2.2圆的对称性典例精讲与跟踪训练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.2圆的对称性典例精讲与跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 典例精讲 精讲一：利用垂径定理求值 如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 精讲二：垂径定理的实际应用 一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）如图，设半径为，连接，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）过作，交于点，连接，由题得，，，在中根据勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：设半径为，连接， ，为半径， ， ， ， 在中：， 解得：， 答：拱桥的半径为． （2）解：过作，交于点，连接， 由题得，， ， 在中：， ， 答：不能顺利通过这座拱桥． 精讲三：利用弧、弦、圆心角关系求解 求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 已知：如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点， 求证：，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理．连接、，因为是直径，且平分，根据垂径定理可知，根据垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，即可证明结论成立． 【详解】证明：如图所示，连接、， ， 平分， ， ， 是的直径， ，． 精讲四：利用弧、弦、圆心角关系求证 如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 跟踪训练 一、单选题 1．已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 3．我们可用丁字尺来确定圆心位置，如图，点C是的中点，测量数据得，，则圆的半径长为（    ）． A． B． C． D． 4．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 5．如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点是这段弧的圆心，是弧上一点，，垂足为．若这段弯路的半径是，，则两点的直线距离是（　　） A． B． C． D． 7．如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，D，E分别是弦AB，AC的中点，且．若，，则的半径OA的长为（   ） A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm 二、填空题 9．如图，为的弦，，，半径于点，则的长为 ． 10．如图，在中，弦的长为8，于点，且．弦于点，如果，则的长为 11．如图，的直径与弦交于点M，添加一个条件： （写出 一 个即可），就可得到M是的中点 ． 12．如图，是的直径，弦于点，若，则的长为 ． 13．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 14．如图，是的外接圆，，，，垂足分为，，，连接，，．若，的周长为20，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． (1)求证：． (2)若，的半径为1，求弦的长． 16．如图，在⊙O中，直径垂直于弦于点H． (1)联结，求证：； (2)若四边形是菱形，求的值． 17．如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的长等于的半径，，求的度数． 18．如图，已知扇形． (1)请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 19．有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.2圆的对称性典例精讲与跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B D D C C 1．C 【分析】本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答． 【详解】解：取中点为E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理，利用垂径定理的推论得到圆心在上，设圆心为O点，连接，如图，设圆的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：，点C是的中点， 即垂直平分，， 圆心在上， 设圆心为O点，连接，如图， 设圆的半径为，则，， 在中，， 解得， 即圆的半径为． 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点B是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点B是的中点， ， ， 点是点B关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，利用勾股定理求出，再根据垂径定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵弯路的半径是， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由可得，即得，再根据邻补角的性质即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 8．C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定定理与性质． 根据垂径定理求得的长，并且在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵弦于点D，于点E， ∴四边形是矩形，cm，cm cm， cm； 故选：C． 9．2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段． 根据垂径定理，先利用勾股定理求出，再求出的长． 【详解】解：∵为的弦，，半径于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2． 10． 【分析】该题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，连接，过点作，结合弦，证出四边形是矩形，得出，垂径定理得出，勾股定理求出，得出，勾股定理求出，垂径定理得出． 【详解】解：连接，过点作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的长为8，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了学生对垂径定理的理解，答案不唯一，只要有理即可，本题主要根据逆向思维求解． 根据垂径定理可知：可添加或平分，答案不唯一． 【详解】解：∵M是弦的中点，是直径， ∴由垂径定理可知，， 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理．连接，根据题意再结合垂径定理得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 14．4 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、垂径定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 由垂径定理可得，根据三角形的中位线定理得到，进而完成解答． 【详解】解：∵，是的外接圆， ， ∴是的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 16．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到垂直平分，即可证明结论成立； （2）根据菱形的性质得到，勾股定理证明，即可得到结论． 【详解】（1）解；如图， ∵直径垂直于弦于点H． ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 17．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等； （1）由垂径定理得，由线段垂直平分线的判定及性质，即可得证； （2）连接，由圆的定义得，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，，即可求解； 掌握垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是直径，， ， 是的垂直平分线， ； （2）解：如图，连接， ， 的长等于的半径， ， ， ， ， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握作角平分线的方法． （1）作的角平分线交于，则，即知，即为符合条件的点． （2）过点作于点，证明是等边三角形，根据勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于， 即：作的角平分线交于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即：该点即为所求． （2）解：如图，过点作于点， ∵ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， 又∵， ∴ ∴ ∴的面积为 19．8.9m 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 连接，设拱桥所在圆的半径，则，由垂径定理可得，在，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由题意知：，，设拱桥所在圆的半径，则． 是半径，且 在中， ， 解得：， 答：此桥拱所在圆的半径为8.9m． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $