26.1.2 第2课时反比例函数的综合应用-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

第2课时反比例函数的综合应用 要点提示 数三k≠0)中人的几何意义：①)过双曲钱上任老一点分别作x地y 所得矩形的面积为k|:(2)过双曲线上佳意一走作一条坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角 I 形的面积为之.（如右图） 2.当正比例函数y=1x中的k,与反比例函数y=任中的：的转号相同时，两图象必有南个 交灰，并且这两个交点关于原走减中心对称. 3.双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，并且它有两条对称轴，分别是第一、三象限和第二、四象限的角 平分孩 念O1固基础 A.(-2√5,5) B.(-5,5) 知识点1反比例函数中系数k的几何意义 C.(-√5,25) D.(-2√5,23) 1.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点， 4.(2025九江修水期末)如下图，已知A(一4， A是反比例函数y一华（使≠0)图象上的一 ,BC2,一)是反比例函数y一兰的图象和 点，过点A分别作AM⊥x轴于点M,AN 一次函数y=ax十b的图象的两个交点.一 ⊥y轴于点N.若四边形AMON的面积为 次函数y=ax十b的图象与x轴、y轴分别 2,则k的值为 ( ) 交于点C,D A.2 B.-2 C.1 D.-1 (1)求△AOB的面积. (2)根据图象直接写出不等式ax十h<的 解集 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A,B,C 在双曲线y=5上，BD⊥r轴于点D,CE1 y轴于点E,点F在x轴上，且AO=AF,则 图中阴影部分的面积之和为 A.6 B.9 C.12 D.18 知识点2一次函数与反比例函数的综合 3.如图，正比例函数y=k1x的 图象与反比例隔数y一兰的图 象交于A,B两点，点A的坐 第3题图 标为(，一2√)，则点B的 坐标为 下册第二十六章 (2)根据图象直接写出当y1>y2时，x的取 ●易错点忽略了k的符号而致错 值范围 5.如图，在平面直角坐标 (3)过点B作直线OB,交反比例函数的图 系中，过原点O的直线 象于点C,连接AC.求△ABC的面积. 交反比例函数y=兰的 图象于A,B两点，BC ⊥y轴于点C.若 第5题图 △APC的面积为，则k的值为 4。 02提能力 6.如图，□OABC的顶点O,B 在y轴上，顶点A在函数y -4k,<0x<0)的图象上， 0 顶点C在函数y=(k,>0. 第6题图 O3拓思维 x>O)的图象上，则□OABC的面积是( A.-2k1B.2k2 C.k1十k2D.k2-k1 9.如下图，在平面直角坐标系中，四边形QABC 7.结论开放题已知反比例函数y=一3张（ 是平行四边形，反比例函数y=(x>0)的图 >1且k≠2)的图象与一次函数y=一7x+ 象经过点A和BC的中点D,AB=6,四边形 b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的 OABC的面积是48. 乘积x1x2>0.请写出一个满足条件的k (1)求点A,D的坐标及反比例函数的解析式 值： （2)若M是反比例函数)=兰(：>0)图象上 8.如下图，一次函数y1=kx十b(k≠0)的图象 一动点，且在四边形OABC内部（不含边 与反比例函数y,=严(m≠0)的图象相交于 界)，当直线y=x十m经过点M时，请直接 写出m的取值范围. A(1,3),B(n,-1)两点。 (1)求一次函数和反比例函数的解析式 6 数学九年级RJ版”点D.一2)在反比例函数y=兰的图象上，-2 6.D【解析】如图，过点A作AE⊥y轴 于点E,过点C作CD⊥y轴于点D, 一片解得=-2 ∴.∠AEB=∠CDO=90° :四边形OABC是平行四边形， 10.解：(1)由题意，得1一2m>0,解得m<2 .AB=C0,AB∥0. ∴.∠ABE=∠COD. (2)①：四边形ABOD是平行四边形， ∴.△ABE2△COD(AAS) ..AD//OB.AD=OB. ∴.△ABE与△COD的面积相等. 又点A,B的坐标分别为(0,3)，（一2,0） .点D的坐标为(2.3). 又：点C在函数y=兰的图象上 把D(2,3》代人y=-2严中，得1-2m=6. “△ABE的面积=△COD的面积=k:l. 一该反比例函数的解析式为y= 同理可得△AOE的面积=△CBD的面积=之1， 6 ②”反比例函数y=的图象关于原点对称， k1<0,k:>0, ∴当点P与点D关于原点对称时，OD=OP,此时点 ∴D0ABC的面积=2号11+k,）=I:1+ P的坐标为（一2，一3） k,=k:一k. :反比例函数y=。的图象关于直线y=x对称， 7是（答案不唯-） 当点P与点D关于直线y=x对称时，OP=OD, 此时点P的坐标为(3,2). 8.解：1)将A(1,3)代人y=”,得m=1×3=3,反 x :点(3,2)关于原点对称的点满足OP=OD ∴此时点P的坐标为（一3，一2）. 比例函数的解析式为y:=之 3 综上所述，点P的坐标为(-2，-3)或(3,2)或(-3， 将B(m.-1D代人：=3，得m=-3, -2). x 第2课时反比例函数的综合应用 .B(-3.-1). 1.A2.C3.C 将A(1,3),B(-3,-1)分别代入1=kx+b.得 4.解：1)把B(2.-4)代人y=在，得=-8. 使+b=3, -3k+b=-1 解得作1， 1b=2. 一反比例函数的解析式为y=一8 ∴一次函数的解析式为y,=x十2 (2)当y1>y:时，x的取值范围是一3<x<0或x>1. 把A(一4，m)代人y=-,得-4n=一8，解得m=2 (3)如图，连接AO,令直线AB与 x轴的交点为M. .A(-4,2) 将y=0代入y1=x+2,得x= 把A(-4,2)和B(2,一4)代入y=ax+b,得 -2,.M(-2,0), 仁如t力=2解得a=- l2a+b=-4, 1b=-2. ∴.S△OB=S△AMM+S△M= .一次函数的解析式为y=一x一2. 当y=0时，-x一2=0，解得x=-2, X3+2×2x1=4 ∴.C(-2.0).则OC=2, ,正比例函数的图象与反比例函数的图象都是中心对 i:5om-Save+Some-X2X2+x2X4-6. 称图形，且坐标原点是对称中心， 点B和点C关于点O中心对称， (2)由图象得不等式ax+b<,的解集为-4<x<0 ∴.B0=C0,∴.S△BC=2S△we=8. 9.解：(1)四边形OABC是平行四边形，AB=6,∴OC 或x>2. =AB=6,∴.C(6.0). 5.一6【解析】由对称性可知，OA=OB,S△e= S△e=2S△Ar· 设A(a,告)则B(e+6,) :BC⊥y轴，△ABC的面积为6， :D是C的中点D(号+6，会， 5ae=亏Sae=2X6=引k1=3,解得=士6. 1 ，解得a=4 又：<0，.的值为一6. +8 数学九年级RJ版 ∵◻OABC 的面积为 48，AB=6， 设当 5<x≤12 时，y与x之间的函数关系式为 y=ax $$\therefore \frac { k } { a } \cdot 6 = 4 8 ，$$ [5a+b=240， fa=-20 +b， 则 $$\left\{ \begin{array}{l} 5 a + b = 2 4 0 ， \\ 1 2 a + b = 1 0 0 ， \end{array} \right.$$ 解 解得 1b=340， ∴k=32， ∴ 当 5<x≤12 时，y与x之间的函数关系式为 y= $$\therefore A \left( 4 ， 8 \right) ， D \left( 8 ， 4 \right) ， y = \frac { 3 2 } { x } \left( x > 0 \right) .$$ -20x+340. 综上所述，y与x之间的函数关系式为y (2)m的取值范围是 -4<m<4. 【解析) (2)当点A与点M重合时， 8=4+m， $$\left\{ \frac { 1 2 0 0 } { x } \left( 3 \le x \le 5 \right) ，$$ 解得 m=4. 1-20x+340(5<x≤12). 当点D与点M重合时， 8+m=4， (2)设该社区超市每天的销售利润为 ω 元 解得 m=-4. 当 3≤x≤5 时 $$\cdot x _ { c } = \left( x - 3 \right) y = \left( x - 3 \right) \cdot \frac { 1 2 0 0 } { x } = 1 2 0 0$$ 1200 ∵M 是反比例函数 $$y = \frac { k } { x } \left( x > 0 \right)$$ 0)图象上一动点，且在 四边形 OABC 内部(不含边界)， $$- \frac { 3 6 0 0 } { x } ， \cdots w$$ w随x的增大而增大， ∴-4<m<4. ∴ 当 x=5 时，w取得最大值，此时 $$w = 1 2 0 0 - \frac { 3 6 0 0 } { 5 }$$ 3600 26.2 实际问题与反比例函数 =480. 第1课时反比例函数在实际生活中的应用 当 5<x≤12 ，w=(x-3)y=(x-3)(-20x+340) 1.7.2 $$= - 2 0 \left( x - 1 0 \right) ^ { 2 } + 9 8 0 .$$ 2.320【解析】由题意可设 $$y = \frac { k } { x } \left( k e 0 \right) .$$ ∵-20<0， ∴ 当 x=10 时 ，取得最大值，最大值为980. 把(4，32)代入，得 $$k = 1 2 8 ， \therefore y = \frac { 1 2 8 } { x } \left( x > 0 \right) .$$ ∵980>480， ∴ 当售价为10元 /kg 时，该社区超市每天的销售利润 x=0.4 时， $$y = \frac { 1 2 8 } { 0 . 4 } = 3 2 0 ，$$ 最大，最大利润是980元. ∴ 面条的总长度是320cm. 7.解：(1)设该二次函数的解析式为 $$y = a \left( x - 1 2 \right) ^ { 2 } + 1 0 0 .$$ 把(2，0)代入，得 100a+100=0， ，解得 a=-1， 3.300【解析】由题中数据，得 $$x y = 6 0 0 0 ， \therefore y = \frac { 6 0 0 0 } { x } .$$ ∴ 所求二次函数的解析式为 $$y = - \left( x - 1 2 \right) ^ { 2 } + 1 0 0 .$$ 由题意，得 (x-180)y=2400. 把 $$y = \frac { 6 0 0 0 } { x }$$ 代人，得 (x\right. 把点(12，100)向左平移4个单位长度，得点 (8，100) 代人 $$y = \frac { k } { x } ，$$ 得 k=800. $$\left. { - 1 8 0 } \right) \cdot \frac { 6 0 0 0 } { x } = 2 4 0 0 .$$ 解得 x=300. .故该款运动鞋售 (2)超过 20min. .理由如下： 价应定为300元 双. 令 $$y = - \left( x - 1 2 \right) ^ { 2 } + 1 0 0 = 3 6$$ ，解得 $$x _ { 1 } = 4 ， x _ { 2 } = 2 0$$ (不 4.解：(1)由题意可知，把 a=0.1，s=700 $$s = \frac { k } { a }$$ 中 合题意，舍去)； 得 k=70， 令 $$y = \frac { 8 0 0 } { x } = 3 6 ，$$ 解得 $$x = 2 2 \frac { 2 } { 9 }$$ ，则 $$x + 4 = 2 2 \frac { 2 } { 9 } + 4 =$$ ∴该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函 $$2 6 \frac { 2 } { 9 } .$$ 数关系式为 $$s = \frac { 7 0 } { a } .$$ $$\because 2 6 \frac { 2 } { 9 } - 4 = 2 2 \frac { 2 } { 9 } \left( \min \right) ， 2 2 \frac { 2 } { 9 } > 2 0 ，$$ (2)当 a=0.08 时，由(1)中函数关系式，得 $$s = \frac { 7 0 } { 0 . 0 8 }$$ ∴ .“拥挤状态”持续的时间超过20 min. =875. 第2课时反比例函数在物理学科中的应用 故当平均耗油量为 0.08L/km 时，油箱注满油后，该 车可行驶的总路程为875 km. $$1 . B 2 . R = \frac { 3 0 } { E }$$ 3.100 4.0.3 5.D 6.解：(1)设当 3≤x≤5 时， y 与x之间的函数关系式为 5.解：(1)设 m 关于d的函数解析式为 $$m = \frac { k } { d } .$$ $$y = \frac { k } { x } .$$ 由表格中数据可知， $$2 0 = \frac { k } { 1 0 }$$ ，解得 k=200， ∵ 点(3.400)在该反比例函数图象上， $$\therefore 4 0 0 = \frac { k } { 3 } ，$$ ，解得 ∴m 关于 d 的函数解析式为 $$m = \frac { 2 0 0 } { d }$$ k=1200， (2)当砝码质量为 25g 时， $$2 5 = \frac { 2 0 0 } { d } ，$$ ，解得 d=8. ∴ 当 3≤x≤5 时，y与x之间的函数关系式为 $$= \frac { 1 2 0 0 } { x } .$$ 故当砝码质量为25g时，托盘B与点O的距离为 8cm. 下册参考答案 3