第5章 直角三角形（知识清单）数学新教材湘教版八年级上册

第五章 直角三角形 1、直角三角形的性质 （1）两锐角互余：这是直角三角形最基本的性质，常用于进行角度计算。 （2）斜边上的中线性质：斜边上的中线等于 。 （3）30°角所对的直角边：在含30°角的直角三角形中，30°角所对的 等于 。 2、勾股定理 直角三角形两条直角边的 等于 。即，如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么 。 证明：了解通过图形 （赵爽弦图等）的证明方法，有助于加深对定理的理解。 3、勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长a, b, c满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角是直角。 4、直角三角形全等的判定 一般判定方法：之前学过的SAS, ASA, AAS, SSS同样适用于直角三角形。 特有判定方法（ ）： 注意：HL定理是 在直角三角形中的特例。 5、角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的 。 6、角平分线的判定定理（逆定理） 在 ，到角两边距离相等的点，在这个角的 上。 一、直角三角形两锐角互余 易错点：忽略该性质的前提是三角形必须为直角三角形。 策略：已知直角三角形时，立即联想两锐角和为90°，用于角度计算。 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，则 ． 5．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为 ． 6．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的高线，，．求与的度数． 7．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求与的度数． 二、锐角互余的三角形为直角三角形 易错点：混淆性质与判定，误将任意三角形两角和为90°当作直角。 策略：通过计算证明两锐角互余，可判定该三角形为直角三角形。 8．（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 三、直角三角形斜边上的中线 易错点：误将斜边当作中线，或记错中线与斜边的关系。 策略：牢记“斜边上的中线等于斜边一半”，这是重要解题突破口。 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 12．（13-14八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则的度数为 ．    14．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若，连接、，则的度数为 °． 15．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在四边形中，，O为的中点，证明： 16．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接 (1)求证：． (2)若，，求周长． 四、30°的锐角所对的直角边 易错点：忽略该性质需在含30°角的直角三角形中才成立。 策略：在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边必为斜边一半。 17．（19-20八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，灌云伊芦山霞波滑雪场有一坡角为30°的滑雪道，滑雪道长240米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ） A．100米 B．120米 C．240米 D．480米 20．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 21．（20-21八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 五、用勾股定理理解三角形 易错点：未确定斜边就直接套用公式，导致三边关系错误。 策略：先确定斜边，再列关系式a²+b²=c²，注意c必须为斜边。 23．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C．1 D． 24．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，已知四边形是边长为2的正方形，，则数轴上点P所表示的数是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）已知在中，，若，则 ． 26．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 27．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）的周长为，，且，则 ． 28．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图是某学校图书馆一楼与二楼之间的手扶电梯侧面示意图，其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯上升的高度为，扶手的长是，，求的长． 29．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，中，，，． 求的长． 六、勾股定理逆定理的应用 易错点：与勾股定理混淆，在已知直角三角形时仍用逆定理验证。 策略：仅当需判定三角形是否为直角三角时使用逆定理，先计算三边平方关系。 30．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 31．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 32．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）中，若，则 ． 33．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 34．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，． (1)求花卉区的面积； (2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？ 35．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 七、直角三角形全等的判定 易错点：滥用“边边角”判定，忽略HL定理的适用条件。 策略：除一般全等条件外，牢记HL定理需满足斜边和一直角边对应相等。 36．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）在和中，，高，则和的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对 38．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是 ． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，直尺甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，直尺乙靠在直尺甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为 ． 40．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）已知：如图，在中，，垂足是，是线段上的点，且，．求证：． 41．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，于点E，于点F，，．若，，求的长． 42．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 43．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 八、角平分线的性质 易错点：忽略“距离”必须是垂直距离，误用任意线段。 策略：角平分线上的点到角两边距离相等，使用时必须构造垂线段。 44．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）中，，是的平分线，交于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 46．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，，，则点D到的距离为 ． 47．（25-26八年级上·全国·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点 ．（填“M”或“N”） 48．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积为 ． 49．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，为的角平分线，于点E，于点F．若的面积是，，，则 ．    50．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 51．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，，于M，于N，求证：． 九、角平分线的判定定理 易错点：将性质定理与判定定理混淆，条件与结论颠倒。 策略：到角两边距离相等的点在角平分线上，用于证明角平分线。 52．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 53．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 54．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为 55．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，交于点O，．求证：． 56．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 57．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）教材呈现：下图是人教版八年级上册教材内容． 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 通过判定两个三角形全等，可以得到： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明：结合左图，写出“角平分线的判定定理”的“已知”、“求证”，并完成证明． (2)定理应用：如右图，，是的中点，平分．求证：平分． 58．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 59．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知 ， (1)在边上找一点D，使得点 D到，边的距离相等；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若 ，且，求的长． 重难点01 直角三角形性质的综合应用 60．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 61．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平分是边上一点，以点为圆心画弧，交于点，再分别以点为圆心，相同长度为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点．若，则 ． 62．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 63．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若，则________． 64．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则求的长． 65．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是等腰三角形，，，D是的中点，，，点E，F分别为垂足． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 66．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）已知中为的角平分线． (1)如图1，若是的高线，，，试求的度数． (2)如图2，中，若，，于P，求的度数（用，表示）． (3)如图3，若是的高线，和的角平分线交于点．请直接写出的度数_____． 67．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； (2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 重难点02 勾股定理的实际应用 68．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（    ）． A． B． C． D． 69．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是 ． 70．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 71．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 72．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 重难点03 勾股定理的证明 73．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 74．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置，，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 75．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图中的个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)如图，，，求证； (2)用图验证勾股定理； (3)若图的，，用图的个全等的直角三角形拼成图3中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长． 76．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 77．（2025八年级上·全国·专题练习） 活动目标 巧妙运用几何问题解决实际问题；通过对几何图形的观察、分析、研究，从中归纳代数恒等式 活动任务 任务一：测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具：测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图：   测量步骤： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离 任务二：意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为．   （1）请用含a、b、c的代数式分别表示； （2）请利用达·芬奇的方法证明勾股定理 78．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得到勾股定理：． 【问题探究】 （1）如图2，在四边形中，点是边上一点，连接． ①若，借助图中几何图形的面积关系验证勾股定理； ②若，求的长； 【问题解决】 （2）如图3，是某公园的一块空地，现准备对该区域进行绿化改造，通过测量得到．已知于点，绿化改造的价格为50元，求对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用． 79．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 80．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 重难点04 勾股定理与图形的折叠 81．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 82．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 83．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 84．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 85．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，则的长为 ． 重难点05 角平分线性质与判定的综合应用 86．（18-19七年级下·福建三明·期末）如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 87．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 88．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的选项是 ． 89．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 90．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 91．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 92．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． (2)【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． (3)【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 93．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： 已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； 画射线，则射线即为所求． (1)如图，射线就是的角平分线的依据是 ； A． B． C． D． (2)课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： 甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； 乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． 丙同学：如图，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ (3)你还有什么作角平分线的方法与以上作法原理不一样？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 试卷第2页，共98页 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 直角三角形 1、直角三角形的性质 （1）两锐角互余：这是直角三角形最基本的性质，常用于进行角度计算。 （2）斜边上的中线性质：斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）30°角所对的直角边：在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 2、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即，如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么 a²+ b²= c²。 证明：了解通过图形割补（赵爽弦图等）的证明方法，有助于加深对定理的理解。 3、勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长a, b, c满足 a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角。 4、直角三角形全等的判定 一般判定方法：之前学过的SAS, ASA, AAS, SSS同样适用于直角三角形。 特有判定方法（HL定理）： 注意：HL定理是SSA原理在直角三角形中的特例。 5、角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 6、角平分线的判定定理（逆定理） 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 一、直角三角形两锐角互余 易错点：忽略该性质的前提是三角形必须为直角三角形。 策略：已知直角三角形时，立即联想两锐角和为90°，用于角度计算。 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和，通过内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山西大同·阶段练习）直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】此题考查了直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，正确掌握其性质是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的高线，，．