27.2.3 相似三角形应用举例-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

27.2.3相似三角形应用举例 要点提示 1.有关相似三角形的应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过 求解数学问题达到解决实际问题的目的。 2.本节知识应用主要包括：利用相修三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度：利用相似三角形的性质计算 不能直接测量的物体的高度 。。。。。。。。 O1固基础 知识点2测量距离或宽度 4.如图所示的是某家用晾衣架的侧面示意图.已 知识点1测量物体的高 知AB∥PQ,根据图中数据，P,Q两点间的距 1.“今有井，径五尺，不知其深.立五 离是 () 尺木于井上，从木末望水岸，入径 A.0.6mB.0.8mC.0.9mD.1m 四寸.问井深几何.”这是我国古代 数学专著《九章算术》中的“井深几 5尺 D 何”问题，其题意可由图获得(1尺 第1题图 =10寸)，则井深为 0.75 水平线 水平线 A.1.25尺 B.57.5尺 图① 图② C.6.25尺 D.56.5尺 第4题图 第5题图 2.古代数学文化《周髀算经》 5.(2025鹰潭余江区期末)图①是装了液体的 中记载了“偃矩以望高”的 高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体 ( 方法，“矩”在古代指两条边 后如图②所示，此时液面AB= 第2题图 A.1 cm B.2 cm C.3 cm 呈直角的曲尺（图中的 D.4 cm ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立 ●易错点利用平面镜测物高时找错反射角 放，可测量物体的高度.如图，点A,B,Q在同 6.(教材变式)如图，小明为了测量一凉亭的 一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP 高度AB(顶端A到水平地面BD的距 与BC相交于点D.现测得AB=40cm,BD 离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶 =20cm,AQ=12m,则树高PQ为( ) BC等高的平台MNDE(DE=MN=BC A.24 cm B.24 m C.6 cm D.6m =0.5m,A,B,C三点共线).把一面镜子 3.如图①，一个长和宽均为3、高为8的长方体 水平放置在平台上的点G处，测得CG= 容器放置在水平桌面上，容器里面盛有水， 15m,然后沿直线CG后退到点E处，这时 水面高为6.现将图①中的容器向右倾倒，按 恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得 图②放置，发现此时水面恰好接触到容器口 EG=3m.若小明身高1.6m,则凉亭的高 边缘，则图②中水面高度为 度AB约为 m 器口边缘 水面高度 图② 第6题图 第3题图 8 数学九年级RJ版 02提能力 …念O3拓思维 7.跨物理学科凸透 缩小的 9.应用意识如下图，为了估算河面的宽度，即 实像 镜成像的原理如图， 物体焦点下 焦KJGi EP的长，在离河岸点D2m远的点B处立 AD∥LBC.若物体 B 一根长为1m的标杆AB.在河对岸的岸边 到焦点的距离HF 第7题图 有一块高为2.5m的安全警示牌MF,警示 与焦点到凸透镜中心线DB的距离OF1之比 牌的顶端M在河里的倒影为点N,即PM 为5：4，则物体被缩小到原来的 () =PN,两岸均高出水平面1.25m,即DE= A. B号 c FP=1.25m.经测量，此时A,D,V三点在 同一直线上，并且点M,F,P,N共线，点 8.(2025上饶期未)如下图，在综合实践活动 B,D,F共线.若AB,DE,MF均垂直于河 中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物 面EP,求河宽EP AB和CD的高度，CD=2AB,于是这个小 组设计出一种测量方案，步骤如下： 第一步：把直角尺的顶点E放在两栋建筑物 之间的地面上，调整位置使直角尺的两边 EM,EN所在直线分别经过建筑物外立面 的顶部A和C. 第二步：用皮尺度量BE和DE的长， 第三步：通过计算得到建筑物的高度 已知示意图中点A,B,C,D,E,M,N均在 同一平面内，AB⊥BD,CD⊥BD.若测得 BE=12m,DE=96m,请求出建筑物CD 的高度 下册第二十七章 29.DE-FG 瓷=即=。得a=宁经检验a= 上的高分别为h,和h 了是原分式方程的解， AB/PQ△ABOn△QPO,A5=会 QP 94=1.25-0.75=2 48 FH=4-3=3 0.75 3QP=0.6m.故P,Q两点 间的距离是0.6m. :阴影部分的面积为 -×4× 816 5.C【解析】如图①，过点O作OM⊥CD,垂足为M:如 33 图②，过点O'作ON⊥AB,垂足为N. 14.解：(1)如图，连接OE ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD. E为AB边的中点， ∴.OE是△ABD的中位线 ∴.OE∥AD且AD=2OE, 水平战 图① .△OEF∽△ADF, 由题意可知，△CDOc∽△ABO, 限-膘-器 .CD OM OF=2,∴.AF=4, ABON ∴.OA=OF+AF=6 :OM=15-7=8(cm),0N=11-7=4(cm), ∴.AC=20A=12. 六-是AB=3m (2)由(1)知OF：AF=EF：DF=1：2, 故此时液面AB=3cm. SADOF SAADF=OF AF=1:2, 6.8.5【解析】由题意可知，∠AGC=∠FGE. S△eF:S△DR=EF:DF=1:2, :∠ACG=∠FEG=90°， 1 六Sa0n=San=2Saor=2, ∴.△ACG∽△FEG, SANOD =SAADF+SADOR=4+2=6. -瓷S-AC=8m :在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O, ∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5(m). ∴.S△Am=S△Ae=2S△0D=12,.S网w5BrP=S△ABc 7.A【解析】：BC,CG⊥1，BOL1, -S△4m=12-2=10. ,.四边形OBCG为矩形，，OB=CG 15.解：(1)Rt△AEPOORt△DPC, ∴.∠AEP=∠CPD=30 AH⊥HO,BO⊥HO,∴AH∥BO. :四边形ABCD为矩形.∴.CD=AB=2√5，∠D= △AH,O△0E小0-8票=号 ∠A=90°， .PC=2CD=45 把-物体被笔小到原来的子 ..PD=PC-CD=6. 8.解：AB⊥BD,CD⊥BD :.AP=AD-PD=4. ∴.∠BEA+∠BAE=90°，∠B=∠D=90. 在R△AEP中，∠AEP=30°，∴.PE=2AP=8, :∠MEN=90, ∴AE=√PE-AP=45. ∴.∠BEA+∠DEC=90. (2)存在. ·∠BAE=∠DEC, 假设存在这样的点P ∴.△ABEn△EDC, Rt△DPCoR△AEP, .BEAB ∴DC=ED 贵器2 .CD=2AB..AB=x.CD=2x. CD=AB=23, 提品 ∴.AP=√3，.DP=10-3 解得x=24(负值已舍去).经检验，x=24是原分式方 ∴存在这样的点P,使△DPC的周长等于△AEP周 程的解，且符合题意， 长的2倍，此时DP的长为10-√3. ∴.CD=48m 27.2.3相似三角形应用举例 答：建筑物CD的高度为48m, 1.B2Da号 9.解：如图，设AN交EP于点O,延长AB交EP的反向 延长线于点H,则四边形BDEH是矩形，∴BH=DE 4.A【解析】设△ABO边AB上的高和△QPO边PQ =1.25m,HE=BD=2m, 下册参考答案 ∴.AH=AB+BH=1+1.25 【解析】由题意可知，△ABC与△DEF是位似图 =2.25(m). 10.2 BD//OH. 形，点O为位似中心，且AD=OA, .△ABDc∽△AHO, BD_AB 瑞- HO AH 2 1 号=即6=4a ∴0m-2.25 小将6+- 4a+31 ∴.H0=4.5m,则OE=OH-HE=4.5-2=2.5(m. MF=2.5m,FP=1.25m 11.解：，四边形ABCD是正方形，∴.∠AOD=∠BCD ∴.PN=PM=MF+FP=3.75m =90°，∠ADO=∠BDC=∠EDF=45°.EF∥BC, AH⊥EP,PN⊥EP, ∴∠EFD=∠BCD=90°.：△DEF与△DAO的相 .AH∥PN,∴.△AHO∽△NPO. -票-品 似比为分÷B5=子设DF=m,则A0=D0= 2m,∴.AD=√JAO+OD=2√2m,∴DC=2√/2m. ∴.P0=7.5m, EF∥BC,以点D为位似中心，△DEF与△DBC ∴.EP=P0+OE=7.5+2.5=10(m. 故河宽EP是10m. 位似，即△DEFO△DBC,:相似比为二=2E常 27.3位似 第1课时位似图形的概念及画法 4 1.B2.D3.B4.12 12.解：(1)AC∥A'C.理由如下： 5.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求. :△ABC与△AB'C'是位似图形， (2)如图，△A:B:C:即为所求， .△ABCc∽△A'B'C'. ∠A=∠CAB', ∴.AC∥A'C' (2):△ABC与△A'B'C是位似图形，点O为位似 中心，AB=2A'B', CO AB 2A'B' CO AB AB =2. 0C'=5,∴.OC=10, ∴.CC'=0C-0C'=10-5=5. 6.解：(1)：△ABC与△A'B'C是位似图形，OB:OB'= 第2课时位似图形的坐标变化规律 3:6=1:2,AC=5,∴.△ABC与△A'B'C‘的相似比为 1.C2.C3.44.4 1 51 5.18【解析】：△ABC与△A'B'C是以坐标原点O为 位似中心的位似图形，且点A,B,C,B的坐标分别为 ∴.A'C=10. 山)限聚题意，用兰 ()广= 7 A2,2).B(3,4).C61D.B'(6,8)相似比为2 ∴点A,C的坐标分别为A'(4,4).C(12,2), 1 年Sae=7X4=28. △ABC'的面积为6X8-2×2X4-7×6X6- 7.B8.B 9.4√厄x【解析】如图，连接BD 号x2X8=18 由题意可知，正方形ABCD∽正方 6.(6-2a,-2b)【解析】如图，过点C作CM⊥AB于 形A'B'C'D',相似比为2 点M,过点C'作CN⊥AB'于点N,则∠ANC'= ∠AMC=90° :正方形ABCD的面积为4， .正方形A'B'C'D'的面积为16， .A'B=A'D'=4. ∠B'A'D'=90°， .B'D'=4E, ,△ABC与△AB'C的相似比为1：2 ∴.正方形A'B'CD'的外接圆的周长=4√反元 AC 1 数学九年级RJ版