27.2.1 第3课时相似三角形的判定定理2-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

设正方形ABCD、正方形CDEF,正方形EFGH的边 长为a,则△ACF的三边长分别为AC=√2a,CF= =AB瓷-腮-- a,AF=√5a,△ACG的三边长分别为AC=√2a,CG 器-是“∠G=∠G∴△GFAAGE.- =2a,AG=0a, FG3 装后-9瓷会-号品晨号 E元=子又：AE=4BF=3, -瓷-品 G △ACF∽△GCA. 题多解法 (2):△ACF∽△GCA,.∠CAF=∠1， 如图，连接BD交AC于点D ∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45 O.:四边形ABCD是平行 第3课时相似三角形的判定定理2 四边形，.OD=OB.:EF= 1.B2.B DE,:.OE是△BFD的中位线，OE∥BF, OE 3.∠A=∠D(答案不唯一)4.26 5.证明：：D是AB的中点，AB=6,AE=2,AC=9. AC-1 2 .AD=3, 2•. BF 2BF=3. 0号-分指--好 把-福 10.3或号 【解析】，四边形ABCD是正方形，∴∠ABC =90°，AB=BC=5.又：∠PBF=90°，∴.∠ABP= ∠A=∠A ∠CBF=90°-∠CBP.若以点B,M,C为顶点的三 ∴.△ADEc∽△ACB. 角形与△ABP相似， 6解.aFAC是-票 则有两片桥况，①如图①，当品-需时，△ABP☑ :AE=AD,CF=AC,心D示-CA AB CB △MBC,即B=子解得BM=。 5 又∠B=∠DAC,∴△ABC∽△DAC. ∠D=115, .∠BAC=∠D=115. AC CB 2)'△ABCn△DACC=Ci AC=BC.CD=8X号=6.：AC>0AC=6. 图① 图2 7或名【解折1：∠A=∠A当把-时 AB PB, 5 ②如图@.当CB=MB时·△ABP∽△CBM,即号= △AEDO△ABC,AE=28= 3 ·解得BM=3. ∠A=∠A当号=长时，△ADEo△AC, 综上所述，满足条件的BM的长为3或孕 ·AE=2X63 8=2 1.5康号 【解析】：AB是⊙O的直径，∴.∠ACB 3 =90° 综上所述，A正的长为宁或 在Rt△ABC中，AC=4,BC=3, 8.B ∴.AB=/+3=5. 9.B【解析】如图，延长DF,AB相交于点G.:四边形 IAB,∴.∠ACP=∠CAB. ABCD是平行四边形，.DC∥AB,即DC∥AG, 要使以P,A,C为顶点的三角形与△ABC相似， a0 AGEA.是-8器-器：AC=. 则货瓷新-器 .DE DC CE 1 =1AE=4器-%-是-又BF=DB. 4 PC DC ∴PC的长为5或号 数学九年级RJ版 12.解：(1)25 由(1)知，△ABE∽△EGB, (2)∠B=90°， ∴∠BAC+∠BCA=90°. 品-器唧温 2√5GB :四边形ACEF为正方形， ∴.BG=10, ∴.∠ACE=90°， ∴.CG=BG-BC=10-4=6. ∴∠BCA+∠ECD=90°， 7.B【解析】若该直线与AC相交，如图. .∠BAC=∠ECD. ①过点D作DE∥BC,交AC于点E, 提品-5 则∠AED=∠C :∠A=∠A,△ADE∽△ABC: .△ABCn△CED, ②@过点D作直线DF交AC于点F,使B %-%-5E=6 得∠ADF=∠C. '∠A=∠A.∴△AFDO△ABC. 13.证明：(1)∠ACB=90°，AC=BC. 同理，若该直线与BC相交，也可作2条直线使截得的 .∠B=∠BAC=45. 三角形与△ABC相似， ,线段CD绕点C顺时针旋转90至CE的位置， 综上所述，最多可以画4条直线. .∠DCE=90°，CD=CE, 8.B【解析】：∠E=∠C,且∠BDE=∠ADC, ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD. ∴△BDE∽△ADC, 即∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中， 腮腮 (BC=AC. .'BC=16,BD:DC=5:3 ∠BCD=∠ACE, ∴.BD=10,DC=6, CD=CE. 号-P解得DE=号 .△BCD2△ACE(SAS),∴.∠B=∠CAE=45°， ∠BAE=45°+45°=90°， 9.√3【解析】，四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB= AB⊥AE. 6cm,∠ABC=∠C=90°，AB∥CD,.∠ABD= (2)BC=AD·AB,BC=AC, ∠BDC.:AE=2cm,∴.BE=AB-AE=6-2=4 :AC=AD·AB,则AC=AB AD AC (m).:G是EF的中点，EG=BG=合EF, 又：∠DAC=∠CAB, ∴∠BEG=∠ABD,∴.∠BEG=∠CDB,∴.△EBF∽ ∴△DAC∽△CAB, △CB小票-器音-琴=5mF ∴.∠CDA=∠BCA=90. 由(1)知∠DAE=90°，∠DCE=90°， =BE+BF=√+6=2√3(cm),∴.BG= ∴.四边形ADCE为矩形 2EF=13 em. 1 又CD=CE, 10.解：(1)证明：：直线1与⊙O相切于点A,AB是⊙O 四边形ADCE是正方形. 的直径.∴.AB⊥CD,.∠BAC=∠BAD=90°.AB 第4课时相似三角形的判定定理3 是⊙O的直径，.∠AFB=90°.：∠BAF+∠ABD 1.D2.A3.是 =90°，∠CDB+∠ABD=90°，∴∠BAF=∠CDB. 4.证明：∠BAC=90°，AB=AC, (2)在Rt△ABD中，AB=2r=12,AD=9,BD ∴.∠B=∠C=45. =√AD+AB=√+12=15.在Rt△ABC中， :∠ADC=∠B+∠1=∠3+∠2，∠3=∠B=45, .∠1=∠2， AB 12.AC 12...BC ACTFAB ∴.△ABDc∽△DCE. 12+12=12√2. 5.D :∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠DAB=90°， 6.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形，且∠BEG=90°， ∴.△BAF△BDA,∴.BF:BA=BA:BD,即BF ∴.∠A=∠BEG. 412=1215,解得BF=号 ·∠ABE+∠EBG=90°，∠G+∠EBG=90° :∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,∴∠BEF= ∴∠ABE=∠G, ∴.△ABEC∽△EGB. ∠BDC.'∠EBF=∠DBC,.△BEF∽△BDC. (2):AB=AD=4,E为AD的中点， ∴ERDC=BF:BC.即EF1(2+9y=号 ∴.AE=DE=2. 在R:△ABE中，BE=√AE+AB=√2+=25. 12E.解得EF=经平E那的长为2区 5 5 下册参考答案第3课时 相似三角形的判定定理2 要点提示 相似三角形的判定定理2：西边戒比例且夹角相等的两个三角形相似. O1固基础 D是AB的中点，AB=6,AE=2,AC=9 求证：△ADE∽△ACB. 知识点两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似 1.(2025宜春宜丰月考)如图，已知△ABC,则 下列4个三角形中，与△ABC相似的是 6.如下图，已知在△ABC和△DAC中，∠B= A ∠DAC,∠D=115°，点E,F分别为AB和 BC上的点，且EF∥AC,AE=AD,CF w0③ =AC. K750 (1)求∠BAC的度数 第1题图 第2题图 2.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交 (2)若BC=8,CD-号求AC的值， 于点O,并将这个四边形分成①②③④四个 三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结 论一定正确的是 ( A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似 3.在△ABC和△DEF中，AB=AC=1,DE= DF=3.要使△APC∽△DEF,还需添加的一 个条件是 4.如图，BD平分∠ABC,AB=4,BC=6,则 当BD= 时，△ABD 卜易错点考虑问题不全而致错 n△DBC. 7.如图，在△ABC中，AB= 8,AC=6,点D在AC上， D 且AD=2.若要在AB上 B 找一点E,使△ADE与 第7题图 第4题图 △ABC相似，则AE的长为 5.(2025上饶广信区期末)如下图，在△ABC 中，D,E分别在边AB,AC上，连接DE.若 数学九年级RJ版 ◆02提能力 (1)正方形ACEF的边长为 8.在三角形纸片ABC中，AB=9,AC=6,BC (2)求DE的长. =12,沿虚线剪下的阴影部分的三角形与 △ABC相似的是 ( B D 9.一题多解法如图，点E为口ABCD的对角 ……O3拓思维◆… 线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并 13.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= 延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则 BC,点D在边AB上，连接CD,将线段 BF为 CD绕点C顺时针旋转90°至CE的位置， A号 B.3 C.2 D.4 连接AE, (1)求证：AB⊥AE. (2)若BC2=AD·AB,求证：四边形 ADCE是正方形. 第9题图 第10题图 10.如图，已知P是边长为5的正方形ABCD 内一点，且PB=3,BF⊥BP于点B.若在 射线BF上找一点M,使以点B,M,C为 顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长 为 11.如图，AB是⊙O的直径，点 C在圆上，直线1经过点C, 且L∥AB,P为直线L上的一 个动点，AC=4,BC=3.要 第11题图 使以P,A,C为顶点的三角形与△ABC相 似，则PC的长为 12.如下图，四边形ACEF为正方形，以AC为斜 边作R△ABC,∠B=90°，AB=4,BC=2, 延长BC至点D,使CD=5,连接DE. 下册第二十七章