2.1 二次函数-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第二章二次函数 1二次函数 要点提示 L.二次函数的定义：一般地，若两个变量xy之间的对应关系可以表示成y=ax十br十c(a,b,c是常数，a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.把y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)称为二次函数的一般式.ax2 虹，c分别是二次函数的二次项、一次项和常数项，其中Q,b分别是二次项系数和一次项系数 2.列函数表达式的一般步骤：(1)审清题意：(2)找出等量关系：(3)列函数表达式， O1固基础 D.常数项是20000 6.已知二次函数y=2x2十4x-1,它的二次项 知识点①二次函数的定义 系数为a,一次项系数为b,常数项为c,则y 1.(教材变式)下列各式中，y是x的二次函数 =cx2-a.x十b为 的是 知识点3建立二次函数模型 1 A.y=+2 7.粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域 发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆 B.y=x+1+1 柱形工件，记工件的底面圆半径为rcm,高 C.y=2x2-1 为hcm,工件体积为Vcm3. (1)当r是常量时，V是h的 D.y=√x-1 函数. 2.(2025上海徐汇区模拟)二次函数y=(m一 (2)当h是常量时，V是r的 1)x2十mx十1中m的取值范围是 ( 函数 A.m≠1 B.m=1 8.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 C.m>1 D.m<1 商品.若每件商品的售价为x元，可卖出(350 3.设y=y1-y2y与x成正比，y2与x2成 一10x)件，则销售这批商品所得的利润y(单 正比，则y是关于x的 位：元)与每件商品的售价x之间的函数关系 A.正比例函数 B.一次函数 式为 C.二次函数 D.以上均不正确 4.已知y=(k-3)x-I十x-3是y关于x ◆易错点对二次函数的条件考虑不全 的二次函数，则k的值为 9.已知y=(m-4)xm-m+2x2-3x-1 知识点2二次函数的一般式 (1)当m的值为 时，它是y 5.关于函数y=(500-10x)(40十x),下列说 关于x的一次函数. 法不正确的是 ( (2)当m的值为 A.y是x的二次函数 时，它是y关于x的 B.一次项是100 二次函数， C.二次项系数是一10 数学九年级BS版 02提能力 利润为心元，则心与x之间的函数关系式为 10.已知关于x的二次函数y=(m十n)x2十 / mn 2 一(m一n)x的二次项系数与一次项系 20 数的和为2，差为2，则常数项为 ( ) A. B.2 c 1820x(元/焦) 11.一副三角板按图所示的方式放置，点E在 BC上滑动，AE交BM于点D,EG交MC 于点F,且在滑动过程中始终保持EF= DE.若MB=4,设BE=x,△EFC的面积 为y,则y关于x的函数表达式为( A.y=23x B.y=25x+1 C.y=x(45-x)D.y=2x(45-x） 念O3拓思维 15.几何直观如下图，等腰直角三角形ABC的 直角边长与正方形MNPQ的边长均为 10cm,边CA与边MN在同一直线上.开 B E 始时点A与点M重合，让△ABC沿MW 第11题图 第12题图 方向以1cm/s的速度匀速运动，运动到点 12.如图，正方形EFGH的顶点均在边长为2 A与点N重合时停止，设运动的时间为 的正方形ABCD的边上.若设AE=x,正 ts,运动过程中△ABC与正方形MNPQ 方形EFGH的面积为y,则y与x的函数 的重叠部分的面积为Scm2. 关系式为 13.若函数y=(m-2)x"-m+8是y关于x (1)试写出S关于t的函数表达式，并写出 自变量t的取值范围。 的二次函数，则以m和4为两边长的等腰 (2)当AM=2cm时，重叠部分的面积是 三角形的周长为 14.(教材变式)某药店购进一批医用级消毒 液，进价为15元/瓶，出售时售价最低为18 元/瓶，且相关部门规定利润率不能高于 40%.该药店通过分析销售情况，发现这种 消毒液一天的销售量y(单位：瓶)与当天 的售价x(单位：元/瓶)之间满足一次函数 关系，其图象如下图所示 (1)求y与x之间的函数关系式， (2)设该药店某天销售这种消毒液所获得的 下册第二章∴.CD=DF+CF=30(km). 1 设BM=xkm,则DN=2xkm,CM=(20-x)km. 六△EFC的面积y=2x(4B-x) 在Rt△CMT中，CT=CM·cos∠MCT=(20-x)· 故y关于x的函数表达式为y=(4厅-x, cos60=(10-zx)km,MT=CM·sim∠McT= 12.y=2x2-4x+4(0≤x≤2)【解析】易证△AHE2 (20-·sis0r-(1ow5-号)km. △BEF,.AH=BE. AE=x,..AH=BE=2-x. ∴TN=CD-DN-CT=30-2x-(10-2x）= 在Rt△AHE中，，EH=AE+AH, y=x+(2-x)=2x2-4x+4,∴y与x的函数 (20-2)km 关系式为y=2x2-4x十4(0≤x≤2). 13.10或11【解析】由题意，得m-5m+8=2,且m- 在Rt△MNT中，由勾般定理得MN=MT+ 2≠0，.m=3.若以3为腰长，三边长分别为3,3， Nr20=(1o5-ξ)'+(20-号月 4,3+3=6>4,能组成三角形，符合题意，周长为3+ 3+4=10:若以4为腰长，则三边长分别为3,4,4,3 ∴x1=15-55,x:=15+55(此时大于C的长， +4>4>4一3，能组成三角形，符合题意，周长为4十 舍去)，∴.BM=15-55≈3.8(km). 4+3=11.综上，等腰三角形的周长为10或11. 答：甲无人机飞离B处约3.8km时，两无人机可以 14.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b(k≠ 开始相互接收到信号. 0). 第二章二次函数 将(18,24)，(20,20)分别代入y=kx+b, 1二次函数 得86士6=解得=一2， 120k+b=20, 1b=60. 1.C2.A3.C4.-15.B6.y=-x2-2x+4 7.(1)一次(2)二次8.y=-10x2+560x-7350 :利涧率不能高于40%，5<0%。 9.12（24或+5或一5或-1或0或1 解得x≤21. 2 或2 故y与x之间的函数关系式为y=一2x十60(18≤x 【程指水油题套：得C广什2。 解得m=2. ≤21). (2)=-2x2+90x-900(18≤x≤21) 故当m的值为2时，它是y关于x的一次函数. 15.解：(1)：△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ (2)可分以下四种情况讨论： 是正方形， ①当m一4=0时，解得m=4: ∴·△AMR是等腰直角三角形， @当1时解得-1二5 1 2 .MR=AM=1 cm::S=S=7AM MR= ③当仁一什2时都得瓜=-1： 1 1 21·1=z1产(0≤1≤10. ④当m-m=0时，解得m1=0,m,=1. (2)2cm2 除上所述当m的值为4发中护我袁-1我0 2二次函数的图象与性质 或1时，它是y关于x的二次函数. 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的 10.A 图象与性质 11.D【解析】如图，过点F作FH⊥EC于点H,则 1.A2.C3.C4.C ∠FHE=90°，∴.∠FEH+∠EFH=90°. 5.解：(1)-9 ∠DEF=90°， (2)由(1)可知，点A的坐标是（一3，一9）， ∴.∠DEB+∠FEH=90°， ∴，点A关于y轴的对称点B的坐标是(3，一9)， ∠EFH=∠DEB. 点A,B关于x轴的对称点C,D的坐标分别是 在△DEB和△EFH中， (-3,9).(3.9). ∠B=∠FHE, 对于抛物线y=x,当x=一3时，y=9:当x=3时，y ∠DEB=∠EFH, =9, DE=EF. ∴C,D两点在抛物线y=x上 △DEB≌△EFH(AAS),∴BE=HF. 6.0-97.A BE=x...HF=x. 8.C【解析】，y=x,∴该函数图象开口向上，对称轴 MB=4,∠B=90°，∠C=30°， 为y轴.当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0 Bc--6, 时y随x的增大而减小.：当y=1时，x=土1：当y =9时，x=士3，∴.当1≤y≤9时，自变量x的取值范 .EC=BC-BE=4√3-x, 围是一3≤x≤一1或1≤x≤3. 下册参考答案