2.4.1 圆形面积的最大值 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数在图形面积最值中的应用，通过细绳围矩形、抛物线形拱桥等实际问题导入，衔接二次函数性质前备知识，搭建“实际问题—函数模型—最值求解”的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其特色在于以生活情境为载体，培养数学眼光观察现实问题，通过建立二次函数模型发展数学思维，如矩形花圃面积问题中用顶点式求最值，强化模型意识与应用意识。课堂小结梳理转化关系与关键，助力学生系统掌握，教师教学可高效实施，提升学生解决实际问题能力。

2.4 .1 图形面积的最大值 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 知识点一：利用二次函数解决几何图形中的最值问题 1. (1)几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论； (2)根据几何图形的特征用含有未知数的代数式表示所求图形的面积，构建二次函数模型； (3)运用二次函数的图象与公式求函数的最大(小)值． 2. 在数学活动课上，同学们用一根长为100 cm的细绳围矩形．设矩形的一边长为x cm，面积为y cm2. (1)求y与x的函数关系式； (2)当x为何值时，所围矩形的面积最大，最大是多少？ 解：(1)y＝x(50－x)，即y＝－x2＋50x (2)配方，得y＝－(x－25)2＋625，当x＝25时，所围矩形的面积最大，最大面积是625 cm2 知识点二：利用二次函数解决抛物线型问题 3. 在实际问题中，存在着与抛物线的形状相关的图形，如抛物线型建筑物(拱门、桥洞问题等)、球的运动轨迹、喷泉喷出的水的轨迹等，都可以通过建立二次函数的模型来解决． 4. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降_______米，水面宽8米． 【典例导引】 5. 【例1】 用总长为a米的材料做成如图①的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②，则a的值是( ) A.9 B．8 C．6 D．不能确定 C A 7. 【例2】如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝－5t2＋30t. (1)当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面A处？ (2)求小球在运动过程中的最大高度． 解：(1)当h＝0时，－5t2＋30t＝0，解得t＝0或t＝6. 答：当小球运动的时间是6 s时，小球回落到地面A处 (2)h＝－5t2＋30t＝－5(t－3)2＋45， ∴当t＝3时，h最大＝45. 答：小球在运动过程中的最大高度为45 m 8. 在立定跳远时，起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分．从起跳到落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为y(m)，距离起跳点的水平距离为x(m).已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为0.4 m，距离起跳点的水平距离为1 m. (1)求该运动员立定跳远腾空路线的表达式； (2)求该运动员立定跳远落地时距离起跳点的水平距离． 解：(1)抛物线的顶点坐标为(1，0.4)， 设该运动员腾空路线的表达式y＝a(x－1)2＋0.4， ∵图象过(0，0)， ∴0＝a(0－1)2＋0.4，解得a＝－0.4， ∴函数表达式为y＝－0.4(x－1)2＋0.4　 (2)令y＝0，即0＝－0.4(x－1)2＋0.4，解得x＝0(舍去)或2， ∴该运动员落地时距离起跳点的水平距离为2 m 9. 【例3】 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成(如图所示).设矩形的一边AB的长为x米(要求AB＜AD)，矩形ABCD的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？ 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴CD＝AB＝x(米). ∵矩形除AD边外的三边总长为20米， ∴BC＝(20－2x)米． ∴S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x. ∵0＜x＜20－2x， ∴当x＝5时，S取最大值，最大值为50， ∴AB边的长为5米时，花圃的面积最大，最大值为50平方米 10. 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x米． (1)如果花园的面积为192平方米，求x的值； (2)如果在点P处有一棵树到墙CD，AD的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，直接写出花园面积的最大值． 解：(1)∵AB＝x米，则BC＝(28－x)米， ∴由题意得x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16. ∴x的值为12或16 (2)∵AB＝x米， 解得6≤x≤13.设花园的面积为S平方米， 由题意可得：S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196， ∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大， ∴当x＝13时，S最大值＝195， 即花园面积的最大值为195平方米 课堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 （二次函数的图象和性质） 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） 拱桥问题 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. eq \f(14,9) 【变式训练】 6. 如图，将一根长2 m的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是( ) A． eq \f(1,4)m2 B． eq \f(1,3)m2 C． eq \f(1,2)m2 D．1 m2 ∴0＜x＜ eq \f(20,3)， ∴S与x之间的函数关系式为S＝－2x2＋20x(0＜x＜ eq \f(20,3)) (2)∵S＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，0＜x＜ eq \f(20,3)， ∴BC＝(28－x)米．由题意可知， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6≤x，,15≤28－x，)) $$