27.2.1 第1课时平行线分线段成比例-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

解得x=30, ∴.AE=AD=5a-a. .∴.EH=30cm. ∴.BE=AB-AE=3a-5a, 7.解：设另外一条线段的长为xcm. :这四条线段成比例，∴.3x=1×2或2x=1×3或 ÷45-5a-a-5-1E=3如-5a5- AB 2a 2 AE 5a-a 2 1·x=2×3. 2 3 :AE、E 六x=3或2或6 ABAE 即E是线段AB的黄金分割点. ∴另外一条线段的长为号cm或号cm或6cm 27.2相似三角形 8.D【解析】：四边形ABCD和四边形DEFG都是矩 27.2.1相似三角形的判定 形，.AB=CD,AD=BC,FG=ED,EF=DG.设两 第1课时平行线分线段成比例 个矩形的相似比为2AB=CD=a,AD=BC=6, 1.D2.全等2：13.A4.C 5.1【解析】：四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90 易得FG=ED=ka,EF=DG=b, AD//BC.AB=3.AC=5...BC=AC-AB= ∴△CDG的面积为宁ab. V5-可=L:AD/Bc.∴AAEFACBF,六25 :矩形ABCD的面积为ab,∴A选项不符合题意. AF 1.AE 1 一四边形ABCG的面积为ab一之ab,B选项不符 -CF= 4=AE=1. 6.10 合题意. 7.A【解析】设CF=x. △DEF的面积为乞b,C选项不符合题意 BFBE EF/AC,AE=BC.CF-AEAE=CF+BF. △ADF的面积为2kabD选项符合题意. 3_5 9 9 2十3解得x=2CF= 9.解：：四边形ABCD是矩形，.AB=CD=6,AD= BC=3. cErm…肥-能-号 93 :四边形EBCF是矩形，∴.EF=BC=3,CF=BE. 3+2 世余下的矩形EBCp与矩形BCDA相似，C门 8.B【解析】，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥DE.ADBC,AB=CD, CF 3 CF ∴∠BAE=∠E. :AE平分∠BAD, 10.解：(1)证明：：菱形AEFG与菱形ABCD相似， ∴∠EAD=∠BAE, ∠EAG=∠BAD, ∴∠E=∠EAD,∴AD=DE=5, ∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB, ∴.CE=DE-CD=5-3=2. 即∠EAB=∠GAD. ,BC∥AD,∴.△AED∽△FEC, 又：AE=AG,AB=AD. AE DE 5 .△AEB2△AGD(SAS). “元=C呢= ∴.EB=GD. 9.解：四边形ABCD是平行四边形， (2)如图，连接BD交AC于点P,则BP⊥AC ,.AB=CD,AB∥CD,AD∥BC, ∠DAB=60°，∠PAB=30, .△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED. ÷Bp=2AB=1 ,∴.△CDF∽△AED. .AB=CD.AB=3BE. .AP=VAB-BP=. BE 1 又，AE=AG=√5， :△BEF和△CDF的相似比，=CD=方 ∴EP=25, BEBE 1 △BEF和△AED的相似比k:=E=AB+BE= ∴.EB=√EP+BP=√2+T=√3 CD AB 3 ∴GD=√13. △CDF和△AED的相似比k,=A正=AB+BE= 11解：1)6二 10.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥ 2 BC,AB∥DC.∴.△GDA∽△GCE,△GCE△ABE (2)证明：设BC=a,则AB=2a,∴.AC= ∴.△ABE∽△GDA. VBC+AB=5a. (2)设CE=a,则BC=2CE=2a,BE=BC+CE= 由题意，得CD=BC=a, 3a.:四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC= 数学九年级RJ版 DF AD 2a,AD∥BC,△ADFn△EBF,一BF=EB .△ABCn△ACD. 9.C【解析】设小正方形的边长为1，则在△ABC中， :AD=2a,BE=3a,BD=15,∴15=DF=3a=3 AB=√I3,BC=3,AC=/Io.:△DEF与△ABC 相似，两三角形的边长对应成比例. ∴.DF=6. 11.解：(1)证明：：在口ABCD中，对角线AC和BD相 当点F为点G时，DG=√2+5=√2四，DE=6,EG 交于点O,AC=8,BD=6, =√+5=，而3：0：≠√2丽：6： √红，故点G不符合题意：同理可得，点H也不符合 ∴A0=C0=2AC=4.D0=B0=2BD=3. 题意. 又：AD=5,AD=AO2+DO2, 当点F为点M时，DM=√2+6=4⑥=2√0， ∴.△AOD为直角三角形，且∠AOD=90°， AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形. EM=√+6=√52=2√3，而3：√10：√3= (2)如图，设CD的中点为G,连接 6:2√0：2√3，故点M符合题意：同理可得，点N OG,则OG是△ACD的中位线， 也符合题意 0G=240= 10.√2 11.1【解析】由题意，得必须以27cm为一边，45cm的 由(1)可知，四边形ABCD是菱形， 铝材为另外两边. ∴∠ACD=∠ACB. 设另外两边长分别为x,y,且x>y. ·∠E=z∠ACD, 当7m与24m相对位时，引六=希 解得y=33.75cm,x=40.5cm, ·∠E=2∠ACB. ∴.x+y=33.75+40.5=74.25(cm). :∠ACB=∠E+∠COE, 74.25cm>45cm,故不成立： ∠E=∠COE,∴.CE=CO=4. :OG是△ACD的中位线..OG∥AD∥BE, 当7m与36m相对应时需-元六 ∴△OGF∽△ECF, 解得x=22.5cm,y=18cm, 5 ∴.x+y=22.5+18=40.5(cm). 40.5cm<45cm,故成立； 27 第2课时相似三角形的判定定理1 当27cm与30m相对应时，易=希=六 解得x=32.4cm,y=21.6cm, 1.A2.A3.B4.405.号6.40 ∴.x+y=32.4+21.6=54(cm). 7.解：公路AB与DC平行.理由如下： 54cm>45cm,故不成立 AB-=14=2.AD_28-2BD21-2 综上所述，截法有1种. “D=27=3·BC=2=3D元=31.5=3· 12.解：(1)证明：D,E,F分别是OA,OB,OC的中点， .ABAD BD ∴.ED,EF,DF分别是△OAB,△OBC,△OAC的中 “BD=BC=DC 位线， ∴.△ABD∽△BDC, ∴.∠ABD=∠BDC, 器--贵= ∴.AB∥DC. ∴△DEF∽△ABC. 8.证明：如图，过点C作CH⊥OB,交OB于点H. (2)画出图形如图，(1)中结论仍成立。 由A,B,C三点的坐标可以得到 证明过程如下： OA=3,OB=4,AD=1,CD=2, D,E,F分别是OA,OB,COC的中点， .AB=VOA+OBF=3+平= ∴.ED,EF,DF分别是△OAB,△OBC,△OAC的中 位线， 5.AC=AD+CD=+2 =5.0H=CD=2.0D=0A+0 需-既-积- AD=4...BH=0B-OH=2.CH=4. ∴.△DEF∽△ABC. ∴BC=√BH+CH=√2+4=25. 在△AR和△ACD中，S-5-5器= 2、 6是5品-器是 13.解：(1)△ACF与△GCA相似.理由如下： 下册参考答案27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 要点提示 1.相似三角形的有关概念：)在△ABC和△A'B'C'中，知果∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',B=BC AB BC 金别相首，三套边减比州，则△ABC与△ABC相似.相位具有 △A,B,C1,△A,B,C1△A:B:C:,则△ABC∽△A:B:C:(2)△ABC与△A'B'C'相似，记作△ABC △A'B'C.“”读作“相似于”；(3)相似三角形对立边的比是相似比. 2.平行线分线段成比例：(1)两条直线被一组平行线所裁，所得的对应线段减比州：(2)平行于三角形一边的直 线藏其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段减比例， 3判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 O1固基础 A D 知识点①相似三角形的有关概念 1.下列说法错误的是 A.两个全等的三角形一定相似 第3题图 第4题因 B.相似的两个三角形不一定全等 4.如图，已知直线a∥b∥c,直线AC,DF与直 C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成 线a,b,c分别相交于点A,B,C和D,E,F, 比例 且AB=3,BC=2,DF=4,则DE=() D.已知△ABC∽△DEF,DE=4,AB=9, A.6 B号 则△ABC与△DEF的相似比是4：9 2.已知△ABC∽△A'B'C,当AB c号 D.2 AB=1时， 知识点③由平行线判定三角形相似 △A'B'C'与△ABC AB ,当AB 5.如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5 AF 1 专时，△ABC与△ABC的相似比是 F心=4，则AE的长为 知识点2平行线分线段成比例的基本事实 第5题图 第6题图 及推论 3.(2025云南)如图，在△ABC中，已知D,E ◆易错点忽略线段对应关系而致错 分别是AB,AC边上的点，且DE∥BC.若 6.如图，AD,BC相交于点O,点E,F分别 在BC,AD上，AB∥CD∥EF.如果CE= ( 6,EO=4,B0=5,AF=6,那么AD的长 A c 0. 为 数学九年级RJ版 ◆02提能力乡 (2)若BC=2CE,BD=15,求DF的长度， 7.如图，AB与CD相交于点E,点F在线段 BC上，且AC∥EF∥DB.若BE=5,BF= 3AE=BC,则月C的值为 A. B.2 c D.3 …… O3拓思维◆ 第7题图 第8题图 11.如右图，在口ABCD中，对 8.如图，在□ABCD中，AB=3,AD=5,AE 角线AC和BD相交于点 平分∠BAD,交BC于点F,交DC延长线 O.AD =5.AC=8,BD 于点E侧二- ( =6. (1)求证：四边形ABCD是菱形， A号 5 B c D.2 (2)延长BC至点E,连接OE交CD于点 9.(教材变式)如下图，已知四边形ABCD是 R.若∠E-∠ACD,求=的值。 平行四边形，E为AB延长线上的一点，AB =3BE,DE与BC相交于点F.请找出图中 所有的相似三角形，并求出相应的相似比 10.如右图，点E为口ABCD 的边BC延长线上一点， AE与BD交于点F,与 DC交于点G. (1)求证：△ABE∽△GDA. 下册第二十七章