求与的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，由是的高线，可得出，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵，， ∴， ． 7．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求与的度数． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据直角三角形的两个锐角互余，可以求出，根据对顶角相等可以求出． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， 是边上的高， ， 在中，， ， ． 二、锐角互余的三角形为直角三角形 易错点：混淆性质与判定，误将任意三角形两角和为90°当作直角。 策略：通过计算证明两锐角互余，可判定该三角形为直角三角形。 8．（25-26七年级上·山东东营·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）由（1）知，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ， ， ． 在与中，， ， ． （2）证明：由（1）知， ． ， ， ， ． 三、直角三角形斜边上的中线 易错点：误将斜边当作中线，或记错中线与斜边的关系。 策略：牢记“斜边上的中线等于斜边一半”，这是重要解题突破口。 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 12．（13-14八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴的周长． 13．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则的度数为 ．    【答案】/58度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解决本题的关键； 根据直角三角形的性质可求的度数，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若，连接、，则的度数为 °． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质可知，进而可求出即可证明． 【详解】（1）证明：如图：连接、， 、分别是、边上的高， ，， 在与中， 是线段的中点， ，， ， 是等腰三角形， 又∵是线段的中点， ∴； （2）解：在中，， ∴， 由（1）可知：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，掌握基本性质是解题的关键． 15．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在四边形中，，O为的中点，证明： 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟练掌握运用两个性质是解题关键． 根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角即可证明． 【详解】证明：∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接 (1)求证：． (2)若，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据垂直平分线的性质可知，进而可知周长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ； （2）， ， ∵， ， ． 四、30°的锐角所对的直角边 易错点：忽略该性质需在含30°角的直角三角形中才成立。 策略：在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边必为斜边一半。 17．（19-20八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 18．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 19．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，灌云伊芦山霞波滑雪场有一坡角为30°的滑雪道，滑雪道长240米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ） A．100米 B．120米 C．240米 D．480米 【答案】B 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 20．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由等边三角形的性质可得到，由线段中点的定义得到的长，求出的度数，即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（20-21八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 五、用勾股定理理解三角形 易错点：未确定斜边就直接套用公式，导致三边关系错误。 策略：先确定斜边，再列关系式a²+b²=c²，注意c必须为斜边。 23．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理． 先根据等腰直角三角形的性质求得，再根据勾股定理解得即可． 【详解】解：，， ， 在中，， 故选：A． 24．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，已知四边形是边长为2的正方形，，则数轴上点P所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，实数与数轴． 连接，根据勾股定理求出其长度， ，再减1求相反数即为点P表示的数． 【详解】解：如图，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 故选：D． 25．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）已知在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 直接根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故答案为：． 26．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 27．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）的周长为，，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由，设，，由勾股定理得到，从而得到，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵的周长为， ∴， 解得：， ∴． 28．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图是某学校图书馆一楼与二楼之间的手扶电梯侧面示意图，其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯上升的高度为，扶手的长是，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，直接利用勾股定理解即可． 【详解】解：由题意知，在中，，， ， 即的长为． 29．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，中，，，． 求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解非直角三角形，作垂线构造直角三角形是解题关键；过作于，在中，求出，；在中，求出，即可求解； 【详解】解：过作于， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， 在中，， ， ， ． 六、勾股定理逆定理的应用 易错点：与勾股定理混淆，在已知直角三角形时仍用逆定理验证。 策略：仅当需判定三角形是否为直角三角时使用逆定理，先计算三边平方关系。 30．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 31．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：D 32．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意可得为直角三角形，． 【详解】解：中， ， 为直角三角形， ， 如图： 故答案为：． 33．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得，，，，且．这块菜地的面积是 ． 【答案】114 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积=的面积+的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积=的面积+的面积 ∴这块菜地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 34．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，． (1)求花卉区的面积； (2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？ 【答案】(1)花卉区的面积为； (2)这两条步道的长度相差6米． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质． （1）由勾股定理的逆定理可得，根据三角形的面积公式计算即可； （2）由平行线的性质可得，根据勾股定理可得，根据线段之间的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴花卉区的面积为． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴这两条步道的长度相差6米． 35．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为； （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元． 七、直角三角形全等的判定 易错点：滥用“边边角”判定，忽略HL定理的适用条件。 策略：除一般全等条件外，牢记HL定理需满足斜边和一直角边对应相等。 36．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：A． 37．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）在和中，，高，则和的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，分图①②和图①③两种情况，利用可证明得到，再根据角之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，当和如图①②所示时， ∵分别是和的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 如图，当和如图①③所示时， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； 综上所述，和的关系是相等或互补． 故选：C． 38．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用的判定定理进行推理并运用数形结合思想．根据垂直求出，再根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，直尺甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，直尺乙靠在直尺甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，过点P作于F，可证明，，据此求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于F，则， ∵两把直尺完全相同， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）已知：如图，在中，，垂足是，是线段上的点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，只需证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 41．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，于点E，于点F，，．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．先根据证明，则可得，，再根据证明，得出，进而可得的长． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，证明可得，据此可证明是等边三角形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质可求出的长，再由线段中点的定义可得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴； ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 43．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ， ∴； （2）解：在中， ∵， ， 由（1）可知， 八、角平分线的性质 易错点：忽略“距离”必须是垂直距离，误用任意线段。 策略：角平分线上的点到角两边距离相等，使用时必须构造垂线段。 44．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）中，，是的平分线，交于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．作交于点E，根据角平分线性质得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，作交于点E， ∵是的平分线，， ∴， ∴ 故选：D． 45．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 46．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是利用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”． 将点到的距离转化为的长度即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，且， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离为． 故答案为：3． 47．（25-26八年级上·全国·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到两边距离相等的点是点 ．（填“M”或“N”） 【答案】M 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． 根据证明得，进而可求出结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点M在的平分线上， ∴点M到两边距离相等． 故答案为：M． 48．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 49．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，为的角平分线，于点E，于点F．若的面积是，，，则 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：在中，为的角平分线，于点E，于点F． ∴， ∴， ∵面积是，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 50．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 【答案】33 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别平分和， ∴点O到的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 51．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定证明进而即可得证． 【详解】证明：已知，，如图，连接， 在和中， ， 又于，于， ． 九、角平分线的判定定理 易错点：将性质定理与判定定理混淆，条件与结论颠倒。 策略：到角两边距离相等的点在角平分线上，用于证明角平分线。 52．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 在角的内部,到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上，故选项错误，符合题意； B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确，不符合题意； C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故选项正确，不符合题意； D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故选项正确，不符合题意； 故选：A 53．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 54．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为 【答案】/21度 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 55．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的判定定理是解题的关键；由题意得，然后可得，则有，进而根据角平分线的判定定理可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 56．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 证明，可得，再由角平分线的判定定理即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 57．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）教材呈现：下图是人教版八年级上册教材内容． 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 通过判定两个三角形全等，可以得到： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明：结合左图，写出“角平分线的判定定理”的“已知”、“求证”，并完成证明． (2)定理应用：如右图，，是的中点，平分．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定，可以得到，即可求解； （2）过点作于，可以得到，进而证明，根据角平分线的性质即可求解 【详解】（1）已知：，，垂足分别是、，且． 求证：平分． 证明：，． ． 在和中， ， ． ， 是的平分线． （2）解：如图，过点作于， 平分，， ∴， 是的中点，   ∴， ∴． 又∵，   ∴， ∵， 是的平分线． 58．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)10 【分析】本题考查的是角平分线的性质及判定、含30度角的直角三角形的性质． （1）过点P作于D，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论； （2）先证明平分，求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出结论． 【详解】（1）解：过点P作于D，如图所示． ∵和的角平分线相交于点P，且，， ∴，， ∴． （2）解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． 59．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知 ， (1)在边上找一点D，使得点 D到，边的距离相等；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若 ，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的作图，判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的判定可知，点D在的角平分线上，作的角平分线，交于点D，点D即可求解； （2）根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，再根据线段和差关系即可得解． 【详解】（1）解：如图①，点 D 即为所求， （2）解：如图②，过点D作，垂足为点E， 由（1）知， 平分， ， ∴， ， ， ， ， ． 重难点01 直角三角形性质的综合应用 60．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分，， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，如图，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用垂线段最短解决最短路线问题，涉及角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 61．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平分是边上一点，以点为圆心画弧，交于点，再分别以点为圆心，相同长度为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是度所对的直角边是斜边的一半，过一点作已知直线的垂线的尺规作图以及三角形的外角定理和等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 由题知：直线是的垂线，根据题目已知条件可以证出是等腰三角形，所以，求出即可得出结果． 【详解】解：由题意知：直线是的垂线， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2 62．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 答：的度数为． 63．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)若，则________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由直角三角形的性质得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）由三角形内角和定理得，又由（）可得，得到，，即得到，，进而可得，再根据平角的定义即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵分别是边上的高， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 又∵为中点， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（）可得，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 64．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形内角和定理得到，即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，利用线段的和差关系求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 65．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是等腰三角形，，，D是的中点，，，点E，F分别为垂足． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形角度关系、全等三角形证明线段相等，结合等边三角形性质进行推理计算． （1）先根据等腰三角形得出，结合求出；再由是中点得，结合、得；最后用AAS证明，从而证得； （2）由（1）中得，再根据、求出，同理得，进而推出；结合，证得是等边三角形； （3）由，是中点得；在中，利用，得；再由是等边三角形，得． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ∵是边的中点， 在和中， ； （2）解：由（1）得， ， ， 由（1）得， ∴是等边三角形； （3）解：∵，是边的中点， ， 在中，由（1）得， ， ∵是等边三角形， ． 66．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）已知中为的角平分线． (1)如图1，若是的高线，，，试求的度数． (2)如图2，中，若，，于P，求的度数（用，表示）． (3)如图3，若是的高线，和的角平分线交于点．请直接写出的度数_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的高，垂线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上定义和性质． （1）利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可； （3）假设，则，利用三角形的内角和定理，三角形的高线及角平分线的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：假设，则， ∵是的高线， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 67．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； (2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 重难点02 勾股定理的实际应用 68．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，然后将长方体放到一个平面内，进行分类讨论，利用勾股定理进行求解． 把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1， 由题意可得：，， ； 若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2， 由题意可得：，，， ； ∵， ∴最短距离为． 故选：C． 69．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键．先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于H，则 ，， ， ∴， 在 中， ． 故答案为：． 70．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 71．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【答案】走私艇最早在时分进入我国领海 【分析】先通过三边关系判断三角形形状，再利用三角形面积公式和勾股定理求出走私艇到领海线的最短距离，结合速度算出时间，进而确定最早进入我国领海的时间．本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握从实际问题中整理出几何图形并运用勾股定理相关知识求解是解题的关键． 【详解】解：设与相交于，则， ， 为直角三角形，且， ∵， ∴走私艇进入我国领海的最短距离是， 由，得海里， 由，得海里， （分）， 时分分时分． 答：走私艇最早在时分进入我国领海． 72．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 重难点03 勾股定理的证明 73．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 74．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置，，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3)点的位置见解析，米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，注意计算的准确性即可； （1）由图可知：梯形的面积，的面积；由推出四边形的面积；即可求解； （2）连接，作，则四边形是矩形，推出，，即可求解； （3）作出的垂直平分线即可确定点，设，则；，即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：梯形的面积，的面积； ∵， ∴四边形的面积； ∴ ， ∴； （2）解：连接，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ∴两个站点C，D之间的直线距离为米； （3）解：如图所示： 设，则； ∵， ∴，解得：； 即：的长度为米； 75．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图中的个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)如图，，，求证； (2)用图验证勾股定理； (3)若图的，，用图的个全等的直角三角形拼成图3中的形状，求这个图形外围轮廓（实线）的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)这个图形外围轮廓（实线）的周长为． 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，，则，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）连接，由，得，，，然后通过即可验证； （）由勾股定理得，又，则所以，，，然后证明，则，设，则，从而求得，同理可得，然后通过，再代入即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，，， ∴， ∴ ∴, ∴ ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长为， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长为． 76．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用． （1）运用勾股定理可得的值； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，长方形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理得，， 故答案为：； （2）证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 77．（2025八年级上·全国·专题练习） 活动目标 巧妙运用几何问题解决实际问题；通过对几何图形的观察、分析、研究，从中归纳代数恒等式 活动任务 任务一：测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具：测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图：   测量步骤： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离 任务二：意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为．   （1）请用含a、b、c的代数式分别表示； （2）请利用达·芬奇的方法证明勾股定理 【答案】任务一：A、B两点间的距离为；任务二：（1），；（2）见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 任务一：证明，得出，根据，求出； 任务二：（1）根据图形利用正方形和直角三角形的面积公式即可求解； （2）由得，化简即可得出结论． 【详解】任务一： 解：， ， ． 在和中，， ， ． 又， ， 即A、B两点间的距离为； 任务二： （1）解：根据题意，得，． （2）证明：由得， ． 78．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得到勾股定理：． 【问题探究】 （1）如图2，在四边形中，点是边上一点，连接． ①若，借助图中几何图形的面积关系验证勾股定理； ②若，求的长； 【问题解决】 （2）如图3，是某公园的一块空地，现准备对该区域进行绿化改造，通过测量得到．