即可． 【详解】解：A、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； B、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； C、将代入， 得， 故选项正确，符合题意； D、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（3分）（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立，注意除法运算中除数不能为零的情况． 【详解】解∶A．若，，根据等式性质，等式两边同时减1，等式仍成立，故A一定成立； B．若，，等式两边同时乘以，无论是否为0，等式均成立（若，两边均为0，仍相等），故B一定成立； C．若，，等式两边同时除以，但可能为0，此时除法无意义，因此等式不一定成立，故C为正确选项； D．若，，等式两边同时加3，等式仍成立，故D一定成立． 故选C． 4．（3分）（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程．根据定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：B． 5．（3分）（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤，进行判断即可．去分母时，要注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时，要注意变号． 【详解】解：， 去分母得：，故甲同学计算正确； 去括号得：，故乙同学计算错误； 因为每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算， 所以移项得，，丙同学计算正确； 系数化为1得：，丁同学计算错误． 故选：C． 6．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题：若设城中有户人家，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设城中有户人家，根据鹿的总数列出方程．本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据题目中的数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设城中有户人家．由题意可得 ， 故选：A． 7．（3分）（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 8．（3分）（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：，“”表示被污染的数，正确答案是，那么被污染的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程的解，设，将代入方程即可求解，正确理解方程的解及解一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， 把代入方程得：， 整理得：， ∴， ， 解得：， ∴被污染的数是， 故选：． 9．（3分）（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则n的值为（   ） 6 7 5 n 4 A．1 B．2 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都是15，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 故选D． 10．（3分）（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小明一家三口准备外出旅游，有甲、乙两家旅行社可供选择，为了竞争，甲旅行社说：“父亲买全票，其他人可享受6折优惠”．乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”．这两家旅行社每人的原票价相同，小明发现在甲旅行社买票可比乙旅行社优惠20元．由此可知每人的原票价为（    ） A．100元 B．120元 C．150元 D．200元 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设每人的原票价为a元，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设每人的原票价为a元， 如果选择甲，则所需要费用为元， 如果选择乙，则所需费用为：元， ∴， 解得：， ∴每人的原票价为100元． 故选A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级上·四川广安·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x少3”可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：依题意，得 故答案为：． 12．（3分）（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 13．（3分）（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（3分）设，，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值，解一元一次方程，利用绝对值的性质把已知条件代入得出一元一次方程，然后解方程即可，正确利用绝对值的性质分析是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．（3分）（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据两个方程的关系，第二个方程中的相当于第一个方程中的，据此即可求解，理解两个方程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程中的， ∴， 故答案为：． 16．（3分）帅帅今年岁，帅帅问数学老师的年龄，数学老师回答说：“等你到我这么大时，我的年龄是你现在年龄的4倍”，那么数学老师现在的年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题的运用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设数学老师现在的年龄是岁，根据“等你到我这么大时，我的年龄是你现在年龄的4倍”，列方程即可得到结论． 【详解】解：设数学老师现在的年龄是岁， 根据题意得：， 解得， 答：数学老师现在的年龄是岁， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 18．（6分）（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）解方程：． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 _____，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边都除以，得．……第五步 (1)横线处的步骤为_____，这一步的依据是_____． (2)该同学的解答过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____， (3)请直接写出该方程正确的解． 【答案】(1)移项，等式的基本性质 (2)一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母时，不要漏乘． （1）根据等式的基本性质，进行作答即可； （2）第一步出现错误，去分母时，常数项没有乘最小公倍数； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：横线处的步骤为移项，这一步的依据是：等式的基本性质； （2）从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，常数项没有乘最小公倍数； （3）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 19．（8分）（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，相反数的定义，也考查对题意的理解能力．掌握“关联方程”的定义是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，合并同类项，得：． ∵方程与方程是“关联方程”， ∴， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，得：， 系数化为“1”，得：． ∵方程和方程是“关联方程”， ∴， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：． 20．（8分）（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【答案】(1)5 (2)解题过程见详解；2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 21．（10分）（24-25七年级上·重庆忠县·期末）设为有理数，已知关于的一元一次方程． (1)若方程与已知方程的解相同，求的值； (2)若关于的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先求出方程的解为，再将代入已知方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求出两个方程的解，再根据关于的方程的解比已知方程的解大可得一个关于的一元一次方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵方程与方程的解相同， ∴将代入方程得：， 解得． （2）解：， ， 解得， ， ， ， 解得， ∵关于的方程的解比方程的解大， ∴， 解得， ∴， 所以已知方程的解为． 22．（10分）服装厂要生产一批某型号套装，已知每5米长的布料可做上衣2件或裤子5条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用米长的这种布料生产套装． (1)请问用多少米的布料做上衣，用多少米的布料做裤子？ (2)某商场以每套元的价格购进了这批服装，定价为每套元，但在运输的过程中，由于司机的疏忽丢失了一包服装，共计套，商场想尽快卖完这批服装，计划打折出售，全部售出后利润率是，求商场计划打几折出售？ 【答案】(1) (2)九二折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，打折销售，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子，根据“一件上衣和一条裤子为一套”为等量关系列方程求解即可； （2）先计算出销售总额，再计算销售单价，然后求折扣率即可． 【详解】（1）解：设用x米的布料做上衣，米的布料做裤子， ， 解得， 米， 答：用400米的布料做上衣，160米的布料做裤子； （2）解：套， 成本：元， 销售额：元， 单价：元， ， 答：商场计划打九二折出售． 23．（12分）（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式； （1）找到表格中的，结合表格可得答案； （2）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：用长方形框框出的四个数中左上角的数为18， 右下角的数为，这四个数之和为. （2）解：记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． （3）解：不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 24．（12分）（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 【答案】(1)乙管开了小时； (2)三管一起开放，小时注满一空水池． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）设乙管开放了小时，由题意可知，等量关系为：甲工作量乙工作量总工作量，列出方程，解出的值； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水，然后根据等量关系：甲工作量乙工作量丙的工作量总工作量，列出方程，解出的值． 【详解】（1）解：（1）设乙管开放了小时， 则：， 解得：， 答：乙管开了小时； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水， 则；， 解得：， 答：三管齐开，小时可将一空池注满． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $