专题02 考点易错专训（第21-24章）（高效培优期中专项训练）数学人教版九年级上册

专题02 考点易错专训 （第21-24章） 一．一元二次方程的定义 1．（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 2．（2025春•安庆期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　 　 ． 3．（2025春•合肥期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 二．一元二次方程的解 4．（2025春•金安区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的值为（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 5．（2025春•金安区校级期中）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2 6．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣m B． C．m D． 7．（2025春•莱州市期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x11，x21，则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0（a≠0）的解是（　　） A．x11，x21 B．x11，x23 C．x13，x21 D．该方程无解 三．根的判别式 8．（2025•驿城区模拟）若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 9．（2025春•肥东县校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则是方程nx2+mx+1＝0的一个根．其中正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 四．根与系数的关系 11．（2025秋•九龙坡区校级月考）设a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023 12．（2025•山东校级二模）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 13．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为（　　） A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．2024 14．（2025•临沭县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且，则m的值是（　　） A． B．﹣3 C． D． 15．（2024秋•海港区期末）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 五．一元二次方程的应用 16．（2025•济宁校级三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（　　）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 17．（2025秋•宝安区校级月考）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取CD，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：AD＝8：9，那么m的值为（　　） A．10 B．16 C．18 D．20 18．（2025秋•锦江区校级月考）为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个． （1）求该吉祥物两次降价的平均百分率； （2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20件，若每天利润为2730元，则每件降价多少元？ 六．配方法的应用 19．（2025春•东台市期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 20．（2025春•滨湖区期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 21．（2025春•碑林区校级期中）已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（　　） A．14 B．5 C．9 D．不存在 22．（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 23．（2024春•广陵区期中）若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 七．二次函数图象与系数的关系（共4小题） 24．（2025•谷城县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（2024秋•枣阳市期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（2024秋•郸城县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象关于直线x＝1对称，则下列四个结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③5a+b+c＞0；④若k≠1，则a（k2﹣1）+b（k﹣1）＞0．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（2025秋•朝阳区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是　 　 （填序号）． 八．二次函数图象上点的坐标特征 28．（2025•晋中二模）若点A（﹣1，y1），B（2，y3），C（3，y3）都在二次函数y＝x2﹣4x﹣n的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 29．（2024秋•勉县校级期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 30．（2024秋•莱阳市期末）设函数，，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　） A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜n＜1，则a1＜a2 C．若m＜1＜n，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1 31．（2025•广州校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（　　） A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8 C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8 32．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 九．二次函数的最值 33．（2024秋•纳溪区期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（　　） A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D． 34．（2024秋•昭通期末）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1 35．（2025•连州市三模）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 36．（2025•新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7 十．抛物线与x轴的交点 37．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），抛物线y＝﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x3，x4（x3＜x4）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x4＜x1＜x2 B．x3＜x1＜x2＜x4 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x1＜x3＜x4＜x2 38．（2024秋•江阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为（　　） A． B． C． D．或 39．（2025秋•海安市月考）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．m＜x1＜x2＜n B．m＜x1＜x2＜﹣n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 十一．垂径定理 40．（2025秋•秦淮区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D． 41．（2025•池州开学）如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 十二．扇形面积的计算 42．（2025•威海一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O．则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D． 43．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 44．（2025•中卫校级二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4 45．（2024秋•凉州区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是（　　）． A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D． 十三．旋转的性质 46．（2025春•开江县月考）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB的中点，点E是边BC所在直线上的一动点，连接DE，在DE的右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值是　 　 ． 47．（2024秋•荣成市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到△ADE（∠CAB＜m°＜180°）．CE与AB交于点F，设∠ABC＝n°（30≤n≤45），当m、n满足（　　）条件时，△BCF是等腰三角形． A．m＝2n B．n＝2m C．m+n＝180°或m＝2n D．n＝2m或m+n＝180° 48．（2025•淄博）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（　　） A． B． C． D． 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 考点易错专训 （第21-24章） 一．一元二次方程的定义 1．（2025春•高青县期中）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知：， 解得：m＝﹣1， 故选：C． 2．（2025春•安庆期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2， 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 3．（2025春•合肥期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程， ∴， 解得m＝0． 故答案为：0． 二．一元二次方程的解 4．（2025春•金安区校级期中）若m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则代数式2020﹣2m2+8m的值为（　　） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】D 【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根， ∴m2﹣4m+2＝0， ∴m2﹣4m＝﹣2， ∴2020﹣2m2+8m＝2020﹣2（m2﹣4m）＝2020+4＝2024． 故选：D． 5．（2025春•金安区校级期中）如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2 【答案】C 【解答】解：设它们相同的根为a， 由题意得：a2+a+k＝0①，a2+ak+1＝0②， ∴①﹣②得：a﹣ak+k﹣1＝0， （1﹣k）a＝1﹣k， ∵a有且只有一个值， ∴1﹣k≠0， ∴a＝1， 把a＝1代入①得：1+1+k＝0， 解得：k＝﹣2， 故选：C． 6．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣m B． C．m D． 【答案】D 【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根， ∴am2+bm+c＝0， ∴abc＝0， ∴c（）2﹣（）b+a＝0， ∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根， 故选：D． 7．（2025春•莱州市期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x11，x21，则方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0（a≠0）的解是（　　） A．x11，x21 B．x11，x23 C．x13，x21 D．该方程无解 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，且a≠0）的解是x11，x21， ∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0（a≠0）中x﹣21或x﹣21 解得：x13，x21 故选：C． 三．根的判别式 8．（2025•驿城区模拟）若点（m，n）在第四象限，则关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定 【答案】B 【解答】解：方程x2﹣mx+n＝0的判别式Δ＝（﹣m）2﹣4n， ∵点P（m，n）在第四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴（﹣m）2＞0， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4n＞0， 方程mx2+x+n＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 9．（2025春•肥东县校级期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则是方程nx2+mx+1＝0的一个根．其中正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：①对于方程x2+mx+n＝0， ∴Δ＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n， 若m﹣2n＝1，则m＝2n+1， ∴Δ＝m2﹣4n＝（2n+1）2﹣4n＝4n2+4n+1﹣4n＝4n2+1＞0， ∴方程x2+mx+n＝0一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，Δ＝m2﹣4n， 若m2﹣2n＜0，则m2＜2n，即2n＞m2≥0，则4n＞2n＞m2≥0， ∴Δ＝m2﹣4n＜0， ∴方程没有实数根；故②正确； ④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根， ∴t2+mt+n＝0， ∵t≠0， ∴t2+mt+n＝0两边同除以t2得，， 即， ∴是方程nx2+mx+1＝0的一个根，故④正确； ③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则n2﹣mn+n＝0，即n（n+m+1）＝0， ∴n＝0或n+m+1＝0，即n＝0或m+n＝﹣1，故③错误； 综上可知，①②④正确，共3个． 故选：C． 四．根与系数的关系 11．（2025秋•九龙坡区校级月考）设a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a3+a2+3a+2023b的值为（　　） A．2024 B．﹣2024 C．2023 D．﹣2023 【答案】D 【解答】解：∵a，b为方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根， ∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1， ∴a3+a2+3a+2023b ＝（a2+a）a+3a+2023b ＝2020a+3a+2023b ＝2023（a+b） ＝﹣2023， 故选：D． 12．（2025•山东校级二模）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣3， ∴， 故选：A． 13．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为（　　） A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．2024 【答案】B 【解答】解：方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n， ∴m2﹣2024m+1＝0，mn＝1， ∴m2＝2024m﹣1，， ∴， 故选：B． 14．（2025•临沭县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两个不相等的实数根，且，则m的值是（　　） A． B．﹣3 C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得m， 根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1， ∵， ∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0， ∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0， 整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1，m2＝﹣3， ∵m， ∴m的值为． 故选：C． 15．（2024秋•海港区期末）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【答案】A 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根， ∴，x1x2＝﹣2024，x1+x2＝1， 4049， 故选：A． 五．一元二次方程的应用 16．（2025•济宁校级三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（　　）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【解答】解：设销售价应定为每件x元，根据题意根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个可得： （x﹣20）[1000﹣100（x﹣30）]＝9600， 整理得x2﹣60x+896＝0， （x﹣32）（x﹣28）＝0， x＝32或x＝28， 答：该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选：D． 17．（2025秋•宝安区校级月考）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取CD，则AD的长为所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx＝225，CD：AD＝8：9，那么m的值为（　　） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解答】解：由题意得可知，BC＝CDm，AB15， 设CD＝CB＝8y，则AD＝9y， ∴AC＝CD+AD＝17y， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2+AB2＝AC2， 即（8y）2+152＝（17y）2， 整理得：y2＝1， 解得：y1＝1，y2＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴CD＝8y＝8， ∴m＝8， 解得：m＝16， 即m的值为16， 故选：B． 18．（2025秋•锦江区校级月考）为迎接师一学校第二十六届运动会，某同学设计了一款纪念版吉祥物．某商店该吉祥物的售价为64元/个，为了促销，商店决定进行两次降价调整，最终售价为49元/个，每天能售出50个． （1）求该吉祥物两次降价的平均百分率； （2）若该吉祥物每个的成本价为20元，临近运动会，为了减少库存，决定再次进行降价销售，经调查发现，每降价2元，每天可多售20件，若每天利润为2730元，则每件降价多少元？ 【答案】（1）该吉祥物两次降价的平均百分率为12.5%； （2）每个降价16元． 【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x， 由题意列一元二次方程得：64（1﹣x）2＝49， 整理得，64x2﹣128x﹣15＝0， 解得：x1＝0.125＝12.5%，x2＝1.875（不合题意，舍去）， 答：该吉祥物两次降价的平均百分率为12.5%； （2）设每个商品应降价y元， 由题意列一元二次方程得： ， 解得y1＝8，y2＝16， 为了减少库存，应取y＝16， 答：每个降价16元． 六．配方法的应用（共5小题） 19．（2025春•东台市期中）已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 【答案】A 【解答】解：∵m﹣n2＝2， ∴n2＝m﹣2≥0，m≥2， ∴m2+2n2+4m﹣3 ＝m2+2m﹣4+4m﹣3 ＝m2+6m+9﹣16 ＝（m+3）2﹣16， 则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9． 故选：A． 20．（2025春•滨湖区期中）已知x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0，求xy的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【解答】解：由题意，∵x2﹣2xy+2y2﹣6y+9＝0， ∴x2﹣2xy+y2+y2﹣6y+9＝0． ∴（x﹣y）2+（y﹣3）2＝0． ∴x﹣y＝0，y﹣3＝0． ∴x＝y＝3． ∴xy＝33＝27． 故选：D． 21．（2025春•碑林区校级期中）已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（　　） A．14 B．5 C．9 D．不存在 【答案】B 【解答】解：根据题意得：x+y＝4a2+4ab+14+b2﹣6b﹣12a ＝（4a2+4ab+b2）﹣6（b+2a）+14 ＝[（2a+b）2﹣6（b+2a）+9]+5 ＝（2a+b﹣3）2+5． ∵（2a+b﹣3）2≥0， ∴x+y的最小值是5． 故选：B． 22．（2025春•大丰区期中）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 【答案】A 【解答】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴M≥N， 故选：A． 23．（2024春•广陵区期中）若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 【答案】D 【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2） ＝x2+4x+2 ＝（x+2）2﹣2． 令M﹣N＝0， ∴（x+2）2﹣2＝0． ∴x＝﹣2±． 考查函数y＝（x+2）2﹣2， ∵a＝1＞0， ∴当x＜2或x＞2时，y＞0； 当x＝﹣2±时，y＝0； 当2x＜2时，y＜0． ∴当x＜2或x＞2时，M＞N； 当x＝﹣2±时，M＝N； 当2x＜2时，M＜N． 故选：D． 七．二次函数图象与系数的关系 24．（2025•谷城县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（　　） ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③b2﹣4ac＞0； ④a﹣b+c＞0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0． 由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0． 所以abc＜0． 故该结论错误； ②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x1，则2a+b＝0． 故该结论正确； ③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0． 故该结论正确； ④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0． 故该结论正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：B． 25．（2024秋•枣阳市期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意； ②由题意可得：b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故②符合题意； ③当x＝0和x＝2时函数值相等，都小于0， ∴y＝4a+2b+c＜0，故③不符合题意； ④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0， ∴3a+c＞0，故④符合题意； ⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意． 故选：C． 26．（2024秋•郸城县期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象关于直线x＝1对称，则下列四个结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③5a+b+c＞0；④若k≠1，则a（k2﹣1）+b（k﹣1）＞0．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＝﹣2a＜0，c＜0， ∴2a+b＝0，abc＞0，故①②正确； 由图象可知：当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， ∴a+b﹣2b+c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴a+b﹣2b+c＝a+b+4a+c＝5a+b+c＞0；故③正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，函数值最小为a+b+c， 当x＝k（k≠1）时，y＝ak2+bk+c＞a+b+c， ∴ak2﹣a+bk﹣b＞0， ∴a（k2﹣1）+b（k﹣1）＞0；故④正确； 故选：D． 27．（2025秋•朝阳区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是　①④⑤　 （填序号）． 【答案】①④⑤． 【解答】解：由于抛物线的开口向上，则a＞0，由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号，所以b＜0，由于抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c＜0，故abc＞0，故①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误； 当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故③错误； 因为对称轴为x1，则b＝﹣2a，所以2a+b＝0，故④正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 八．二次函数图象上点的坐标特征（共5小题） 28．（2025•晋中二模）若点A（﹣1，y1），B（2，y3），C（3，y3）都在二次函数y＝x2﹣4x﹣n的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣n， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|＞|2﹣2|， ∴y2＜y3＜y1； 故选：D． 29．（2024秋•勉县校级期末）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【答案】D 【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵点（﹣2，y1）、（0，y2）、（，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+c上的三点， ∴点（，y3）关于对称轴x＝1的对称点是（，y3）， ∵﹣20， ∴y1＞y3＞y2， 故选：D． 30．（2024秋•莱阳市期末）设函数，，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　） A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜n＜1，则a1＜a2 C．若m＜1＜n，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1 【答案】B 【解答】解：如图所示，若1＜m＜n，则a1＞a2， 故A不符合题意； 如图所示，若m＜1＜n，则a1＞a2或a1＜a2， 故C不符合题意； 如图所示，若m＜n＜1，则a1＜a2， B符合题意，D不符合题意； 故选：B． 31．（2025•广州校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1，则t的取值范围是（　　） A．t＜﹣4或t＞7 B．t＜﹣5或t＞8 C．t＜﹣5或t＞7 D．﹣t＜﹣4或t＞8 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣bx+c， ∴图象开口向上，对称轴为直线x， ∵﹣1＜b＜4， ∴2， ∵x2﹣x1＝t，﹣2＜x1＜2， ∴t﹣2＜x2＜t+2， ∴t﹣4＜x1+x2＜t+4， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上任意两点，设x2﹣x1＝t，若当﹣2＜x1＜2且﹣1＜b＜4时，都有y2＞y1， ∴当t＞0时，x2＞x1，点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，则2，即x1+x2＞4， ∴t﹣4＞4， ∴t＞8， 当t＜0时，x2＜x1，点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点在对称轴的左侧，则，即x1+x2＜﹣1， ∴t+4＜﹣1， ∴t＜﹣5， 综上，t的取值范围是t＜﹣5或t＞8， 故选：B． 32．（2025•费县二模）已知二次函数y＝﹣mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＞0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＞0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 【答案】D 【解答】解：由解析式可知抛物线对称轴为直线， 当m＞1时，则﹣m＜0， ∴函数的图象开口向下， ∴， 此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越大， ∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q）， ∴点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即a+b+c+d＞0，故A选项不符合题意； 由条件可知d＜a＜b＜c或d＜b＜a＜c或c＜b＜a＜d或c＜a＜b＜d， 故B选项不符合题意； 当m＜﹣1时，则0＞m+1， ∴， 此时对称轴在x轴的正半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的x所对应的函数值越小， 由条件可知点A与点B关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即a+b+c+d＞0，故C选项不符合题意； ∵p＜q，越靠近对称轴的x所对应的函数值越小， ∴a＜d＜c＜b或a＜c＜d＜b或b＜c＜d＜a或b＜d＜c＜a， 故D选项符合题意； 故选：D． 九．二次函数的最值 33．（2024秋•纳溪区期末）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（　　） A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0）， 代入，得0＝9﹣3m+n，即3m﹣9＝n， 二次函数对称轴为直线x， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线x3，即m≥6， 此时在﹣3≤x≤0上，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线x满足﹣3时，即0＜m＜6， 此时二次函数的顶点在﹣3≤x≤0范围内，顶点的纵坐标为最小值﹣4， 二次函数顶点纵坐标公式为y，将a＝1，b＝m，c＝3m﹣9代入， 可得（m﹣2）（m﹣10）＝0， 解得m ＝ 2或m ＝ 10， ∵0＜m＜6， ∴m ＝ 2； ③对称轴为直线x0，即m≤0， 此时在﹣3≤x≤0上y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y有最小值3m﹣9， 令3m﹣9＝4，解得m，不符合题意，舍去； 故答案为m＝2， 故选：C． 34．（2024秋•昭通期末）当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1 【答案】C 【解答】解：当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1， 当y＝﹣1时，有x2+4x+2＝﹣1， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣3． ∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）， 当x＜﹣2时，y随x的增大而减少，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大， ∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值﹣1， 若﹣2＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是﹣1， ∴a＝﹣1； 若a≤x≤a+2＜﹣2时，当x＝a+2时，y的最小值是﹣1， ∴a+2＝﹣3， a＝﹣5， 故选：C． 35．（2025•连州市三模）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4， 解得：m＝5； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4， 解得：m； 故选：C． 36．（2025•新城区三模）已知二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7 【答案】B 【解答】解：∵将二次函数解析式化为顶点式可得：y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当x＝t+2≤2，即t≤0，函数有最大值4， ∴﹣（t+2）2+4（t+2）+9＝4， ∴t＝±3， ∵t≤0， ∴t＝﹣3； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当x＝t≥2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， ∴t＝5，t＝﹣1， ∵t≥2， ∴t＝5； 故选：B． 十．抛物线与x轴的交点 37．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），抛物线y＝﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x3，x4（x3＜x4）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x4＜x1＜x2 B．x3＜x1＜x2＜x4 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x1＜x3＜x4＜x2 【答案】B 【解答】解：由题意可知，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），抛物线y＝﹣x2+px+m与直线y＝m﹣n的交点坐标为（x3，m﹣n），（x4，m﹣n）， ∵0＜m＜n， ∴m﹣n＜0， ∴直线y＝m﹣n与y轴交于负半轴， 如图所示， 观察图象可知，x3＜x1＜x2＜x4， 故选：B． 38．（2024秋•江阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC′是正方形，则a的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解答】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线y＝ax2﹣5ax+4a不经过第二象限，与x轴交于A，B两点，其顶点为C， ∴a＜0，顶点在x轴上方， ∴， 把y＝0代入y＝ax2﹣5ax+4a可得：ax2﹣5ax+4a＝0， 解得x1＝1，x2＝4， ∴AB＝4﹣1＝3， ∵四边形ACBC′是正方形， ∴AB＝CC′， ∴， ∴， 故选：B． 39．（2025秋•海安市月考）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．m＜x1＜x2＜n B．m＜x1＜x2＜﹣n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 【答案】A 【解答】解：抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点， 设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标， 而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1， 即函数y′向上平移1个单位得到函数y， ∴m＜x1＜x2＜n， 故选：A． 十一．垂径定理 40．（2025秋•秦淮区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，设DE的中点为O，连接CO并延长交AB于点F，连接ON， ∵DE为直径，且DE＝3， ∴OC＝ONDE， 当CF⊥AB时，CF最小，则弦心距OF最小，此时弦MN的值最大， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC4， 由，得， ∴OF＝CF﹣OC， ∴， ∵CF⊥AB， ∴， 故选：D． 41．（2025•池州开学）如图，在平面直角坐标系中，以点G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于点F，则点E在⊙G上运动过程中，线段FG的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接AC，过点G作GM⊥AC于点M，连接AG． ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB． 在Rt△AGO中，AG＝2OG，， ∴∠GAO＝30°，，∠AGO＝60°． 由条件可知∠GCA＝∠GAC．∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴，． ∵CF⊥AE， ∴∠AFC＝90°， 点F在以AC为直径的⊙M上运动， ∴． 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为． 故选：B． 十二．扇形面积的计算（共4小题） 42．（2025•威海一模）如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O．则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．π﹣2 C．2π D． 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴正方形的对角线的长为， ∴半径的长为， ∵阴影部分面积＝圆的面积﹣正方形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 43．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝4． 又∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°． ∵点E是BC的中点， ∴AE⊥BC． ∵BE， ∴AE， ∴， 同理可得，， ∴． ∵，， ∴中间空白部分两边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 44．（2025•中卫校级二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4 【答案】B 【解答】解：由题意可知AG＝BH＝CE＝DF＝5，DE＝AF＝BG＝CH＝3， ∴EF＝FG＝GH＝HE＝2， ∴S阴影部分＝S扇形FEG+S扇形HEG﹣S正方形EFGH 22 ＝2π﹣4 故选：B． 45．（2024秋•凉州区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，取AD的中点E，连接BE，CE，以BE为半径，B为圆心画弧交BC于G；以CE为半径，C为圆心画弧交BC于F，则阴影部分面积是（　　）． A．2π﹣4 B．π﹣4 C．π﹣2 D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知ED＝AE＝2，AD∥BC，∠BAE＝90°， ∴AB＝AE＝2，∠GBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∴∠GBE＝∠AEB＝45°， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 十三．旋转的性质 46．（2025春•开江县月考）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB的中点，点E是边BC所在直线上的一动点，连接DE，在DE的右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵DM⊥BC， ∴∠BDM＝30°， ∵AB＝4，D为AB中点， ∴， ∴， ∴， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠EDF＝60°，DE＝DF， ①当点N在点D下方时，有两种情况，作图如下： ∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°， ∴∠EDF+∠BDM＝∠EDM+∠NDF＝90°， ∵DM⊥BC， ∴∠EDM+∠MED＝90°， ∴∠NDF＝∠MED， 在△DNF与△EMD中， ， ∴△DNF≌△EMD（AAS）； ∴， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行； 据上述原理，上图情况，可得△DNF≌△EMD（AAS）， ∴， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行； ②当点N在点D上方时，作图如下： ∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°， ∴∠EDF+∠BDM＝90°， ∴∠EDM+∠NDF＝180°﹣（∠EDF+∠BDM）＝90°， ∵DM⊥BC， ∴∠EDM+∠MED＝90°， ∴∠NDF＝∠MED， ∵∠DNF＝∠EMD＝90°，∠NDF＝∠MED，DE＝DF， ∴△DNF≌△EMD（AAS）， ∴， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行； ③当点D与点N重合时，作图如下： 由图可知：， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行； 故答案为：． 47．（2024秋•荣成市校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到△ADE（∠CAB＜m°＜180°）．CE与AB交于点F，设∠ABC＝n°（30≤n≤45），当m、n满足（　　）条件时，△BCF是等腰三角形． A．m＝2n B．n＝2m C．m+n＝180°或m＝2n D．n＝2m或m+n＝180° 【答案】C 【解答】解：连接BD， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转m°得到△ADE， ∴∠DAB＝∠EAC＝m°，AC＝AE，AD＝AB， ∴， ， 当BF＝BC时， 则， ∵∠ACB＝∠ACE+∠BCF， ∴， ∴m+n＝180； 当BC＝CF时，点F在BA的延长线上，不符合题意； 当BF＝CF时， 则∠ABC＝∠BCF＝n°， ∵∠ACB＝∠ACE+∠BCF， ∴， ∴m＝2n； 综上分析可知，当m＝2n或m+n＝180°时，△BCF是等腰三角形． 故选：C． 48．（2025•淄博）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1， 则∠QEP＝∠CFP＝90°， 又∵∠QPC＝90°， ∴∠EQP+∠EPQ＝∠FPC+∠EPQ＝90°， ∴∠EQP＝∠FPC， 由旋转得PC＝PQ， ∴△QPE≌△PCF（AAS）， ∴EQ＝PF， ∵PF≤PC， ∴EQ≤PC， ∴AP+PF≤AP+PC≤AC， 即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AP1＝CD＝AB＝1， ∴， ∴EQ的值最大为， ∴△APQ的最大面积是， 故选：C． 2 学科网（北京）股份有限公司 $