精品解析：广东省河源市龙川县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

龙川一中2025-2026学年度第一学期高二年级10月考试 数学试卷 答卷时间：120min 满分：150分 命题人：邓清霞 审题人：黄益勇 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 7. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于点 对称 D. 若 ，则 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 11. 在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当，P，M三点共线时， D. 当时，的最大值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 13. 如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______． 14. 已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个内角满足：. （1）求的值； （2）求角的大小. 16. 如图，在三棱锥中，，，． （1）求三棱锥的体积； （2）求点到平面的距离． 17. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 18. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025-2026学年度第一学期高二年级10月考试 数学试卷 答卷时间：120min 满分：150分 命题人：邓清霞 审题人：黄益勇 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】应用空间向量线性运算及模的坐标表示求向量的模长. 【详解】由题设， 所以. 故选：B 2. 已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 4. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 5. 若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【详解】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 6. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 7. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于点 对称 D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，由最小正周期可求得，再由 ，可列出方程组，即可求得，即可求出的解析式，即可对A、B判断求解，利用整体代换法可求得对称中心，即可对C判断求解；利用整体代换法可得，再结合对称轴即可对D判断求解. 【详解】A、B： ，， 由 的最小正周期为 ，得 ， 因为 ， 所以 ，解得 ，故A、B正确. C： ，当 时，，故C错误. D：当 时， ， 因为 ，所以 ，即 ，故D正确. 故选：ABD. 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确. 【详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中. 则事件，独立. 对A选项：由，故A正确； 对B选项：由，故B正确； 对C选项：由，故C错误； 对D选项：由，故D正确. 故选：ABD 11. 在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P的轨迹长度为 C. 当，P，M三点共线时， D. 当时，的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A利用及平面向量基本定理即可；B取的中点N，即可得出，计算长度即可；C由共线性质即可；D利用基底化简得出，再化简得出，当，时，取最大值，但此时不满足. 【详解】对于A选项，易得，故，则共面，又有公共点，故点P在平面内，故A错误； 对于B选项，取的中点N，连接， 则，，则，， 则四边形为平行四边形， 则当时，，， 可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为， 故B正确； 对于C选项，由，与三点共线，可知，故C正确； 对于D选项，显然为一组正交基底， 而， 故 ， 而， 故， 因，，故当，时，最大为， 此时不满足，故的最大值不为，故D错误． 故选：BC． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由所求角与方向向量和法向量夹角互余即可求得结果. 【详解】直线与平面所成角与其方向向量与平面法向量的夹角互余， 直线与平面所成的角为. 故答案为：. 13. 如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______． 【答案】##0.8125 【解析】 【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 故答案为： 14. 已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解. 【详解】 设侧棱长为，则长为, 由题意， 又， 其中， 故，， 又， 故 即， 又， 所以， 所以， 即侧棱长的取值范围是， 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个内角满足：. （1）求的值； （2）求角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求的值. （2）先求出，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求，故可求角的大小. 【小问1详解】 ， 因为， ，故为锐角且. 所以. 【小问2详解】 因为，，故为锐角且， 故，故， 而，故. 16. 如图，在三棱锥中，，，． （1）求三棱锥的体积； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得平面，利用锥体的体积可求体积； （2）利用等体积法可求点点到平面的距离. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以，又，平面， 所以平面，又， 所以三棱锥的体积； 【小问2详解】 在中，由，， 所以边上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 所以，由（1）可得，解得. 所以点到平面的距离. 17. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据各个小长方形的面积之和即频率之和为1，列式计算即可求出值； （2）根据频率分布直方图求平均数的公式计算即可； （3）先根据分层抽样的特点计算出评分在，内应抽取的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能结果，再根据古典概型的计算公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 ， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为分； 【小问3详解】 评分在的人数为人， 评分在的人数为人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为 共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. 18. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点,求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为 ， 函数的最小正周期为，又，则，所以， 所以. 【小问2详解】 因为是增函数，当时， 当时，，则， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． 【小问3详解】 （3）令，由（2）知当时，，即， 则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，，解得， 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $