3.4 第1课时圆周角定理及其推论1-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

4 圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 要点提示 1.圆周角的定义：项支在面上、角的两边分别与®相爱的角叫微圆周角 2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对核上的围心角意数的一摩， 3圆周角定理的推论1：周航或等锰所对的国周角相等， O1固基础念 知识点3圆周角定理的推论1 5.(2025新疆)如图，CD是⊙O的直径，AB是 知识点1圆周角的定义 弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则∠BOC= 1.下列四个图形中，∠a是圆周角的是( A.30° B.45° C.60°D.75 0 0 6.如下图，E为BC的中点，点A在⊙O上， A B AE交BC于点D,连接BE,AB.求证：BE 知识点2圆周角定理 =AE·DE 2.(2025重庆)如图，点A,B,C在⊙O上， ∠AOB=100°，∠C的度数是 ( A.40° B.50° C.80° D.100° ◆易错点因对问题考虑不周全而导致漏解 7.已知在⊙O中，一条弦长等于半径，则 第2题图 第3题图 该弦所对圆周角的度数为 3.如图，点A,B,C在⊙O上，且∠AOB= 青青同学的答案为30°，你认为正确吗？ 2∠BOC=2a,则下列结论错误的是( 如果正确，请给出求解过程；如果不正 A.∠ACB=a B.∠ABO=a 确，请求出正确的答案。 C.∠BAC=2a 1 D.∠0BC=90°-2a 4.如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB,∠CAB =67.5°，则∠AOB的度数为 第4题因 第5题图 数学九年级BS版 O2提能力© (2)当点P位于什么位置时，△APB的面 积最大？请求出最大面积 8.如图，若AB=AC=AD, ∠CBD=2∠BDC,∠BAC= 44°，则∠CAD的度数为 第8题图 ( A.68° B.88° C.90 D.112° 9.(2025扬州)如图，点A,B,C均在⊙O上， ∠BAC=50°，则∠OBC= 第9题图 第10题图 念O3拓思维 10.如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的 12.推理能力已知AB是⊙O的直径，弦（非直 中点，过点C作DE⊥AB,交⊙O于D,E 径)CD⊥AB,P是⊙O上不同于点C,D 两点，过点D作直径DF,连接AF,则 的任意一个点」 ∠DFA的度数为 (1)当点P在CD上运动时，如图①所示， 11.如右图，⊙0的半径为1，A, ∠APC与∠APD之间有什么数量关系？ B,C是⊙O上的三个点，点 请证明你的结论。 P在劣弧AB上，∠APB= 04 (2)当点P在CAD上运动时，如图②所 120°，PC平分∠APB. 示，∠APC与∠APD之间有什么数量关 (1)求证：PA十PB=PC. 系？请证明你的结论 图① 图② 下册第三章 9:∠AOC+∠COF+∠BOF 1 =180°， 0F=20E=E. .∠AOC=∠COF=∠BOF=60°， 在Rt△ODF中，DF=√OD-OF=13-2= ∴.∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF T,∴.CD=2DF=2T 点F关于AB的对称点为点M, 12.解：(1)证明：如图，设AB与OC交于点D .PM=PF,∴PE+PF=PE+ PM≥EM. C为AB的中点，AC=BC 当E,P,M三点共线时，PE+PF的值最小，最小值 ∴AD=BD,.OC⊥AB 为EM的长. (2)如图，连接OB.由题意可得，CD=2m ∠AOC=60°，AD⊥AB OCLAB.:.BD-AB=10m .∠D=30°.∴.0D=20A. 设⊙O的半径为rm,则OB=OC= .CD=4...0D=0C+4=20A=20C OC=4. r m.OD=OC-CD=(r-2)m. ∴.OC=OA=OB=OM=OF=4. AF⊥OC,∠AOC=60°，∴.∠OAE=30 在Rt△OBD中，由勾股定理可得， OD+BD2=OB2,即(r-2)2+102=r 40E=20A=2, 解得r=26,∴.⊙0的半径为26m 13.解：(1)6.5 ∴.PE+PF的最小值=EM=OE+OM=2+4=6. 8.D【解析】如图，连接AM,过点A (2)如图①，设拱桥所在圆的圆心 作AE⊥MN于点E,AF⊥x轴于 为O,连接OD,OB,ON. 点F OE=0C-CE=C-(CD- 又：∠FON=90°，.四边形 DE)=6.5-(4-3.6)=6.1 AFOE是矩形， (m), ∴.AE=OF,AF=OE. ∴在Rt△OEN中，由勾股定理，得EN= M(0,-2).N(0,-8),∴.OM=2,ON=8, √ON-0E=√6.5-6.≈2.24(m), .∴.MN=ON-OM=6. ∴.MN=2EN=2×2.24=4.48(m). 4.48<5, :AE⊥MN.EM=EN=ZMN=3, ∴此货船不能顺利通过拱桥。 ∴.AF=OE=OM+EM=5. 【解析】(1)如图②，设拱桥所在圆 :⊙A的半径为5，∴.AM=5, 的圆心为O,连接OD,OB. .AE=AM-ME=4,∴.OF=4,∴A(-4,-5). 0C⊥AB.BD= 9.25 6m. 10.50m【解析】设圆弧的圆心为O.如图所示，过点O 设OB=OC=rm.则OD=(r-4)m. 作OC⊥AB于点C,交AB于点D,连接OA,则OA 在Rt△BOD中，由勾股定理，得OB2=OD2+BD2, 1 =0D=250m,AC=BC=2AB=150m. 即r2=(r-4)2+62,解得r=6.5, ∴拱桥所在圆的半径为6.5m. ∴.0C=/OA2-AC=√250-150=200(m). 4圆周角和圆心角的关系 ∴.CD=OD-OC=250-200=50(m),即这些钢索 第1课时圆周角定理及其推论1 中，最长的一根的长度为50m. 1.C2.B3.B4.90°5.C 钢工B 6.证明：：E为BC的中点， 桥拱 ∴BE=CE,∴∠EBD=∠EAB. 又∠E=∠E.∴△BED∽△AEB, ÷-BE*=AEDE 11.2√厅【解析】过点O作OF⊥ 7.解：青青同学的答案不正确.正确的答案为 CD于点F,OG⊥AB于点G,连接 30°或150°. OB,OD,OE,如图所示， 如图，，弦AB的长等于半径，即OA=AB ·DF=CF,AG=BG=2AB=3. =0B, .△ABO是等边三角形，，∴.∠AOB=60° ..EG=AG-AE=2. .∠C=30 在Rt△BOG中，OG=OB-BG=2, :劣弧AB所对圆心角的度数为60° ∴EG=OG,∴.△EOG是等腰直角三角形， ∴.优弧ACB所对圆心角的度数为300 ∴∠OEG=45°，OE=√2OG=22. ∠ADB=150°. :∠DEB=75°.∴∠0EF=30°， 故弦AB所对圆周角的度数为30°或150°. 18 数学九年级BS版 8.B【解析】如图，以点A为圆心，AB的 :AM为⊙O的直径， 长为半径作⊙A. ∴.∠ADM=90° :AB=AC=AD,∴.B,C,D三个点均 :∠BMD=40°，∴.∠AMD=50°， 在⊙A上，由圆周角定理，得∠BDC= ∴.∠DAM=40°，∴∠MAE=40, ∠BAC=22 1 ∴.∠EOM=2∠MAE=80° 3.解：AB是⊙O的直径，∴∠C=90 :∠CBD=2∠BDC,∴.∠CBD=44°， :∠B=50°，∴∠BAC=90°-∠B=40° ∴.∠CAD=2∠CBD=88 OD∥BC,∴.∠AOD=∠B=50. 9.40° 10.30°【解析】C是半径OA的中点，DE⊥AB, :0A=0D.∠0AD=z(180°-∠A0D)=z× 1 1 (180°-50)=65°， ÷0C=20A=z0D,∠D00=90 .∠CAD=∠OAD-∠BAC=65°-40°=25. ∴∠CD0=30°，∴∠D0A=60°，.∠DFA=30 4.C 11.解：(1)证明：如图①，在PC上截取 5.解：：∠A:∠Bt∠C=7:4:2, PD=PA,连接AD. .可设∠A=7x,则∠B=4x,∠C=2x :PC平分∠APB,且∠APB :四边形ABCD内接于⊙O, 0 =120°， ∴.∠A+∠C=7x+2x=180°，∠B+∠D=180°， .∠APC=∠BPC=60°. ∴.x=20°，.∠B=4x=80°， :PA=PD,∴.△APD为等边三 .∠D=180°-∠B=180°-80°=100° 角形，.DA=PA. 圈① 6.140°【解析】如图，在优弧AB上任取 ∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°. 一点P,连接AP,BP. .△ABC为等边三角形， 四边形APBC是⊙O的内接四边形 .AB=AC,∠CAB=∠DAP=60°， .∠P=180°-∠C=70°. .∠CAD=∠BAP,∴·△ACD2△ABP(SAS), 由周角定理可得∠a=2∠P=140°. ..CD=BP. 7.C【解析】：CD⊥AB,且AB是⊙O的直径，∴.BC :PD+CD=PC...PA+PB=PC. =BD. (2)当点P位于劣弧AB的中点时， △APB的面积最大. :BC所对的圆心角的度数为50° 由(1)可知AC=BC,当P为劣弧 .BD所对的圆心角的度数为50°， AB的中点时，PA=PB, ∴AD所对的圆心角的度数为130°， .PC⊥AB,∴PC为⊙O的直径. 如图②，设PC与AB交于点E.连 ÷∠AGD=7X10=65 接OA,易得∠OAE=30 图2 8.33 又⊙0的半径为1， 9313 0E=2AE-9, 区【解折：AB⊥CD,AG=12,GF=5, 1 AB=5,PE=2 ..CG=GF=5.CF=2CG=10. △MPB的最大面积为号××厅= 1.1 ∴.AC=VAG+CG=√V12+5=13. 4 四边形ACDE为菱形，∴CD=AC=13, 12.解：(1)∠APC=∠APD.证明如下： .GD=CD-GC=13-5=8,DF=CD-CF=13- :弦CD LAB,AB是⊙O的直径， 10=3. ∴.AC=AD.∴.∠APC=∠APD. AD=√AG+GD=√12+8=4√3. (2)∠APC+∠APD=180°.证明如下： 如图，连接BC,BH. :弦CD⊥AB,AB是⊙O的直径，AC=AD. AB是⊙O的直径， :∠APD的度数等于AD所对圆心角度数的一半， ∴.∠ACB=90°，∠AHB=90°， ∠APC的度数等于ADC所对圆心角度数的一半， m∠cMB-0-治号 AC AC所对的圆心角与ADC所对圆心角的度数之和为 360°，且AC=AD, 解得AB=受 13 ∴.∠APC+∠APD=180 A=是.即1= ,解得AH= 第2课时圆周角定理的推论2 cOS∠DAB=D=AB1 413 169 及圆内接四边形 12 1.A 只瓜 2.80°【解析】：AB=AC,∠BAM=∠CAM, 四边形ACDE为菱形，∴.CD∥AE, ∴.AM LBC,∴.∠AMB=90. 下册参考答案 19