专题24.9 弧长和扇形面积（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题24.9 弧长和扇形的面积 教学目标 1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。 2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。 3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1）扇形的弧长弧面积的计算； （2）圆锥的相关计算。 2. 难点 （1）扇形的弧长与面积公式的灵活运用； （2）不规则图形的面积计算。 知识点01 扇形的弧长 1. 扇形弧长的定义： 扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。 2. 扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。 【即学即练1】 1．若扇形的圆心角为75°，半径为12，则该扇形的弧长为（　　） A．2π B．4π C．5π D．6π 【答案】C 【解答】解：该扇形的弧长5π． 故选：C． 【即学即练2】 2．一个扇形的半径为9，弧长为π，则该扇形的圆心角为　20　 度． 【答案】20． 【解答】解：设扇形圆心角的度数是n°，由弧长公式得， ∴n＝20， 故答案为：20． 【即学即练3】 3．在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：设⊙O的半径是r cm， ∴2.5π， ∴r＝6， ∴⊙O的半径是6cm． 故选：A． 知识点02 扇形的面积 1. 扇形的面积计算公式： 方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝ ，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝ 。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。 【即学即练1】 4．一个扇形半径为4cm，所对弧长为3.14cm，则扇形面积为　6.28　 cm2． 【答案】6.28． 【解答】解：设这个扇形的圆心角度数为n°， 则， 所以n＝45， 所以这个扇形的圆心角度数为45°， 所以这个扇形的面积为， 故答案为：6.28． 【即学即练2】 5．已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 【答案】B 【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°， 则， 解得n＝60， 所以圆心角的度数为60°． 故选：B． 知识点03 圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的认识： 如图，圆锥是由一个 侧面 和一个 底面 构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的 母线 ，如的CA与CB。AB是圆锥 底面直径 ，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 高 。 2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系： 圆锥的母线长与高与底面半径构成 勾股定理 。 即：如图： 。 3. 圆锥的侧面展开图的认识： 圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆 锥的 母线长 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长 。 4. 圆锥的侧面积计算： 方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 a ，弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。 方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为： 。 【即学即练1】 6．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为9cm，求它的侧面展开图的圆心角及侧面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：圆锥是侧面积＝π×9×5＝45π（cm2）， 设侧面展开图的圆心角为n°，则有2π•5， 解得n＝200， ∴侧面展开图的圆心角为200°，侧面积为45πcm2． 【即学即练2】 7．如图所示，已知圆锥的母线长AB＝8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵圆锥的轴截面的顶角为60°，底边长为8cm， ∴这个圆锥的母线长是8cm，底面直径是8cm， ∴这个圆锥的侧面积为：8×8π＝32πcm2． 这个圆锥的底面积为π×42＝16πcm2． 所以圆锥全面积＝32π+16π＝48πcm2． 【即学即练3】 8．如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．2 C．4π D．2π 【答案】B 【解答】解：扇形的弧长4π， ∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2． 故选：B． 【即学即练4】 9．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则母线AB的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：∵BC为底面直径，BC＝6cm， ∴圆锥的底面周长＝6πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6πcm， 由题意得：6π×AB＝15π， 解得：AB＝5， 故选：C． 【即学即练5】 10．如图，从一块半径是cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若OA＝2cm，则圆锥的高是　cm　 ． 【答案】cm． 【解答】解：连接OB，过点O作OH⊥AB于H． 由对称性可知，∠OAH＝30°， ∵∠AHO＝90°，AO＝2cm， ∴OHOA＝1（cm），AHOH（cm）， ∴BH2（cm）， ∴AB＝3（cm）， ∴的长π（cm）， 设圆锥的底面圆的半径为R cm，则2πRπ， ∴R， ∴圆锥的高（cm）． 故答案为：． 题型01 求扇形的弧长及公式的应用 【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝60°，连接OA，OB，若⊙O的半径为6，则扇形AOB的弧长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵⊙O的半径为6， ∴扇形AOB的弧长为， 故选：B． 【变式1】如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，弧AP的长为（　　） A．2π B． C．或 D．2π或 【答案】D 【解答】解：如图所示，当∠ADC＝90°时，连接OA，OD， ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°， ∴，点D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴C、D、O三点共线， ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°， ∴∠AOP＝120°， ∴弧AP的长为； 如图所示，当∠ACD＝90°时，则∠ACP＝90°， ∴AP为直径， ∴弧AP的长为； 综上所述，弧AP的长为2π或， 故选：D． 【变式2】如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在上，连接OC，AD垂直平分OC交OB于点D，则的长度为（　　） A． B． C． D．π 【答案】C 【解答】解：∵AD垂直平分OC， ∴AC＝AO， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵∠AOB＝75°， ∴∠BOC＝15°， ∴的长度为． 故选：C． 【变式3】若扇形AOB的弧长为4π，∠AOB＝120°，则扇形AOB的半径为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解答】解：设扇形AOB的半径为r， 根据弧长公式，得4π， 解得r＝6． 故选：B． 【变式4】一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（　　） A．120° B．135° C．150° D．270° 【答案】B 【解答】解：设扇形的圆心角度数为n°， 根据题意，得2π×4＝3π， 解得n＝135， ∴扇形的圆心角度数为135°． 故选：B． 题型02 求运动路径的长度 【典例1】【钟表问题】一个钟表的分针长10cm，从2时走到4时，分针针尖走过的路程为（　　）cm A．31.4 B．125.6 C．314 D．628 【答案】B 【解答】解：∵分针针尖转一圈的长度为2×3.14×10＝62.8cm， ∴分针针尖走过的路程为62.8×2＝125.6cm， 故选：B． 【变式1】如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°至△COD，若OA＝3，则点A旋转到点C的路径长为　π　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得，n＝∠AOC＝60°，R＝OA＝3， 则A旋转到点C的路径长π． 故答案为：π． 【变式2】如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为　π　 ． 【答案】π． 【解答】解：如图，根据弧长公式可得：lπ． 故答案为：π． 【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　（）　cm． 【分析】A点滚动到D点其圆心所经过的路线在点B处少走了一段，在点C处又多求了一段弧长，所以A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）． 【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+ ＝（cm）． 故答案为：（）． 题型03 求扇形的面积及公式的应用 【典例1】如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4cm，则这个扇形的面积为（　　）cm2． A．π B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵r＝4cm，n＝120°， 根据扇形的面积公式S得： Sπ， 故选：D． 【变式1】如图，直角三角形中阴影部分的面积之和是（　　）cm2． A．28.26 B．56.52 C．113.04 【答案】B 【解答】解：阴影部分的面积＝π×62÷2＝18π≈56.52（cm2）， 故选：B． 【变式2】折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm， ∴AD＝10cm， ∵∠BAC＝120°， ∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE （cm2）． 故选：D． 【变式3】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（　　） A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm 【答案】C 【解答】解：∵S扇形lr ∴240π•20π•r ∴r＝24 （cm） 故选：C． 【变式4】已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（　　） A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm 【答案】A 【解答】解：设扇形的半径为r， ∵扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2， ∴3π， 解得r＝6（cm）． 故选：A． 题型04 求圆锥的侧面积与全面积 【典例1】如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A．30π B．60π C．65π D．90π 【答案】C 【解答】解：∵圆锥的底面半径为5，高为12， ∴圆锥的母线长为13， ∴它的侧面积＝π×13×5＝65π， 故选：C． 【变式1】第十二届全国少数民族传统体育运动会于2024年11月22日在海南省三亚市正式开幕，其中陀螺比赛吸引了无数观众观看，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为10cm，高h为8cm，则此圆锥的侧面积为（　　） A．40πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2 【答案】B 【解答】解：如图，圆锥的母线长为10cm，高h为8cm， ∴圆锥的底面半径为：， ∴圆锥的底面周长为：2π×6＝12πcm，即圆锥侧面扇形的弧长为12πcm， ∴圆锥侧面扇形的圆周角为：， ∴圆锥的侧面积为． 故选：B． 【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 　6π　 ． 【答案】6π． 【解答】解：2π×5＝2π， 则圆锥的侧面积为5×2π＝5π，圆锥的底面积为（）2π＝π， 5π+π＝6π， ∴该圆锥的表面积是6π． 故答案为：6π． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝2，若把直角三角形绕边AC所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积等于（　　） A． B．10π C．12π D．14π 【答案】D 【解答】解：圆锥表面积为：πrl+πr2＝π×2×5+π×22＝14π， 故选：D． 题型05 圆锥的母线长、底面半径以及高 【典例1】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝1 cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为（　　）cm． A．1 B．12 C．3 D．6 【答案】C 【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×1＝2π cm， 设圆锥的母线长为l，则：2π， 解得l＝3． 故选：C． 【变式1】用一个圆心角是120°，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r． 根据题意，得2πr2π×3， 解得r＝1， ∴这个圆锥的底面圆的半径为1． 故选：A． 【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r， 则2πr， ∴r＝1， ∴该圆锥的高是2． 故选：D． 题型06 求不规则图形的面积 【典例1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，设AC与BD交于点O． ∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝6， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝6， ∴OAAC＝3， 在Rt△AOB中利用勾股定理，得OB3， ∴BD＝2OB＝6， ∴S菱形ABCDBD•AC66＝18， ∵S空白＝（）2π＝9π， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S空白＝189π． 故选：A． 【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接OE． ∵S△ADCAD•CD2×2＝2， S扇形OCEπ×12， S△COE1×1， ∴S弓形CE， ∴阴影部分的面积为2﹣（）． 故选：D． 【变式2】在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4 【答案】B 【解答】解：由题意可知AG＝BH＝CE＝DF＝5，DE＝AF＝BG＝CH＝3， ∴EF＝FG＝GH＝HE＝2， ∴S阴影部分＝S扇形FEG+S扇形HEG﹣S正方形EFGH 22 ＝2π﹣4 故选：B． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，得到△A′BC′，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1）， ∴OA＝OB＝OC＝1， ∴BC，AB＝2， 由旋转可知，BA′＝BA＝2，OB＝1， ∴∠OA′B＝30°， ∴∠ABA′＝90°﹣30°＝60°＝∠CBC′， ∴S阴影部分＝S扇形BAA′+S△BA′C′﹣S扇形BCC′﹣S△ABC ＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′ ， 故选：A． 1．若圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（　　） A．240° B．120° C．180° D．90° 【答案】B 【解答】解：圆锥的底面半径为4cm， 则底面周长为2π×4＝8πcm， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为8πcm， ∵母线长为12cm，则扇形的半径为12cm， 根据弧长公式可得：， 解得：n＝120， 故选：B． 2．把一个扇形的圆心角扩大到原来2倍，半径缩小到原来的一半，则其面积变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C．50% D．100% 【答案】C 【解答】解：原扇形面积， 变化后的扇形面积， 则变化后的面积是原来面积的，即其面积变为原来的50%； 故选：C． 3．如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了（　　） A．108° B．120° C．135° D．144° 【答案】D 【解答】解：∵半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm， 根据弧长公式得： ， 整理得，5n＝720， 解得n＝144°． 综上所述，滑轮上某一点P旋转了144°． 故选：D． 4．如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转90°，那么斜边AB扫过的面积为（　　） A．π B． C．2π D．2π﹣2 【答案】B 【解答】解：由题意可得，AC＝BC＝CD＝2，△ABD，△ABC，△BCD都是等腰直角三角形，则， AB边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积S， S＝S半圆﹣S扇形ECF﹣S△ACE﹣S△CDF ， 故选：B． 5．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项A、C、D中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B符合条件． 故选：B． 6．综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 【答案】A 【解答】解：2π×30÷2π＝10（cm）， ∴张亮裁出的圆的半径应该为10c． 故选：A． 7．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　） A．150π B．125π C．75π D． 【答案】B 【解答】解：由题知，， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 答：山水画所在纸面的面积为125πcm2， 故选：B． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接BC， 由条件可知CE＝DE，即AB垂直平分CD， ∴BC＝BD， 又∵OC＝OD，OB＝OB， ∴△COB≌△DOB，则S△COB＝S△DOB， ∴∠DOB＝90°﹣∠ODE＝60°， ∵OA＝OB， ∴S△COB＝S△AOC，则S△COB＝S△DOB＝S△AOC 则阴影部分的面积为， 故选：A． 9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点A，C，交AB，BC于点F，D，若AC＝AF，CD＝10，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接OA、OF， ∵AF＝AC，OF＝OC，OA＝OA， ∴△AOF≌△AOC（SSS）， ∴∠OAF＝∠OAC， ∵OA＝OC， ∴∠C＝∠OAC， ∴∠BAC＝2∠C， 在△ABC中， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， 即3∠C+∠B＝180°， ∵∠B＝30°， ∴3∠C+30°＝180°， ∴∠C＝50°， ∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 又∵直径CD＝10， ∴半径OA＝OC＝5， ∴的长为π． 故选：C． 10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF，若AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．8﹣2π C．4﹣2π D．4﹣π 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，S正方形ABCD＝AD2＝16， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BEBC＝2， ∵以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F， ∴CF＝CE＝2， ∴DF＝CD﹣CF＝2， ∴S扇形ECFπ，S△ABEAB•BD4×2＝4，S△ADFAD•DF4×2＝4， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S扇形ECF＝16﹣4﹣4﹣π＝8﹣π． 故选：A． 11．已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则圆锥的全面积为　96π　 cm2． 【答案】96π． 【解答】解：由条件可知底面半径为， ∴圆锥的全面积为π×6×10+π×62＝60π+36π＝96πcm2． 故答案为：96π． 12．如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2，OB＝1，则阴影部分的面积为　π　 （结果保留π）． 【答案】． 【解答】解：S阴形＝S扇形AOD﹣S扇形BOC ． 故答案为：． 13．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝4，则的长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接AC， 由直径可知：∠ACB＝90°， 由可得：∠ABC＝∠BAC＝45°， ∵AB＝4， ∴， ∴的长， 故答案为：． 14．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是　2π　 ． 【答案】2π． 【解答】解：由图可得， 这个“莱洛三角形”的周长是3＝2π， 故答案为：2π． 15．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，BC＝6，AC＝10， ∴△A′B′C≌△ABC，∠ACA′＝∠BCB′＝60°， ∴S△A′B′C＝S△ABC， ∴S阴影＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′， ∴，， ∴， ∴线段AB扫过的图形面积为， 故答案为：． 16．如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴， ∴， ∴， ∴∠A＝∠D； （2）解：连接OC，OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠A＝∠ADE＝45°， ∴∠COD＝2∠A＝90°， ∵⊙O的半径为4， ∴的长为2π． 17．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm． （1）求图2中圆锥的母线AE的长． （2）求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得， ∴AD＝2DE＝10（cm）， ∴AE＝AD＝10cm； （2）由条件可得BC＝2AD＝20cm， ∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF ＝（100﹣25π）cm2． 18．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC． （1）求证：AB＝AC． （2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接AP， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠APB＝90°， ∴AP⊥BC． ∵PC＝PB， ∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC； （2）解：连接OP， ∵∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝60°， ∴∠POB＝120°． ∵点O是AB的中点， ∴S△POBS△PABAP•PB2×2， ∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB π． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解答 （2）图中阴影部分的面积为：． 【解答】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下， 如图所示，连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AB∥OE， ∴∠OBD＝∠COE，∠ODB＝∠DOE， ∴∠DOE＝∠COE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△DOE≌△COE（SAS）， ∴∠ODE＝∠OCE＝90°， 又OD是圆的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝30°，BC＝8，AB∥OE， ∴， ∴∠COE＝60°＝∠DOE， ∴OE＝2OC＝8，， ∴， ∴， ∵∠COD＝60°+60°＝120°，OC＝OD＝4， ∴， ∴阴影部分的面积＝S四边形OCED﹣S扇形COD ， ∴图中阴影部分的面积为． 20．【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为6cm的圆形纸片（⊙O）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O′，连接OA，OB，剪下扇形OAB（圆心角小于180°）； 活动二：将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算AB的长和扇形OAB的面积（π取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6cm的圆形纸片？ 【答案】（1）AB的长为，扇形OAB的面积为36cm2； （2）圆锥的高为4cm； （3）最少需要准备14个半径为6cm的圆形纸片． 【解答】解：（1）如图2，OO'和AB交于点D， 由折叠可知：AB垂直平分OO′，OB＝O'B， ∴∠ODB＝90°， ∵OB＝OO'， ∴OB＝OO'＝O'B， ∴△OBO'为等边三角形， ∴∠BOO'＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴ODOB＝3cm，BD3（cm）， ∴AB＝2BD＝6cm， ∵OA＝OB，∠ODA＝90°， ∴∠AOB＝2∠BOO'＝120°， ∴扇形OAB的面积为：12π＝36（cm2）， 答：AB的长为，扇形OAB的面积为36cm2； （2）如图3，作圆锥高OH，连接O'H， 设圆锥底面圆的半径为r cm，R＝OA＝6cm， ∵2πr， ∴r＝2， 在Rt△OHO'中， ， ∴圆锥的高为4cm； （3）每个圆形纸片可制作120°的扇形纸片：360°÷120°＝3（个）， 20个这样的立体图形需要120°的扇形：20×2＝40（个）， （个）， ∴最少需要准备14个半径为6cm的圆形纸片． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.9 弧长和扇形的面积 教学目标 1. 掌握扇形的弧长计算公式并能够在题目中灵活应用。 2. 掌握扇形的面积计算公式并能够在题目中灵活应用。 3. 掌握圆锥的侧面积与全面积的计算公式，并能够在题目中熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1）扇形的弧长弧面积的计算； （2）圆锥的相关计算。 2. 难点 （1）扇形的弧长与面积公式的灵活运用； （2）不规则图形的面积计算。 知识点01 扇形的弧长 1. 扇形弧长的定义： 扇形的弧长就是扇形两条 间 的长度。 2. 扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的圆心角所对的弧的长度l＝ 。 【即学即练1】 1．若扇形的圆心角为75°，半径为12，则该扇形的弧长为（　　） A．2π B．4π C．5π D．6π 【即学即练2】 2．一个扇形的半径为9，弧长为π，则该扇形的圆心角为　20　 度． 【即学即练3】 3．在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 知识点02 扇形的面积 1. 扇形的面积计算公式： 方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为，则1°的圆心角所对的面积＝ ，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积＝ 。 方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。 【即学即练1】 4．一个扇形半径为4cm，所对弧长为3.14cm，则扇形面积为　 　 cm2． 【即学即练2】 5．已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 知识点03 圆锥的侧面积与全面积 1. 圆锥的认识： 如图，圆锥是由一个 和一个 构成。顶点C到底面圆上任意一点的连线是圆锥的 ，如的CA与CB。AB是圆锥 ，顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 。 2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系： 圆锥的母线长与高与底面半径构成 。 即：如图： 。 3. 圆锥的侧面展开图的认识： 圆锥的侧面展开图是一个 ，这个扇形的半径等于圆 锥的 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 。 4. 圆锥的侧面积计算： 方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 ，弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为： 。 方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为： 。 【即学即练1】 6．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为9cm，求它的侧面展开图的圆心角及侧面积． 【即学即练2】 7．如图所示，已知圆锥的母线长AB＝8cm，轴截面的顶角为60°，求圆锥全面积． 【即学即练3】 8．如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．2 C．4π D．2π 【即学即练4】 9．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则母线AB的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【即学即练5】 10．如图，从一块半径是cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若OA＝2cm，则圆锥的高是 　 ． 题型01 求扇形的弧长及公式的应用 【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝60°，连接OA，OB，若⊙O的半径为6，则扇形AOB的弧长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．8π 【变式1】如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，弧AP的长为（　　） A．2π B． C．或 D．2π或 【变式2】如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在上，连接OC，AD垂直平分OC交OB于点D，则的长度为（　　） A． B． C． D．π 【变式3】若扇形AOB的弧长为4π，∠AOB＝120°，则扇形AOB的半径为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式4】一个扇形的半径为4，弧长等于3π，则扇形的圆心角度数为（　　） A．120° B．135° C．150° D．270° 题型02 求运动路径的长度 【典例1】【钟表问题】一个钟表的分针长10cm，从2时走到4时，分针针尖走过的路程为（　　）cm A．31.4 B．125.6 C．314 D．628 【变式1】如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°至△COD，若OA＝3，则点A旋转到点C的路径长为　 　 ． 【变式2】如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为　 　 ． 【变式3】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　 　cm． 题型03 求扇形的面积及公式的应用 【典例1】如果一个扇形的圆心角为120°，半径为4cm，则这个扇形的面积为（　　）cm2． A．π B． C． D． 【变式1】如图，直角三角形中阴影部分的面积之和是（　　）cm2． A．28.26 B．56.52 C．113.04 【变式2】折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3】扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，那么扇形的半径是（　　） A．6cm B．12cm C．24cm D．28cm 【变式4】已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（　　） A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm 题型04 求圆锥的侧面积与全面积 【典例1】如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A．30π B．60π C．65π D．90π 【变式1】第十二届全国少数民族传统体育运动会于2024年11月22日在海南省三亚市正式开幕，其中陀螺比赛吸引了无数观众观看，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为10cm，高h为8cm，则此圆锥的侧面积为（　　） A．40πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．120πcm2 【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的表面积是 　 　 ． 【变式3】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝2，若把直角三角形绕边AC所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积等于（　　） A． B．10π C．12π D．14π 题型05 圆锥的母线长、底面半径以及高 【典例1】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝1 cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为（　　）cm． A．1 B．12 C．3 D．6 【变式1】用一个圆心角是120°，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的高是（　　） A． B． C． D． 题型06 求不规则图形的面积 【典例1】如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG＝5，DE＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣2 B．2π﹣4 C．π﹣2 D．π﹣4 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，得到△A′BC′，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 1．若圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（　　） A．240° B．120° C．180° D．90° 2．把一个扇形的圆心角扩大到原来2倍，半径缩小到原来的一半，则其面积变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C．50% D．100% 3．如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了（　　） A．108° B．120° C．135° D．144° 4．如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转90°，那么斜边AB扫过的面积为（　　） A．π B． C．2π D．2π﹣2 5．从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　） A． B． C． D． 6．综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 7．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　） A．150π B．125π C．75π D． 8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠ODE＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2π D． 9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点A，C，交AB，BC于点F，D，若AC＝AF，CD＝10，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF，若AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．8﹣2π C．4﹣2π D．4﹣π 11．已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则圆锥的全面积为　96π　 cm2． 12．如图是一块扇面宣传展板示意图，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝90°形成的扇面，若OA＝2，OB＝1，则阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）． 13．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，若AB＝4，则的长是 　 　 ． 14．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是　 　 ． 15．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为　 ． 16．如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D． （2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长． 17．图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm． （1）求图2中圆锥的母线AE的长． （2）求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 18．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC． （1）求证：AB＝AC． （2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 20．【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为6cm的圆形纸片（⊙O）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线AB折叠，使点O落在圆上，记作点O′，连接OA，OB，剪下扇形OAB（圆心角小于180°）； 活动二：将剪下的扇形OAB，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算AB的长和扇形OAB的面积（π取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为6cm的圆形纸片？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $