1.6 利用三角函数测高-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

AD CD-tanZACD~25 m. ∠C'N'M=∠BAC'=37°.在Rt△ABC中，BC= AB MN 如图，过点F作FM⊥底基A6m一小心碰头 am30=5AB.在Rt△CNM中，CM=am30= CD于点M, √5MN≈1.73×2=3.46(m).在Rt△C'N'M中， 过点E作EN⊥AD于 9 B层， C'M=M'N'·tan37°≈2×0.75=1.5(m）.在 点N, Rt△C'BA中，C'B=AB·tan37≈0.75AB,而MM 设FM=DN=xm,则 =BC-CM-(CB-C'M),即月AB-3.46- AN=(9-x)m. AE段和FC段的坡度i=1:2, (0.75AB-1.5)=30,:AB 30+3.46-1.5≈ 5-0.75 .CM=2xm,NE=2(9-x)=(18-2x)m 33(m).故古塔的高度AB约为33m. ∴.CM+NE=2x+18-2x=18(m), ∴.EF=CD-(CM+NE)=7m. 8.解：(1)88.00 答：平台EF的长度约为7m (2)延长PQ交MN于点T,过 点G作GH⊥NM于点H,过点 4.B 5.解：由已知得，∠ECA=29.5°，∠FCB=45°，CD= P作PR⊥GH于点R,如图①， 则四边形PRHT是矩形， 40 100,EF∥AB,CD⊥AB, ..RH=PT. ∴.∠A=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， :坡度i=1:5,且MQ= ∴.BD=CD=100. 39m, 在Rt△ACD中，∠CDA=90,tamA=C2 .设QT=xm,则MT=√3xm QTi+MT=MQ..+3x)=39. anM0.57≈175.4. CD100 解得x=19.5(负值已舍去)， ∴.QT=19.5m. ∴.AB=AD+BD=175.4+100≈275， PQ=1.65m, 即建筑物A,B之间的距离约为275m. ,.PT=PQ+QT=1.65+19.5=21.15(m), 6.解：(1)过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥ .RH=21.15m. AB于点E,如图. 在Rt△GPR中，∠GPR=40°，PG=105m, 在Rt△ABD中，sinB= AD .GR AB 六PG=sim40, ∴.AD=c·sinB. ∴.GR=PG·sin40°≈105×0.64=67.20(m), 在Rt△ACD中，：sin∠ACD= AD .GH=GR+RH=67.20+21.15=88.35(m). AC 88.35>88.00, ∴.AD=b·sin∠ACD, ∴小明放的风筝离水平地面更高。 c·sinB=b·sin∠ACD, 【解析1)如图②，过点A作AE⊥DC于点E,过点B sinB sin∠ACD 作BF⊥AE于点F, 同理可得 a snB=sn∠CAE 则四边形BDEF为矩形 ∴.EF=BD=1.5m. a b c 六sin∠CAE-nB-in∠ACD 在Rt△ABF中，∠ABF=60°，AB= 100m, 即品-c b (2)根据题意，得∠BAN=90°-25°=65°，∠BNA= =sin∠ABF, D 90°-35°=55°，∴∠B=180°-65°-55°=60. =50g 六AF=AB·Sm60°=10x5 ② AN 由)的结论得B乙W砌 AB 207 sin60sin55* ≈86.50m ∴.AN≈207X 6÷0.82≈218.36(m ∴.AE=AF+EF=86.50+1.5=88.00(m) 故妹妹的风筝离水平地面的高度约为88.00m 在R△AMN中，：tan∠MAN=AN, MN 本章小结 1.D2.C3.D4.C5.426.78 ∴MN=218.36×tan30°≈125.9(m). 故塔的高度MN约为125.9m. 12 1. 【解析】如图，过点E作EG⊥AB于点G,则GE 6利用三角函数测高 5 1.52.113.D4.(6+33)5.D6.25 =AD=3 7.33【解析】由题意可知，MN⊥BC.M'N'⊥BC ∠EGP=∠B=∠EPF=90°， ∠NCM=30°，∠N'C'M'=53°，MN=M'N'=2m,则 ∴.∠GEP+∠GPE=90°，∠BPF+∠GPE=90°， 下册参考答案6 利用三角函数测高 要点提示 1.测量底部可以到达的物体的高度：如图①，按照AB=AE十BE=a·taa十b的关系式，即可求得物体的 高AB. 2 Bb A 图① 图② 2.测量底部不可以到达的物体的高度：如图②，按照MN=tae:taE+a的关系式，即可计算出MN的 tang-tang 高度 O1固基础 知识点2测量底部不可以到达的物体的高度 3.如图，某数学兴趣小组用无人机测量塔AB 知识点1测量底部可以到达的物体的高度 的高度，先将无人机垂直上升至跟水平地面 1.如图，高度为16.5m的建筑物AB楼顶上 142m的P点，测得塔顶端A的俯角为37°， 有一避雷针BC,在此建筑物前方E处安置 再将无人机面向塔沿水平方向飞行210m到 了一个高度为1.5m的测倾器DE,测得避 达Q点，测得塔顶端A的俯角为45°.塔AB 雷针顶部C的仰角为45°，避雷针底部B的 的高度约为（参考数据：tan37°≈3 ,sin37°≈ 仰角为37°，避雷针BC的长度约为 3 () m(结果精确到1m,参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). A.48m B.50m C.51m D.52m P 0 3745 D37 第1题因 第2题图 第3题图 第4题图 2.(教材变式)如图，小明为测量校园里一棵大 4.小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度」 他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在 树AB的高度，在树底部B所在的水平面内， 平静的湖水中，如图所示.他在点O处测得 将测角仪CD竖直放在与点B相距8m的位 小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中 置，在点D处测得树顶A的仰角为52°.若测 倒影A'的俯角为60°.已知点O到湖面的距 角仪CD的高度是1m,则大树AB的高度约 离OD=3m,OD⊥DB,AB⊥DB,A,B,A'三 是 m(结果精确到1m,参考数据： 点共线，A'B=AB,则小山的高度AB约为 sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28). m(光线的折射忽略不计). 下册第一章 02提能力念 03拓思维 5.如图，某校兴趣小组的同学为测量楼高AB, 8.(2025乐山一模)周末，小明的父母带着他和 从点C处测得该栋建筑物顶点A的仰角为 妹妹一起去湿地公园放风筝.如图①，妹妹 45°，沿着斜坡CD向上走30√5m到点D 的身高BD为1.50m,风筝线AB(近似的看 处，测得顶点A的仰角为22°.已知CD的坡 作直线)与水平地面构成60°角，AB=100m 度i=1：2,点A,B,C,D,E在同一平面 如图②，小明的身高PQ=1.65m,风筝线长 内，则楼高AB约为（参考数据：sin22°≈ (近似的看作直线)PG=105m. 0.37,c0s22°≈0.93，tan22°≈0.40)( 40F B660 D i N 第5题图 图① 图② A.60m B.70m (1)妹妹的风筝离水平地面的高度约为 C.80m D.90m m. 6.某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓 (2)小明勇于挑战，把放风筝的位置选在一 解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交 个坡度i=1:√5的斜坡上，且坡长MQ= 警大队在主要路口设置了交通路况指示 39m,风筝线与水平面构成40°角.小明和妹 牌（如图），小明在离指示牌水平距离3m 妹谁放的风筝离水平地面更高？（结果保留 的点A处测得指示牌顶端点D和底端点 两位小数，参考数据，sinm40°≈0.64，c0s40°≈ E的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌 0.77,tan40°≈0.84,5≈1.73) 的高DE为 m B 第6题图 第7题图 7.如图，为了测量某古塔AB的高度，小明将 一根2m长的竹竿(MN=2m)立在M处， 当塔顶A点、竹竿顶点N以及地面C点在 同一条直线时，测得∠NCM=30°，然后小 明将竹竿向前移动30m(MM'=30m),当 点A,N',C共线时，测得∠N'C'M'=53 古塔的高度AB约为 m(结果精 确到1m,参考数据：√5≈1.73，sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75). 数学九年级BS版