27.2.1 第2课时相似三角形的判定定理-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

第2课时 相似三角形的判定定理1 要点提示 相似三角形的判定定理1：三边戒比例的两个三角形相似， O1固基础念 7.如下图，某地四个乡镇之间建有公路.已知 AB=14 km,AD=28 km,BD=21 km,BC 知识点三边成比例的两个三角形相似 =42km,DC=31.5km.公路AB与DC平 1.(教材变式)△APC的三边长分别为1，√2， 行吗？请说明理由。 √5，△DEF的三边长分别为5,5，√0，则 △ABC和△DEF ( ) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 2.如图，D,E,F分别是BC,AC, AB的中点，则△DEF与 △ABC的关系是 D A.相似 B.不相似 第2题图 C.全等 D.无法确定 8.(2025新余渝水区月考)如下图，在平面直角 3.如图，网格中相似的两个三角形是( 坐标系中，已知A(3,0),B(0,4),C(4,2). 作CD⊥x轴，垂足为D,连接AB,BC,AC, 2 3 求证：△ABC∽△ACD. 第3题图 A.①与② B.①与③ C.③与④ D.②与③ 4如图，已知治-能=怨 0 A D DE-AE ∠BAD=20°，∠DAE=60°，则 ∠DAC的度数为 B 第4题图 5.已知△ABC的三边之比为AB:BC:CA= 2:3:4.在△AB'C中，AB=1,A'C=2.当 B'C= 时，△ABC∽△A'B'C 6.如图所示，要使△ABC∽△A'B'C,则x的长 为 25 第6题图 数学九年级RJ版 之02提能力]之 (2)如果点O在△ABC的外部（如图②）， 仿照图①画出图形，探讨(1)中的结论是否 9.如图，A,B,C,D,E,G,H,M,N都是由小 仍然成立.如果成立，请给出证明过程：如 正方形组成的网格中的格点（小正方形的顶 果不成立，请说明理由。 点).若要使△DEF与△ABC相似，则点F 应为点G,H,M,N中的 第9题图 A.H或V B.G或H 。 O3拓思维)心 C.M或N D.G或M 13.推理能力如下图，四边形ABCD,CDEF, 10.△ABC的三条边长分别为√瓦，√6,2， EFGH都是边长相等的正方形 △A'B'C的两条边长分别为1，√5，要使 D △ABC∽△A'B'C',那么△A'B'C'的第三 条边长为 11.一个铝质三角形框架三条边长分别为 (1)△ACF与△GCA相似吗？请说明 24cm,30cm,36cm,要做一个与它相似的 理由 铝质三角形框架.现有长为27cm,45cm (2)求∠1十∠2的度数. 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从 另一根上截下两段（允许有余料）作为另外 两边.截法有 种 12.如图①，△ABC内有一点O,D,E,F分别 是OA,OB,OC的中点. 0 图① 图② (1)求证：△DEF∽△ABC 下册第二十七章 21DF AD 2a,AD∥BC,△ADFn△EBF,一BF=EB .△ABCn△ACD. 9.C【解析】设小正方形的边长为1，则在△ABC中， :AD=2a,BE=3a,BD=15,∴15=DF=3a=3 AB=√I3,BC=3,AC=/Io.:△DEF与△ABC 相似，两三角形的边长对应成比例. ∴.DF=6. 11.解：(1)证明：：在口ABCD中，对角线AC和BD相 当点F为点G时，DG=√2+5=√2四，DE=6,EG 交于点O,AC=8,BD=6, =√+5=，而3：0：≠√2丽：6： √红，故点G不符合题意：同理可得，点H也不符合 ∴A0=C0=2AC=4.D0=B0=2BD=3. 题意. 又：AD=5,AD=AO2+DO2, 当点F为点M时，DM=√2+6=4⑥=2√0， ∴.△AOD为直角三角形，且∠AOD=90°， AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形. EM=√+6=√52=2√3，而3：√10：√3= (2)如图，设CD的中点为G,连接 6:2√0：2√3，故点M符合题意：同理可得，点N OG,则OG是△ACD的中位线， 也符合题意 0G=240= 10.√2 11.1【解析】由题意，得必须以27cm为一边，45cm的 由(1)可知，四边形ABCD是菱形， 铝材为另外两边. ∴∠ACD=∠ACB. 设另外两边长分别为x,y,且x>y. ·∠E=z∠ACD, 当7m与24m相对位时，引六=希 解得y=33.75cm,x=40.5cm, ·∠E=2∠ACB. ∴.x+y=33.75+40.5=74.25(cm). :∠ACB=∠E+∠COE, 74.25cm>45cm,故不成立： ∠E=∠COE,∴.CE=CO=4. :OG是△ACD的中位线..OG∥AD∥BE, 当7m与36m相对应时需-元六 ∴△OGF∽△ECF, 解得x=22.5cm,y=18cm, 5 ∴.x+y=22.5+18=40.5(cm). 40.5cm<45cm,故成立； 27 第2课时相似三角形的判定定理1 当27cm与30m相对应时，易=希=六 解得x=32.4cm,y=21.6cm, 1.A2.A3.B4.405.号6.40 ∴.x+y=32.4+21.6=54(cm). 7.解：公路AB与DC平行.理由如下： 54cm>45cm,故不成立 AB-=14=2.AD_28-2BD21-2 综上所述，截法有1种. “D=27=3·BC=2=3D元=31.5=3· 12.解：(1)证明：D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， .ABAD BD ∴.ED,EF,DF分别是△OAB,△OBC,△OAC的中 “BD=BC=DC 位线， ∴.△ABD∽△BDC, ∴.∠ABD=∠BDC, 器--贵= ∴.AB∥DC. ∴△DEF∽△ABC. 8.证明：如图，过点C作CH⊥OB,交OB于点H. (2)画出图形如图，(1)中结论仍成立。 由A,B,C三点的坐标可以得到 证明过程如下： OA=3,OB=4,AD=1,CD=2, D,E,F分别是OA,OB,COC的中点， .AB=VOA+OBF=3+平= ∴.ED,EF,DF分别是△OAB,△OBC,△OAC的中 位线， 5.AC=AD+CD=+2 =5.0H=CD=2.0D=0A+0 需-既-积- AD=4...BH=0B-OH=2.CH=4. ∴.△DEF∽△ABC. ∴BC=√BH+CH=√2+4=25. 在△AR和△ACD中，S-5-5器= 2、 6是5品-器是 13.解：(1)△ACF与△GCA相似.理由如下： 下册参考答案 设正方形ABCD、正方形CDEF,正方形EFGH的边 长为a,则△ACF的三边长分别为AC=√2a,CF= =AB瓷-腮-- a,AF=√5a,△ACG的三边长分别为AC=√2a,CG 器-是“∠G=∠G∴△GFAAGE.- =2a,AG=0a, FG3 装后-9瓷会-号品晨号 E元=子又：AE=4BF=3, -瓷-品 G △ACF∽△GCA. 题多解法 (2):△ACF∽△GCA,.∠CAF=∠1， 如图，连接BD交AC于点D ∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45 O.:四边形ABCD是平行 第3课时相似三角形的判定定理2 四边形，.OD=OB.:EF= 1.B2.B DE,:.OE是△BFD的中位线，OE∥BF, OE 3.∠A=∠D(答案不唯一)4.26 5.证明：：D是AB的中点，AB=6,AE=2,AC=9. AC-1 2 .AD=3, 2•. BF 2BF=3. 0号-分指--好 把-福 10.3或号 【解析】，四边形ABCD是正方形，∴∠ABC =90°，AB=BC=5.又：∠PBF=90°，∴.∠ABP= ∠A=∠A ∠CBF=90°-∠CBP.若以点B,M,C为顶点的三 ∴.△ADEc∽△ACB. 角形与△ABP相似， 6解.aFAC是-票 则有两片桥况，①如图①，当品-需时，△ABP☑ :AE=AD,CF=AC,心D示-CA AB CB △MBC,即B=子解得BM=。 5 又∠B=∠DAC,∴△ABC∽△DAC. ∠D=115, .∠BAC=∠D=115. AC CB 2)'△ABCn△DACC=Ci AC=BC.CD=8X号=6.：AC>0AC=6. 图① 图2 7或名【解折1：∠A=∠A当把-时 AB PB, 5 ②如图@.当CB=MB时·△ABP∽△CBM,即号= △AEDO△ABC,AE=28= 3 ·解得BM=3. ∠A=∠A当号=长时，△ADEo△AC, 综上所述，满足条件的BM的长为3或孕 ·AE=2X63 8=2 1.5康号 【解析】：AB是⊙O的直径，∴.∠ACB 3 =90° 综上所述，A正的长为宁或 在Rt△ABC中，AC=4,BC=3, 8.B ∴.AB=/+3=5. 9.B【解析】如图，延长DF,AB相交于点G.:四边形 IAB,∴.∠ACP=∠CAB. ABCD是平行四边形，.DC∥AB,即DC∥AG, 要使以P,A,C为顶点的三角形与△ABC相似， a0 AGEA.是-8器-器：AC=. 则货瓷新-器 .DE DC CE 1 =1AE=4器-%-是-又BF=DB. 4 PC DC ∴PC的长为5或号 数学九年级RJ版