24.4弧长和扇形面积同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.4弧长和扇形面积 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（    ） A．该扇形的圆心角为，直径是4 B．该扇形的圆心角为，直径是3 C．该扇形的圆心角为，直径是6 D．该扇形的圆心角为，直径是4 2．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 3．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　） A．120° B．150° C．180° D．240° 4．如图，是半圆O的直径，平分，且，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）． A． B．4 C． D．6 7．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，．以点C为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 9．如图，一套三角板沿着它们的斜边叠放在一起，记其中一个三角板为，．记，将绕点顺时针旋转，使三角板的两个直角边贴合，则边扫过的面积为(    )    A． B． C． D． 10．如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 11．已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A． B． C． D． 12．圆锥的高为，母线长为，则它的侧面积是（     ）．(结果保留) A． B． C． D． 二、填空题 13．若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °． 14．如图，矩形的对角线，交于点O，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 15．一个母线长为6cm，底面半径为3cm的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是 度． 16．若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 ．（结果保留） 17．已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的半径 ，弧长为 ． 三、解答题 18．如图，已知是的直径，、为圆上的点，、，垂足分别为、． (1)求证：： (2)若，，求阴影部分的面积． 19．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为，母线长．为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 20．如图，是的直径，是的弦，且．    (1)求证：直线为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 21．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 22．如图，已知为的直径，是弦，于E，于F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值及阴影部分的面积． 23．如图所示，有一直径为的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 24．如图，在扇形中，C是上一点，延长到D，且． (1)求的度数； (2)扇形是某圆锥的侧面展开图，若，求该圆锥的底面半径． 《24.4弧长和扇形面积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C C A B B A 题号 11 12 答案 A B 1．D 【分析】根据，，可以写出和的形式，然后即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决． 【详解】解：，， ，， 该扇形的圆心角为，直径是4， 故选：D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确扇形的和． 2．B 【分析】先根据弧长公式求出圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆的半径是，根据圆的周长公式得出，再求出即可． 本题考查了圆锥的计算，能求出圆锥底面圆的周长是解此题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径是， 则， 解得：， 即圆锥底面圆的半径是， 故选：B． 3．C 【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 【详解】解：设母线长为R，底面半径为r， ∴底面周长=2πr，底面面积=π，侧面面积=lR=πrR， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2π=πrR， ∴R=2r， 设圆心角为n，有=2πr=πR， ∴n=180°． 故选：C． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 4．C 【分析】连接，，证明是等边三角形，套用弧长公式计算即可． 【详解】连接，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 5．C 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 6．C 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形， 圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 如图，在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 7．A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 8．B 【分析】根据阴影部分的面积是扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵把逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用． 9．B 【分析】依题意可知，旋转角是或，先求出，再用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，将原来的画出如下： 根据旋转的方式可知，图中阴影部分就是边扫过的部分． ∵， ∴ 由题意可知：，    依题意可知，旋转角是或， ∴ 又∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，扇形的面积公式等知识，掌握扇形面积公式是解题的关键． 10．A 【分析】先利用圆周角定理求出的度数，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积，熟知扇形面积公式和圆周角定理是解题的关键． 11．A 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积，从而得到圆锥的侧面积． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的侧面积． 故选：A． 12．B 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥侧面积，先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴圆锥底面圆的半径为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 13．240 【分析】本题考查了圆锥的计算：理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 【详解】圆锥侧面展开图的弧长是， 设圆心角的度数是，则， 解得， 故答案为：． 14．/ 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和，求出圆心角即可计算． 【详解】解：四边形是矩形， ，，, ，， ， 图中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．180 【分析】先计算出展开的扇形的弧长，再计算出以母线为半径的圆的周长，再根据圆心角公式即可得到答案． 【详解】解：∵母线长为cm，底面半径为cm， ∴展开的扇形的弧长为，以母线为半径的圆的周长为， ∴侧面展开图扇形的圆心角=， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的性质，解题的关键是熟练掌握圆锥的相关知识． 16． 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 17． 【分析】根据扇形的计算公式：，和弧长公式：进行计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形的面积为，圆心角的度数为， ∴， 解得：， ∴弧长为：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查扇形的面积和弧长．熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，，则，再根据垂径定理得，，则是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得出结论； （2）连接，，，根据三角形外角的性质以及得，由三角形的内角和定理得，则，可得是等边三角形，可得，，，利用勾股定理求出的长，根据即可得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：是的直径，是的弦，， ，， ， ，是的弦， ， ， 是的中位线， ， ； （2）如图，连接，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，扇形的面积计算、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解此题的关键． 19． 【分析】本题考查了扇形的面积公式，理解圆锥的侧面积等于扇形的面积是解题的关键． 利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为：． 答：所需油毡的面积至少是． 20．(1)见解析 (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接，由，可得，从而求得，可证得直线为的切线； （2）先求和扇形的面积，进而可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴直线为的切线； （2）解：由（1）可知， 在中，∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直，学会用分割法求阴影部分面积是解题的关键． 21． 【详解】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是，则， ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵C是中点， ∴， ∴度． ∵在圆锥侧面展开图中， ∴在圆锥侧面展开图中． 最短距离是． 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）利用直径所对的圆周角等于，得到，再利用即可证明； （2）利用，得到，进一步得到，再根据即可证明三角形全等； （3）连接，由全等三角形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，再推出，即可求出，，再根据阴影部分面积等于扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：∵，为的直径， ∴， ∴， 在和中， ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，    ∴扇形的面积是：，的面积是：， ∴阴影部分的面积是：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，全等三角形的判定及性质，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，圆周角定理等等，解题的关键是熟练掌握以上相关知识． 23．(1) (2) 【分析】（1）连结BC，根据∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根据，即可求解； （2）设圆锥底面半径为r，则的长为2πr，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连结BC， ∵∠A＝90°， ∴BC为⊙O的直径．即， 在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2， ∴AB＝AC＝1， ∴＝； （2）解：设圆锥底面半径为r，则的长为2πr， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，圆锥的底面半径，勾股定理，熟练掌握扇形面积公式，勾股定理是解题的关键． 24．(1)150° (2)5 【分析】对于（1），作一个圆周角，再求出这个角，然后根据圆周角定理求出答案即可； 对于（2），先根据弧长公式求出弧长，再根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式，求出半径即可． 【详解】（1）根据题意作图如下： 作出所对的圆周角， ∵，， ∴， ∴； （2）设该圆锥的底面半径为r， 根据题意得， 解得， ∴该圆锥的底面半径为5． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式等，掌握扇形弧长与对应的圆锥的底面周长之间的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$