27.2.1 第4课时相似三角形的判定定理3-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

第4课时 相似三角形的判定定理3 要点提示 1.相似三角形的判定定理3：如采一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似，即西角分别相等的两个三角形相仍 2.直角三角形相似的判定：如采两个直角三角形满足一个锐角相等或斜边和一条直角边成比例，那么这两个直 角三角形相似。 O1固基础 知识点2直角三角形相似的判定 5.如图，在△ABC与△ADE中，C 知识点1两角分别相等的两个三角形相似 ∠C=∠AED=90°，点E在AB 1.(教材变式)下列各选项中的两个图形，不一 上.添加下列一个条件后，仍然不 定相似的是 ( 能判定△ABC与△ADE相似的 A.底角相等的两个等腰三角形 B 是 ( )第5题图 B.两个等边三角形 A.∠CAB=∠D B.AD∥BC C.两个等腰直角三角形 AB AD C.AC-D正 BC AD D.有一个角是40的两个等腰三角形 D.AC-AE 2.如图，已知△ABC和△ABD都是⊙O的内 6.如下图，在正方形ABCD中，E为边AD的 接三角形，AC和BD相交于点E,则与 中点，点F在边CD上，且∠BEF=90°，延 △ADE相似的三角形是 ( ) 长EF交BC的延长线于点G, A.△BCE B.△ABC (1)求证：△ABE∽△EGB. C.△ABD D.△ABE (2)若AB=4,求CG的长 65u7 70° 45° 第2题图 第3题图 3.如图所示的两个三角形 相似三 角形（填“是”或“不是”） 4.(2025吉安月考)如下图，在R1△ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别是 BC,AC上的点，且∠3=45°.求证：△ABD n△DCE. 数学九年级RJ版 ◆02提能力 … (2)若⊙O的半径r=6,AD=9,AC=12, 求EF的长 7.如图，在三边都不相等的△ABC的边AB上 有一点D,过点D画一条直线，与三角形的 另一边相交所截得的三角形与△ABC相 似.这样的直线最多可以画 ( A.5条B.4条C.3条 D.2条 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，AE交BC于点D,∠C =∠E.若AD=8,BC=16,BD:DC=5: 3,则DE的长为 ) A R号 c号 9.如图，在矩形ABCD中， ……03拓思维念 AB=6cm,BC=9cm,点E 11.如下图，在边长为1的正方形ABCD中， G E,F分别在边AB,BC 点E在边AD上（不与点A,D重合），射线 上，AE=2cm,BD,EF交 BE与CD的延长线交于点F. 第9题图 于点G.若G是EF的中点，则BG的长为 若ED-子求DF的长 cm. (2)求证：AE·CF=1. 10.如下图，直线1与⊙O相切于点A,AB是 (3)以点B为圆心，C长为半径画弧，交线 ⊙O的直径，点C,D在直线1上，且位于 段BE于点G.若EG=ED,求ED的长. 点A两侧.连接BC,BD,分别与⊙O交于 点E,F,连接EF,AF (1)求证：∠BAF=∠CDB. 下册第二十七章 2512.解：(1)25 由(1)知，△ABE∽△EGB, (2)∠B=90°， ∴∠BAC+∠BCA=90°. 品-器唧温 2√5GB :四边形ACEF为正方形， ∴.BG=10, ∴.∠ACE=90°， ∴.CG=BG-BC=10-4=6. ∴∠BCA+∠ECD=90°， 7.B【解析】若该直线与AC相交，如图. .∠BAC=∠ECD. ①过点D作DE∥BC,交AC于点E, 提品-5 则∠AED=∠C :∠A=∠A,△ADE∽△ABC: .△ABCn△CED, ②@过点D作直线DF交AC于点F,使B %-%-5E=6 得∠ADF=∠C. '∠A=∠A.∴△AFDO△ABC. 13.证明：(1)∠ACB=90°，AC=BC. 同理，若该直线与BC相交，也可作2条直线使截得的 .∠B=∠BAC=45. 三角形与△ABC相似， ,线段CD绕点C顺时针旋转90至CE的位置， 综上所述，最多可以画4条直线. .∠DCE=90°，CD=CE, 8.B【解析】：∠E=∠C,且∠BDE=∠ADC, ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD. ∴△BDE∽△ADC, 即∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中， 腮腮 (BC=AC. .'BC=16,BD:DC=5:3 ∠BCD=∠ACE, ∴.BD=10,DC=6, CD=CE. 号-P解得DE=号 .△BCD2△ACE(SAS),∴.∠B=∠CAE=45°， ∠BAE=45°+45°=90°， 9.√3【解析】，四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB= AB⊥AE. 6cm,∠ABC=∠C=90°，AB∥CD,.∠ABD= (2)BC=AD·AB,BC=AC, ∠BDC.:AE=2cm,∴.BE=AB-AE=6-2=4 :AC=AD·AB,则AC=AB AD AC (m).:G是EF的中点，EG=BG=合EF, 又：∠DAC=∠CAB, ∴∠BEG=∠ABD,∴.∠BEG=∠CDB,∴.△EBF∽ ∴△DAC∽△CAB, △CB小票-器音-琴=5mF ∴.∠CDA=∠BCA=90. 由(1)知∠DAE=90°，∠DCE=90°， =BE+BF=√+6=2√3(cm),∴.BG= ∴.四边形ADCE为矩形 2EF=13 em. 1 又CD=CE, 10.解：(1)证明：：直线1与⊙O相切于点A,AB是⊙O 四边形ADCE是正方形. 的直径.∴.AB⊥CD,.∠BAC=∠BAD=90°.AB 第4课时相似三角形的判定定理3 是⊙O的直径，.∠AFB=90°.：∠BAF+∠ABD 1.D2.A3.是 =90°，∠CDB+∠ABD=90°，∴∠BAF=∠CDB. 4.证明：∠BAC=90°，AB=AC, (2)在Rt△ABD中，AB=2r=12,AD=9,BD ∴.∠B=∠C=45. =√AD+AB=√+12=15.在Rt△ABC中， :∠ADC=∠B+∠1=∠3+∠2，∠3=∠B=45, .∠1=∠2， AB 12.AC 12...BC ACTFAB ∴.△ABDc∽△DCE. 12+12=12√2. 5.D :∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠DAB=90°， 6.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形，且∠BEG=90°， ∴.△BAF△BDA,∴.BF:BA=BA:BD,即BF ∴.∠A=∠BEG. 412=1215,解得BF=号 ·∠ABE+∠EBG=90°，∠G+∠EBG=90° :∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,∴∠BEF= ∴∠ABE=∠G, ∴.△ABEC∽△EGB. ∠BDC.'∠EBF=∠DBC,.△BEF∽△BDC. (2):AB=AD=4,E为AD的中点， ∴ERDC=BF:BC.即EF1(2+9y=号 ∴.AE=DE=2. 在R:△ABE中，BE=√AE+AB=√2+=25. 12E.解得EF=经平E那的长为2区 5 5 下册参考答案 11.解：(1)在正方形ABCD中，ABFC,AB=AD=1, AC CD :△ABE0n△DFE.AE=1-ED=号÷0-能 AB AE 当带 时：周0，△ACD△CBA-号 3 =3DF= ic0= 当后-误时如图@，△ACDc△ABc号 5 CD (2)证明：在正方形ABCD中，AD∥BC,AB=BC 4 =1, CD=20 ∴∠AEB=∠CBF. 又·∠A=∠C. 综上所述，CD的长为或3 15.20 ∴△ABE∽△CFB. 带-得 AE·CF=AB·CB=1. (3)设EC=ED=x,则AE=1-x,BE=1+x. 图① ② 在Rt△ABE中，AE+AB=BE2,即(1-x)+1 10.B【解析】在口ABCD中，S△Ae=S△e =(1+x). :EF∥BC,∴.△AEF∽△ABC, 解得=子 浩怨 ∴ED的长为行 3E=2B8指-能=号 27.2.2相似三角形的性质 1.B2.C3.A4.A5.D S△AE 6.48【解析】62+8=102，∴△ABC是直角三角形， S△Aer=4,.Sam=S△e=25, 1 S6c=2X6X8=24. 六Saur=5X25=10, :△ABC∽△DEF, 11.B【解析】如图，连接DE.:D,E 分别为AC,BC的中点，.DE是 :两个三角形的叙比为√震-子 △ABC的中位线，DE=2AB 1 :△ABC的周长为6+8+10=24，∴.△DEF的周长 为2×24=48. =3cm,DE∥AB,∴.△DEF L【解析】SADe:SsbE=2:3,一SaDe: △BAF,S =(}=票-- EF 1 21 S△e=2:5.:∠ADE=∠C,∠A=∠A,△ADE S-AF-Z.SAM-3Sum= 3 ∽△ACB..( 1 5 2X6X 2X8-8(cm'):Soor CD AB 1 8.解：1)由题意，得2D-A官=云 子Saw=2(em).:Sam=2DE·CE=2X3X4 .CD=4 cm, ∴.C'D'=4X2=8(cm). =6cm).DG:GC=1:2.Sam=子Sam=号 (2)由题意，得Cac 1 X6=2(cm),SRDFRG=SADER+SADEG=2+2=4 (cm2). :△ABC的周长为20cm, 12.1:4 .Cac=20X2=40(cm), 即△A'B'C的周长为40cm. 18号【解析】如图所示，根据题意 8)油题意，得之二=片 可知，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA=4,BD是 :△A'B'C'的面积为64cm2, 对角线，与CE交于点F,过点F ∴S△wc=64÷4=16(cm). 作FG⊥AD于点G,交BC于点 即△ABC的面积为16cm2. H.则FH⊥BC. 设FG=a,则FH=4一a 【解析】：∠ABC=90°，AC=5,BC=4, DE∥BC, ∴AB=AC-BC=5-=3. .△DEF∽△BCF, 数学九年级RJ版