精品解析：云南省楚雄第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

楚雄第一中学2025-2026学年秋季学期10月月考 高二年级 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率是倾斜角的正切值即可求出倾斜角． 【详解】， 直线的斜率， ∵在0°到180°范围内，仅有， ∴直线l的倾斜角为150°． 故选：D． 2. 关于x，y的方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用消元法求方程组的解集，注意为点集. 【详解】由，则， 所以方程组的解集为. 故选：C 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 4. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 5. 在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，，得（或其补角）即为与所成的角，根据已知及余弦定理求夹角余弦值. 【详解】取的中点，连接，， 因为，所以（或其补角）即为与所成的角， 因为，，， 所以， 即与所成角的余弦值为. 故选：C 6. 已知点P在直线上,,则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求. 【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点, 取直线上一点,连接, 连接交于点,连接,如图所示: 则有,解得,即, 因为关于直线对称, 所以直线是线段的垂直平分线, 所以,则, 当且仅当点运动到处时, 所以. 故选:D. 7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程． 【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线 的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率 则的欧拉线的方程为，即 故选：D． 8. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　） A. （0，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果． 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1， 由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0）， 由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0， 故0，故点M在射线OA上． 设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）． ①若点M和点A重合，如图： 则点N为线段BC的中点，故N（，）， 把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b． ②若点M在点O和点A之间，如图： 此时b，点N在点B和点C之间， 由题意可得三角形NMB的面积等于， 即，即 ，可得a0，求得 b， 故有b． ③若点M在点A的左侧， 则b，由点M的横坐标1，求得b＞a． 设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，）， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|， 即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|． 由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ． 两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1， 故有1b． 综上可得b的取值范围应是 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算进行代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若与垂直，则，即，故A正确； 对于B，若与平行，则，由，可知不存在使得式子成立，故B错误； 对于C，当时，，， 故C正确； 对于D，当时，，故D正确； 故选：ACD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的值为0 B. 经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C. 已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D. 经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据可知直线重合，从而三点共线；B选项，根据截距互为相反数可知直线过原点也符合，可判断B选项错误；C选项，作出图形，结合斜率的变化情况求解；D选项，先求出直线的交点，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】共线时，意味着直线重合，此时，即，解得，A选项正确； 当直线经过原点和时，方程为，在横纵坐标上截距都是，也互为相反数，符合题意，答案不完整，因此B选项错误； 如图，，于是结合图形可知，的取值范围为，C选项正确； 先求得和直线的交点为， 当直线斜率不存在时，，显然和原点距离是； 当斜率存在时，设，由原点到直线的距离是， 解得，即符合题意的直线有，，共两条，D选项错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（ ） A. 平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形 B. 向量在向量上的投影向量的模为 C. 存在点P，使得 D. 点P到棱距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】作出截面图形判断A；建系，利用向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量，借助坐标求出投影向量，判断B；利用坐标法可判断CD. 【详解】对于A，如图直线与、的延长线分别交于、， 连接、分别交、于、，连接、，     则五边形即为所得的截面图形，故A正确； 对于B，，所以向量在向量上的投影向量为向量在向量上的投影向量， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以，所以 所以向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的模为，故B错误； 对于C，借助B选项， ，，，，     设，其中，所以， 又、、， 所以，，， 假设存在点，使得， 所以，整理得， 所以（舍去）或， 故存在点，使得，故C正确； 对于D ，由上知，所以点在的射影为， 所以点到的距离为： ， 所以当时，，故D错误， 故选：AC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线的方程化为一般方程，再利用点到直线的距离公式求结论. 【详解】由已知直线的一般方程为， 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离， 故答案为：. 13. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【详解】，，即， 当时，与重合，不合题意，， 所以两直线方程为与， 与间的距离． 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意求出直线解析式，设出各点坐标，根据三点共线的斜率关系，求出各点坐标，表示出面积，根据基本不等式，求出面积的最小值； 【详解】如图所示： 由点，，得直线解析式为：， 设点，点， 由三点共线和点可知， 当时，，解得， 此时面积为， 令，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为； 当时，，此时， 综上的最小值为. 故答案为：3. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和解题步骤.） 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程； （2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得； （3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； 【小问2详解】 设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故， 所以； 【小问3详解】 直线AB的斜率为， 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，Q为棱PD的中点，，．    （1）求证: 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1）因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解两平面的夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为正方形，由（1）知平面，    所以，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系， 因为，Q为棱PD的中点， 所以， 可得，. 因为平面， 所以为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，则， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 在中，已知． （1）求； （2）若边上的高等于，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角化简求角B； （2）由已知得，，再用余弦定理求值. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可得， 即，因为，所以，所以，即， 所以. 【小问2详解】 设角对应的边分别为，则，即， 由余弦定理，， 所以， 所以. 18. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 【答案】（1），平均数为分，中位数为分； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值； （2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所抽取的名学生成绩的平均数为（分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以，中位数，由题意可得，解得（分）. 【小问2详解】 由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为， 则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种. 故所求概率为. 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为，， ，平面，则平面， 又平面， 所以平面平面； （2） （3）存在，的值为或. 【解析】 【分析】（1）由，，可证得平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）向量法求到平面的距离； （3）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根解两平面夹角列出方程，求得或，设，进而根据，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，，， 取的中点，连接，则，由，得， 所以两两垂直， 以为原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，则， 到平面的距离. 【小问3详解】 连接，因为平面，平面平面，所以， 不妨设，则，， 设，则， 即，，，故， 同理可得， 则有， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故， 所以 化简得，解得或， 设，则，设， 则，解得，，， 故， 当，，因为， 所以，化简得， 解得，满足要求， 当，，因为， 所以，化简得， 解得，满足要求. 故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄第一中学2025-2026学年秋季学期10月月考 高二年级 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 关于x，y的方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 4. 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P在直线上,,则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 7. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　） A. （0，1） B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的值为0 B. 经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程为 C. 已知两点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为 D. 经过直线和直线的交点，且和原点相距为的直线一共有三条 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点P为线段CM上的动点，则（ ） A. 平面CMN截正方体所得的截面形状是五边形 B. 向量在向量上的投影向量的模为 C. 存在点P，使得 D. 点P到棱距离的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 点到直线的距离为__________. 13. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，过点作直线分别交射线，轴正半轴于点，，则面积的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和解题步骤.） 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，Q为棱PD的中点，，．    （1）求证: 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 17. 在中，已知． （1）求； （2）若边上的高等于，求． 18. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率． 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $