2.5.2 圆与圆的位置关系 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，以日食现象抽象圆引出问题，类比直线与圆的研究方法，构建从几何直观到代数运算的学习支架，帮助学生迁移知识。 其亮点在于融合几何法与代数法判定位置关系，通过典例分析公共弦、阿氏圆等问题，培养数学思维与运算能力。课堂小结系统梳理知识要点，助力学生形成知识结构，教师可高效教学，提升学生应用意识。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 学习目标 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.(重点) 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.(难点) 刘雨萌 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球运行至太阳与地球之间并在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 刘雨萌 新知探究 一、两圆位置关系 问题1 两个圆之间有几种位置关系？ 有几个公共点？公切线有几条？ 刘雨萌 新知探究 二、两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0， 联立方程得 一元二次方程， 方程组有两组不同的实数解⇔两圆 ，有一组实数解⇔两圆 ，无实数解⇔两圆 . 相交 相切 外离或内含 刘雨萌 2.几何法：已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d=|C1C2|= .则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆外离 d>r1+r2   两圆外切 d=r1+r2   新知探究 刘雨萌 位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示 两圆相交 |r1-r2|< d<r1+r2   两圆内切 d=|r1-r2|   两圆内含 d<|r1-r2|   新知探究 刘雨萌 典例分析 例1 (课本96页例5)　已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0， 圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 方法一　将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得x+2y-1=0，③由③，得y=. 把上式代入①，并整理，得x2-2x-3=0.④ 方程④的根的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0， 所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交. 刘雨萌 方法二　把圆C1的方程化成标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25， 圆C1的圆心是(-1，-4)，半径r1=5. 把圆C2的方程化成标准方程，得(x-2)2+(y-2)2=10， 圆C2的圆心是(2，2)，半径r2=. 圆C1与圆C2的圆心距为 =3. 圆C1与圆C2的两半径长之和r1+r2=5+两半径长之差r1-r2=5-. 因为5-<3<5+即r1-r2<3<r1+r2，所以圆C1与圆C2相交(如图)，它们有两个公共点A，B. 典例分析 刘雨萌 (学习笔记68页例1) 　 已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x-a)2+(y-1)2=16，C2：(x-2a)2+(y-1)2=1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1=4，r2=1. ∴|C1C2|==a. 当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切； 跟踪训练 当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. 当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. 当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 当|C1C2|=r1-r2=3，即a=3时，两圆内切. 刘雨萌 10 跟踪训练 　(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是 A.4 B.6 C.16 D.36 √ (2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有　　条.  4 圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴=1+，解得a=16. |AB|==5. 半径之和为3+1=4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 刘雨萌 例2 (课本97页例6) 　已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 典例分析 如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(-2，0)，B(2，0). 设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=|MB|， 得=× 化简，得x2-12x+y2+4=0，即(x-6)2+y2=32. 所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(如图). 因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=4又r2-r1<|PO|<r2+r1，所以点M的轨迹与圆O相交. 三、阿氏圆 刘雨萌 典例分析 四、相交弦问题 (学习笔记68页例2) 已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程， 得 由①-②，得x-y+4=0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3，0)，r=， ∴C1到直线AB的距离d==， ∴|AB|=2=2=5，即两圆的公共弦长为5. 刘雨萌 典例分析 (学习笔记68页例2) 已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解方程组 得两圆的交点为(-1，3)，(-6，-2). 设所求圆的圆心为(a，b)，∵圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4. 则=， 解得a=，半径为. 故所求圆的方程为+=，即x2+y2-x+7y-32=0. 刘雨萌 反思与感悟 (1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+ F2 =0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y +F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练2 圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为　　　　　　　　　　 　　　　.  (x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0) 方法一　由解得 所以圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点分别为A(-1，-1)，B(3，3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-1). 由 所以所求圆的圆心坐标为(3，-1)， 半径为=4，所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 刘雨萌 方法二　同方法一求得A(-1，-1)，B(3，3)， 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 由 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 跟踪训练 刘雨萌 典例分析 例3 求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切，则=r+1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0，故=. ② =r. ③ 由①②③解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4，r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 刘雨萌 延伸探究 延伸探究 将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？ 因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r， 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2， 又因为与圆x2+y2-2x=0外切， 且过点(3，-)， 所以 所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是 A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 √ 2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为 A.2 B.-5 C.-2 D.5 √ √ 3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是 　　　　　　　　　　　　　　　　.  4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=　　.  (x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36 1 刘雨萌 课后作业 步步高练透171页 作业27 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $