3.6 第2课时切线的判定-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

1 六∠C=z∠A0B=50∠C'=180°-50=130 即-5号，解得-此时BP=2r=号 故∠ACB的度数为50或130° 6.35 综上所述，当BP的长为支号时，圆与矩形ABCD 7.3cm或5cm【解析】当⊙O与直线a相切且位于直 的边相切 线a的上方时，OP=PH-OH=4-1=3(cm): 第2课时 切线的判定 当⊙O与直线a相切且位于直线a的下方时，OP= 1.D2.60° PH+OH=4+1=5(cm).综上，OP的长为3cm或 3.证明：如图，连接O℃ 5 cm. :AB是⊙O的直径， 8.C9.(1)1(2)1<d<3 ∴∠ACB=90°， 10.3 【解析】如图，连接OD,AD. .∠A+∠ABC=90 :OB=OC,∴∠ABC=∠OCB. :AB为直径，过点D作半圆O的 ∠BCD=∠A, 切线， ∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， .OD LDE,AD⊥BC. .OC⊥CD. AB=6.∴.OA=OD=3. :OC为⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线. :DE=√万，∴.OE=√OD+DE=4. 4.C【解析】：∠CDE=62°. .AB=AC,AD⊥BC,∴.BD=DC. .∠ADC=180°-∠CDE=180°-62°=118 又，OB=OA, :四边形ABCD内接于⊙O, ∴.OD是△ABC的中位线，即OD∥AC, ∴∠B=180°-∠ADC=62°. 40 ∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=118 DE=OE,即 4 :点I是△ABC的内心， 11.解：(1)如图，连接DE,AD ∴.AI平分∠BAC.CI平分∠BCA, :CD是⊙O的直径， ∠AC+∠ICA=Z∠BC+∠BCA)=0 ∴∠DEC=∠DAC=90° :CD平分∠ACB, ∴∠A1C=180°-（∠1AC+∠CA)=121°. ∴.∠ECD=∠ACD, 5.65°【解析】连接OB,OC,如图. 点O是△ABC的内心， ..DE=DA. :CD=CD,∴.Rt△DEC≌Rt△DAC(HL), .BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平 .∴.EC=AC=8,∴.BE=BC-EC=10-8=2. 分线， (2)BD是⊙O的切线，∴.∠BDC=90°. 1 ·∠OBC=z∠ABC,∠OCB= :'∠BDE+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠BDE=∠DCE. 7∠AcB :∠BED=∠DEC=9O°.∴.△BDED△DCE, 器-器DE*-EGE=X8=16 ∴∠0=180°-∠0Bc-∠0cB=180°-7（∠ABc+ .DE=AD=4...CD=DE+EC=+8= ∠ACB)=1o-21网-∠A)=1w-0+2∠A- AD 4 1 45,an∠ACD=AC=8=2 90+7×r=18wr 12.解：如图，设以BP为直径的圆的圆 又：点O也是△DBC的外心， 心为O,作OE⊥AD于点E,OF⊥ CD于点F. ∴∠D=3∠0=65 设⊙O的半径为r,则OB=r. 6.证明：如图，连接DE,过点D作DF :在矩形ABCD中，CD=AB=3,BC=4,AB⊥ ⊥OB于点F AD,BC⊥CD, :OA与⊙D相切于点E, ∴.DB=√3+4=5，OE∥AB,OF∥BC DE⊥OA. 当OE=OB时，⊙O与AD相切. 又：DF⊥OB,D是∠AOB平分线上一点， EO DO DF=DE,即DF是⊙D的半径， OE∥AB.∴.△DEO∽△DAB, ABDB' .OB与⊙D相切. 即写-5号解得r=总比时BP=2r=只 7.C 8.D【解析】如图，过点I作DEBC,分别交AB,AC 当OF=OB时，⊙O与DC相切. 于点D,E,连接AI, OF DO OF∥BC,∴△DOFn△DBC,BC-Di· ∴∠ADI=∠ABC. '∠AMN=∠ABC 22 数学九年级BS版 .∠ADI=∠AML. 如图①，连接OA,OB. :I为△ABC的内心， .OA=0B. ∴.∠DAI=∠MAI. .∠BAO=∠ABO. AI=AI. PA=PB. ∴.△ADI2△AMI. ∠PAB=∠PBA. ∴.AD=AM. :PA是⊙O的切线， 图① :∠DAE=∠MAN,∠ADE=∠AMN, ·∠PAO=∠BAO+∠PAB=90°， ∴.△ADE2△AMN, ∴.∠PBO=∠ABO+∠PBA=90°，即OB⊥BP ∴.△AMN的周长即为△ADE的周长. 又：OB是⊙O的半径，∴PB与⊙O相切. 连接BI,CI. (2)4AD+BE=25r I为△ABC的内心， 【解析】(2)如图②，过点O作OF ∴.BI为∠ABC的平分线，.∠DBI=∠IBC. 又：DE∥BC,∴∠IBC=∠DIB. ⊥AB于点F,则AF=2AB, ∴∠DIB=∠DBI,∴DI=DB. :∠P=60°，PA=PB, 同理得EC=EI, △ABP是等边三角形. ∴.△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DI+EI .AB=PA=PB,∠PAB= +AE ∠PBA=60°. =(AD+DB)+(EC+AE) ∠DCE=60°， =AB+AC=10+12=22, ∴∠BCE+∠ACD=180°-∠DCE=120° 即△AMN的周长为22. :∠ADC+∠ACD=180°-∠PAB=120, ∴∠ADC=∠BCE,∴.△ADCn△BCE, ·【解析】如图，连接AO并延长，交BC 于点D,连接OC.⊙O是等边三角形 识-能-畏- ABC的内切圆，∴AD,CO分别平分B D ∠BAC∠AcB0DLBc.CD=zBC=i,∠0cD .AD-BC.AC-BE ..4AD+BE=2BC+2AC=2AB =30,OD为⊙0的半径.在R△0CD中，CD OD :∠0AF=∠PA0-∠PAB=90°-60°=30° an00D=号即00的半径为号 在△AOP中，A0=r∠OAF-5-号 10.解：(1)证明：如图，连接AE. AB-2AF-2X ·AF=尽 1 '∠BCD=Z∠AOB.∠E= ∴4AD+BE=2AB=25r 7切线长定理 LAOB. 1.A2.D3.56° ∴.∠BCD=∠E 4.解：(1)：PA,PB是⊙O的切线， OA=OE,∴.∠OAE=∠E,∴.∠OAE=∠BCD. .OA⊥AP,PA=PB. :BE是⊙O的直径， ∠BAC=25°，∴∠ABP=∠BAP=90°-25=65， ∴.∠BAE=90°，即∠BAO+∠OAE=90° .∠P=180°-2X65°=50. '∠BAO=∠BCO, (2)证明：如图，连接OB. .∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC. 'OA=OB,∴∠OAB=∠OBA. :OC为⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线. 又：∠DOB=2∠BAC,∠D+ (2)四边形ABCO是平行四边形， 2∠BAC=90°， 1 ∴∠D+∠DOB=90, OF-70B. ∴.∠DBO=90°，即OB⊥BP. 又：OF+OE=EF=3,OB=OE, :OB是⊙O的半径， 六70B+0B=30B=2 ∴.PB是⊙O的切线. 又：PA与⊙O相切于点A,∴PA=PB. 0A=OC. 5.48 .∴.▣ABCO是菱形，.BC=OC=OB=2 6.9,12,15,12【解析】设圆外切四边形顺次相连的三 .△BOC为等边三角形，∴.∠BOC=60°， 边长分别是3x,4x,5x(x>0).该四边形的周长为 ∴.在Rt△ODC中，CD=OC·tan∠DOC=2X 48,圆外切四边形的对边之和相等，∴一组对边的和 tan60°=2√3. 是48÷2=24，∴.3x十5x=24,解得x=3,该四边形 11.解：(1)PB与⊙O相切.理由如下： 顺次相连的三边长分别是3×3=9,4×3=12,5×3= 15,三边的总长是9+12十15=36，∴.第四条边的长是 下册参考答案 23第2课时 切线的判定 要点提示 1切线的判定定理：过度径外越且垂直于这条度校的直孩是围的切孩 2.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的國叫微三角形的内切圆.内切圆的回心是三角形三条角年分孩的麦 点，叫做三角形的而心，这个三角形叫微面的外切三角形 3.三角形的内心的性质：(1)三角形的而心到三角形三边的原离相等：(2)三角形的而心与三角形项点的连孩是 三角形的角平分孩 O1固基础 知识点2三角形的内切圆 4.(2025随州模拟)如图，四边形ABCD内接 知识点1切线的判定 于⊙O,点E在AD的延长线上，点I是 1.如图，AB是⊙O的直径，BT交⊙O于点 △ABC的内心.若∠CDE=62°，则∠AIC C.下列条件中，不能判定直线AT是⊙O的 的度数为 () 切线的是 A.118°B.120° C.121°D.124° A.AB=4.AT=3,BT=5 B.∠B=45°，AB=AT C.∠B=55°，∠TAC=55 D.∠T=∠B 第4题图 第5题图 5.如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC 的外心.若∠A=80°，则∠D的度数为 第1题图 第2题图 2.如图，A,B是⊙O上的两个点，AC是过点A ●易错点 不清楚“有切点，连半径，证垂 的一条直线.若∠O=120°，则当∠CAB的度数 直”和“无切点，作垂直，证半 为 时，AC是⊙O的切线， 径”的含义致错 3.如右图，△ABC内接 6.如右图，已知OC平分 于⊙O,AB为⊙O的 ∠AOB,D是OC上任 直径，点D在AB的 意一点，OA与⊙D相 延长线上，连接CD,∠BCD=∠A.求证： 切于点E.求证：OB与⊙D相切 CD是⊙O的切线， 数学九年级BS版 02提能力◆ (2)若四边形ABCO是平行四边形，EF= 3,求CD的长」 7.如图，在平面直角坐标系 中，过格点A,B,C作一段 圆弧.点B与下列格点的 01 连线中，能够与该圆弧相切 第7题图 的是点 A.(0,3)B.(2,3)C.(5,1)D.(6,1) 8.(2025石家庄模拟)如图，在△ABC中，AB= 10,AC=12,I为△ABC的内心，过点I作直线 MN分别交AC,AB于点M,N,且∠AMN= ∠ABC,则△AMN的周长为 ( A.11 B.16 C.18 D.22 ……念O3拓思维 11.推理能力(2025达州，有改动)如下图，在 ⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA 第8题图 第9题图 =PB,C,D,E分别是线段AB,AP,BP 9.如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC 上的动点，连接CD,CE,∠DCE=∠P -a. 的内切圆，则⊙O的半径为 (1)试判断PB与⊙O的位置关系，并说明 10.(2025平凉)如右图，四边 理由， 形ABCO的顶点A,B,C (2)若a=60°，CD:CE=1:2,请直接写 在⊙O上，∠BAO= 出4AD十BE与⊙O的半径r的数量 ∠BCO,直径BE与弦 关系 AC相交于点F,点D是EB延长线上的一 点·∠CD-AOB. (1)求证：CD是⊙O的切线， 下册第三章