已知于点，绿化改造的价格为50元，求对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用． 【答案】（1）①证明见解析，②；（2）元 【分析】本题考查的是勾股定理的证明以及应用，全等三角形的性质，化为最简二次根式． （1）①证明，，，，，结合，进一步可得结论． ②求解，，，可得． （2）由，可得，可得：，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用为：（元）． 79．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）x的值为． 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）解： ，，，， ，，， ， ， ； （2）解：借助网格，可知，， 边上的高为：； 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ． 80．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理和旋转的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）大正方形的边长为c，其面积为，大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，其面积为，据此可证明勾股定理； （2）设，则，根据周长计算公式可建立方程求出，则可利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； （3）根据正方形面积计算公式可得，再由可得的值，进而可得答案． 【详解】（1）证明：图①中大正方形的边长为c，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积， ∴大正方形的面积为， ∴； （2）解：由题意得，， ， 设，则， ∵该八边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可得， ∴正方形的边长为； ∵正方形、正方形、正方形的面积分别为、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点04 勾股定理与图形的折叠 81．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 82．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为 ，的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、梯形的面积．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 根据折叠的性质可知正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可； 过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是，得到关于的方程，解方程求出的值，即为的长． 【详解】解：由折叠可知，，， ， ， ， 正方形的面积是， 故答案为：； 解：如下图所示，过点D作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 设， 则， 四边形的面积是， 由可知正方形的面积是， 由折叠可知：四边形的面积是， ， 解得：， 的长为． 故答案为：． 83．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 84．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，再证是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出，然后由面积法求出，由勾股定理求出，则，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 85．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2）．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出后，根据折叠性质得，，由等边对等角推出，可证，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、勾股定理、等边对等角、平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握折叠性质． 重难点05 角平分线性质与判定的综合应用 86．（18-19七年级下·福建三明·期末）如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 87．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 88．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的选项是 ． 【答案】④ 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 89．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 90．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2)5 (3)见解析 (4)①，理由见解析；② 【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； （3）证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 91．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据三角形的判定定理即可证得． （2）通过三角形全等求得，，进而根据等边对等角求得，从而求得即可证得； （3）过点A作，垂足为点M，由题意易得，然后可得M为的中点，则有，进而根据割补法可求解面积． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ， 在与中， ， ． （2）证明：如图①，， ∴，， ∴， ∴，即平分； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又由（1）知， ∴． 92．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第105页的部分内容： 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．于是有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1所示，是的平分线，P是上任意一点，作，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析图中有和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)请根据教材内容，结合图1，补全定理的证明过程． (2)【应用】如图2，在中，，平分，于点E，点F在上，，若，，则的长为___________． (3)【拓展】如图3，在中，平分交于点D，于点E．若，，，，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)16 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． （1）利用，证明，即可得证； （2）证明，得到，证明，得到，根据，根据线段的转化，进行求解即可． （3）过点作，得到，根据三角形内角和定理，推出，进而得到：，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； （3）解：过点作，交于点， ∵平分交于点D，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 93．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： 已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； 画射线，则射线即为所求． (1)如图，射线就是的角平分线的依据是 ； A． B． C． D． (2)课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： 甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； 乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． 丙同学：如图，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ (3)你还有什么作角平分线的方法与以上作法原理不一样？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)C (2)见解析；正确；到角的两边距离相等的点在角的平分线上 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 解此题的关键． （1）连接、，根据作图痕迹可知，，，结合公共边，根据“”证明，得出，即可得解； （2）由作法可得，，结合公共边，，证明，得到，从而得证；由作法可得，，，从而得出，证明，得出，证明，得出，最后证明，得出，从而得证；根据角平分线的判定定理即可得解； （3）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则过点，即为的平分线． 【详解】（1）解：如图，连接、， 根据作图痕迹可知，，， ， ， ， 平分； 故选：C； （2）解：证明：由作法可得，， ， ， ， 平分； 由作法可得，，， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即平分； 故答案为：正确； 根据作图可知：点到的距离等于直尺的宽度，点到的距离等于直尺的宽度， 直尺的宽度不变， 点到的距离等于点到的距离， 到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 平分， 即丙同学的这种作角平分线的依据是到角的两边距离相等的点在角的平分线上； 故答案为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上； （3）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则过点，即为的平分线； 根据作图可知：，垂直平分， 到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， 此时的垂直平分线过点， ，， 根据等腰三角形三线合一可知，平分． 试卷第2页，共98页 2 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $