精品解析：浙江省强基联盟A卷2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题（A卷）

浙江强基联盟2025年10月高一联考 数学试题（A卷） 浙江强基联盟研究院命制 考生注意: 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 设，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与的取值有关 7. 若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个n元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（ ） A. M是规范数集，N不是规范数集 B. M是规范数集，N是规范数集 C. M不是规范数集，N是规范数集 D. M不是规范数集，N不是规范数集 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则集合N可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程的两根为，则______． 13. 若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______. 14. 已知实数满足，，则的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 将下列各式分解因式. （1）； （2）； （3）. 16. 已知集合，. （1）若，求和； （2）若，求实数m的取值范围. 17 若且. （1）求的最小值； （2）求的取值范围. 18. 已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接. （1）设，，请写出x与a关系式（用x表示a）； （2）在（1）条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值. 19. 已知二次函数. （1）当时， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，函数y最小值为，求实数a的值； （2）若对任意实数，当时，恒有函数y的最大值与最小值之差不小于m ，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2025年10月高一联考 数学试题（A卷） 浙江强基联盟研究院命制 考生注意: 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可. 【详解】集合，， ∴. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案. 【详解】由“存在量词命题，的否定为，”可知 命题“，”的否定为“，”. 故选：A 3. 集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 4. 设，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】用特例说明ACD错误，用不等式的性质证明B正确. 【详解】对于A，若，，则，，，∴A错； 对于B，若，则，两边同时除以，则，∴B对； 对于C，若，，，但，∴C错； 对于D，若，，则，，∴，∴D错. 故选：B 5. 已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为根据集合包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 6. 已知，，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法比较大小. 【详解】已知，，，所以. 故选：C 7. 若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得. 故选：B 8. 给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个n元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（ ） A. M是规范数集，N不是规范数集 B. M是规范数集，N是规范数集 C. M不是规范数集，N是规范数集 D. M不是规范数集，N不是规范数集 【答案】C 【解析】 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】由题意知集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值若为1，则该集合是规范数集. 集合，当时，， 即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集； 集合， 因为， 即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集； 综上：不是规范数集，是规范数集. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，集合，则集合N可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的包含关系确定各选项是否正确. 【详解】因为，且， 所以集合中必含有元素，可能含有元素，但不能同时包含. 故选项AC正确 故选：AC 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，B，∵（当且仅当时，等号成立），∴，∴，∴A错B对； 对于C，（当且仅当取等号），∴C对； 对于D，，由B选项知，∴D对. 故选：BCD 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断的符号，作出函数的图象，数形结合，可判断各选项的正确与否. 【详解】由题可知，设函数，作出函数图象，如下图： 因为，是方程的两根， ∴，故A对； 对于B，C，由图可知，，故B错C对； 对于D，，∵，，∴.故D对. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程的两根为，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】方程的两根为， 由韦达定理得，， 所以. 故答案为：7. 13. 若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式左边分解因式，然后根据零点大小关系分类讨论. 【详解】因为， 当时，，正整数解不可能有两个； 当时，； 当时，，要满足有两个正整数解﹐则. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知实数满足，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，，是方程的两个根，由韦达定理可得两根之和，两根之积，故. 【详解】在中显然，两边同除以得， 又∵，且由可得， 和是关于的方程的两个不同实数根. ∴，， 故. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 将下列各式分解因式. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用因式分解的法则进行因式分解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知集合，. （1）若，求和； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则进行计算. （2）根据集合的包含关系求实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，或. ∴，. 【小问2详解】 ∵，∴，. 当时，，不符合题意； 当时，，B不是A的子集，舍去； 当时，，，∴. 综上，. 17. 若且. （1）求的最小值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）先判断，原式变形成，等式右边应用基本不等式求解； （2）原式变形成，然后由基本不等式求解. 【小问1详解】 由，因为，所以. 由（当且仅当时取等号）， 得，故或（舍）， 所以（取等号），所以的最小值是9. 【小问2详解】 由. 因为，所以，且. 所以， 即，当且仅当，即时取等号. 所以取值范围为. 18. 已知直角梯形中，，，，，过点作延长线的垂线，垂足为E，连接. （1）设，，请写出x与a的关系式（用x表示a）； （2）在（1）的条件下，记的面积为S，求S的最大值及此时x的值. 【答案】（1） （2）的最大值是，此时. 【解析】 【分析】（1）作于,根据给定条件，结合勾股定理列式求解. （2）证明,求出与 的函数关系，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 过点D作的垂线，垂足为F， 因为,,，故， 由，，得，， 因为，故,而,故, 在中，，故， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 由（1）得：，所以. 当且仅当时取等号， 综上，的最大值是，此时. 19. 已知二次函数. （1）当时， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （2）若对任意实数，当时，恒有函数y的最大值与最小值之差不小于m ，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）或 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）计算判别式即可求解；（ii）先求出对称轴，再分别讨论，和三种情况即可求解. （2）设函数在区间上最大值与最小值之差为 ，的最小值在对称轴位于区间中心时取得，列出的表达式，得，即可求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 解：（i）恒成立，故，所以. （ii）二次函数的对称轴为， ①当，即时，，故，所以； ②当，即时，，故，所以，舍去. ③当，即，，故，所以或（舍去）. 综上：或. 【小问2详解】 设函数在区间上的最大值与最小值之差为 ， 二次函数的图像是开口向上的抛物线，区间长度为定值4， 的最小值在对称轴位于区间中心时取得；此时，，； ， 在该情况下有 (即)，代入上式得： ， 因此，函数最大值与最小值之差的最小值为4； 根据题意，对任意 恒有，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $