2.4 第1课时应用二次函数求几何图形最值-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

4 二次函数的应用 第1课时应用二次函数求几何图形最值 要点提示 用二次函数解决面积问题的一般步骤：(1)设未和数，引入自变量：(2)用含。变量的代教式分别表示与所求几 何图形面积相关的量：(3》根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用盖数表示送个几何田形的面 和：(4)根据函数表达式，利用函效的性质求出最值及取得最值时自变量的值. O1因基础念 流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径 落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如 知识点1用二次函数求图形面积的最值 图②所示，落点B到点O的距离为3m.在 1.用长度为8m的铝合金条制成如 宽 建立的平面直角坐标系中，水流喷出的高度 图所示的矩形窗框，那么这个窗 y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间近 户的最大透光面积为 ( ) 似满足函数关系y=ax2十x十c(a≠0). 第1题图 (1)求y与x之间的函数表达式。 C.2m2 D.4m2 (2)求水流喷出的最大高度。 2.如图，已知△ABC为等腰直角三角 形，∠C=90°，BC=2cm.在三角形 D 内作矩形CDEF,使点D在AC上， 图1 图② 点E在AB上，点F在BC上，则矩 第2题因 形CDEF的最大面积为 cm2. 知识点2用二次函数解决抛物线形问题 3.图①所示的某种发石车是古代一种远程攻击 的武器.将发石车置于山坡底部O处，以点O 为原点，水平方向为x轴方向，建立图②所示 的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一 个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y= P易错点 没有考虑自变量的取值范围 一0一20)十长的一部分，则发射石块在空 而致错 中飞行的最大高度为 5.如图，利用一面墙（墙 EF最长可利用10m, 2四 且EF两端无法砌墙) M N C 围成一个矩形花园 第5题图 图② ABCD,与围墙平行的一边BC上要预 第3题图 留2m宽的入口MN,入口处不用砌 4.某广场有一个小型喷泉（如图①），水流从垂 墙.若用46m长的墙的材料砌围墙，则 直于地面的水管OA喷出，OA长为2m.水 这个花园的最大面积是 m2. 数学九年级BS版 02提能力念 03拓思维 6.如下图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹 7.几何直观如图①，有一块边角料ABCDE,其中 出，球的飞行路线可以用二次函数y=ax AB,BC,DE,EA是线段，曲线CD可以看成反 十bx(a<0)的图象表示，斜坡可以用一次函 比例函数图象的一部分.小宁想利用这块边角 料截取一个面积最大的矩形MNQP,其中点 数y=x的图象表示，小球飞行的水平距 M,N在AE上（点M在点N左侧），点P在 离x(单位：m与小球飞行的高度y(单位： 线段C上，点Q在曲线CD上.测量发现： m)的变化规律如下表： ∠A=∠E=90°，AE=5,AB=DE=1,点C到 x01 2 m 4 5 AB,AE所在直线的距离分别为2,4. (1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过 思考，他建立了图②所示的平面直角坐标系， (1)①m= ，n 其中点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为 ②小球的落点是A,求点A的坐标 (-1,1),请你写出点C,D,E的坐标 (2)小球飞行的高度y与飞行的时间1（单 (2)求直线BC、曲线CD的表达式. 位：s)满足关系y=-5t2十l. (3)求矩形MNQP的最大面积. ①小球飞行的最大高度为 m; ②求v的值. 小球钟城 图① 图② x/m 下册第二章8(4.名)或(-6.)【解析1根据题意，得 a=-3 4 4a-4a+b=4, 二次函数y=a+证十c的表达式为y=一女 a+2a+b=0, 3 b=4, +2x+2: +4.:AB=√(-2-1)+(4-0)下=5，且四边形 当m=一1时，同理可得二次函数y=ax2十bx+c AA'B'B为菱形，.AA'=BB'=AB=5,.抛物线是 的表达式为y=x+2x+2. 综上，二次函数y=ax十x十c的表达式为y= 沿水平方向平移了5个单位长度.：y=一 3x+4=- (x十1r+号抛物线的顶点为 4 -号+2红+2或y=+2z+2. 4二次函数的应用 (-1.9》 第1课时应用二次函数求几何图形最值 ∴.当抛物线向右平移5个单位长度时，平移后的抛物 1.B 2.1【解析】：△ABC为等腰直角三角形，∴.∠B 线的顶点坐标为(4，号》：当抛物线向左平移5个单 =45 位长度时，平移后的抛物线的顶点坐标为（一6，》。 :四边形CDEF为矩形，∴，∠EFC=90°，∴∠EFB= 90°，∴∠BEF=∠B=45,.EF=BF. 9.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x一6) 设CF=xcm,矩形CDEF的面积为Scm2,则EF= (a≠0). BF=(2-x)cm. 把B(5,-6)代入，得a(5+1)(5-6)=-6.解得a ∴.S=CF·EF=x(2-x)=-(x-1)3+1, =1, .当x=1时，矩形CDEF的面积最大，最大面积为 抛物线的函数表达式为y=(x十1)(x一6)=x2一 1cm2. 5x-6. 3.10【解析】根据题意得抛物线经过点O(0,0),代入 (2)如图，连接AP,BP,过点P作 PD⊥x轴于点D,交AB于点E. 表达式y=-六c-20+长，得0=一00-20)r+ 设直线AB的表达式为y=kx十n D k,解得k=10, 将A(-1,0),B(5,-6)代人，得 仁+n=0:解得=一1：直线 六抛物线的表达式为y=一0(x一20)+10，顶点坐 5k+n=-6, n=-1, 标为(20.10)， AB的表达式为y=-x一1.设点P “发射石块在空中飞行的最大高度为10m 的坐标为(m,m2一5m一6)(-1<m<5),则点E的 坐标为(m,一m一1)， 4.解：(1)由题意可得，抛物线经过点(0,2)和(3,0. .PE=(-m-1)-(m2-5m-6)=-m2+4m+5, 把上述两个点的坐标代人二次函数表达式，得 5w=2PE(-)=-m+m+5)X = 2 解得 6=-3(m-2)2+27. 3 9a+3+c=0, 一3<0，∴.当m=2时，S△B取最大值，此时点P 2 的坐标为(2，一12). 10.解：(1)一次函数y=一3x+5和二次函数y=x一 与：之间的函数表达式为y=一子十：十是 4x十5不是“丘比特函数组”.理由如下： y=x2-4x+5=(x-2)+1,.二次函数图象的 0=-+x+号=--+2. 顶点坐标为(2,1). ∴.当x=1时，y取得最大值，此时y=2. 当x=2时，y=-3x+5=-1≠1， 故水流喷出的最大高度为2m. .一次函数y=-3x十5和二次函数y=x-4x+5 5.190【解析】设与墙垂直的边AB=xm,花园的面积 不是“丘比特函数组” 为Sm2,则BC=46-2x+2=(48-2x)m, (2)设二次函数y=ax2十bx十c的顶点坐标为(m,m .S=AB·BC=x(48-2x)=-2x+48x. +2). 由题意可知，48一2x≤10，∴.x≥19. 将(m,m+2)代入y=2x2-3x一4.得m+2=2m :二次函数S=一2x2十48x的图象的对称轴为直线 -3m-4,解得m1=3,m:=-1. 48 当m=3时，二次函数y=ax2++c图象的顶点 x=一2x-2=12,-2<0,当x>12时.5随x 坐标为(3,5)，则该二次函数的表达式为y=a(x- 的增大而减小， 3)2+5. ∴当x=19时，S大=19×(48-2×19)=190. :一次函数y=x+2的图象与y轴的交点为(0,2) 故这个花园的最大面积是190m2. ∴.将(0,2)代入y=a(x-3)2+5,得9a+5=2,解得 6.解：(1)①36 下田参考答案 ②将(2,6)，(4,8)代入y=ax2+x. 1 由题意，得0=(25-x-15)(8+2×4)=-2x 得/a+2b=6, 解得 a=-2 3)2+98. 116a+4b=8, b=4, .当x=3时，该服装店平均每天的销售利润最大，此 时每件的售价为25一3=22（元）. 六二次函数的表达式为y=一2+红 6.解：(1)(60+10x) 令-计=，解得，=0（不合题意，合去） (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得，(40-30一x)(60+10x)=630, 15 x2 整理可得，x一4.x+3=0, 解得x1=1,x:=3, 由于要让利于游客，x=1合去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利 (2)①8 润是630元. ②由(2)①可知，飞行的最大高度为8m, (3)W=(40-30-x)(60+10x)=(10-x)(60+ 根据顶点坐标公式，得4X(一5》×0一心 =8 10x) 4×(-5) =-10x2+40x+600=-10(x-2)+640. 解得=4√0（负值已舍去）. :-10<0, 7.解：(1)C(1,4),D(4,1),E(4,0) .当x=2时，W取最大值640，此时销售价为38元. (2)设直线BC的表达式为y,=kx十b(k≠0). 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是 将B(-1,1),C(1,4)代入， 640元. 3 7.D k= 得仁十6=1解得 2 8.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b, 1k+b=4, 2. b= 右0+8=18都得怡=2 3 5 “直线BC的表达式为n=乞x+2 y与x之间的函数关系式为y=一4x+324(30≤ ≤80，且x是整数). 由点C(1,4)得曲线CD的表达式为y=兰(x>0). (2)由题意，得e=xy一2000=x(一4x+324)一2000 x =-4x2+324x-2000. (3)设点M的横坐标为m,则点P的坐标为(m,2m 3 即U与x之间的函数关系式为U=一4x+324x一 2000(30≤x≤80，且x是整数). +2》∴MP=m 5 2m+2 (3)由(2)可知，w=-4x2+324x-2000=-4x- 3 四边形MNQP是矩形，.QN=MP= 2m+ 5 )'+456130≤：≤0，且z是整数>. ∴点Q的坐标为m5多知+》 :-<0当x-受时，物有最大值。 设矩形MNQP的面积为S, 又，x是整数，且30≤x≤80， 则S=PQ·MP=(5-m）·(受m+) ∴.当x=40或41元时，取最大值，最大值为4560. 故该彩院将电影票售价x定为40元或1元时，每天 -m+培》'+ 的利润最大，最大利润是4560元. 9.解：(1)-260 当m=一名时S最大.最大值为贸，即矩形MN (2)当1≤x<20时.W=pq=(-2x+60)(x+10)= -2x2+40x+600: ,121 QP的最大面积为2， 当20≤x≤30时，W=pg=30(x+10)=30x+300. 第2课时应用二次函数解决实际问题 综上，W= -2x+40x+600(1≤x<20), l30x+300(20≤x≤30). 1.C (3):W=-2x+40x+600,即W=-2(x-10) 2.C【解析】：该抛物线过原点，可设抛物线的表达 +800. 式为y=ax十bx(a≠0).由图可知，该抛物线过点 .当x=10时，W取最大值，最大值为800， (1,13),(2,24),代入并解得a=-1,b=14,.y= ∴当1≤x<20时.W<1000. 一x2+14x=一(x一7)十49.故该公司该年销售此款 电脑利润最大的月份是7月， 由30x+300>1000,得x>233 3.1504.B 20≤x≤30且x为整数， 5.B【解析】设该服装店平均每天的销售利润为心元， ∴.x可取24,25,26,27,28.29,30. 售价降低x元. .销售额超过1000元的共有7天 12 数学九年级BS版