1.4 解直角三角形-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

4 解直角三角形 要点提示 1.直角三角形的边角关系：如右图，在Rt△ABC中，∠A,∠B为锐角，∠C=90°，∠A,∠B, ∠C所对的边分别为a,b,c.其中除∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：(1)三边之间 的关系：a2十b2=c2(勾股定理)：(2)锐角之间的关系：∠A十∠B=90°：(3)边角之间的关 系：sinA=cosB=a .cosA =sinB=b ，anA=号，tamB= 2.解直角三角形的常见类型：(1)已知两边（两条直角边或一条直角边和斜边）：(2)已知一边和一礼角， 。。。 O1因基础 。。。。。。 知识点2已知一边和一锐角解直角三角形 4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60 知识点1已知两边解直角三角形 AB=10,那么BC的长为 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=4. 5.如右图，在Rt△ABC中， 欲求∠A的度数，最适宜的做法是( ∠C=90°，∠B=25°，b= A.计算tanA的值求出 B250 10.解这个直角三角形（边 B.计算sinA的值求出 长精确到0.01). C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B,再利用90°-∠B 求出 2.-题多解法在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c,∠C=90°，a=5,c =5√2，则∠B= ,b= 6.如下图，在△ABC中，AD是边BC上的高， 3.(教材变式)在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.根 sinC= 2,tanB= 2AD=2 据下列条件求出直角三角形的其他元素 (1)求cos∠BAD的值. (1)已知a=6,b=2√5 (2)求△ABC的面积. (2)已知a=24,c=24√2. 下册第一章 02提能力多… 为AD边上的中线. (1)求AC的长. 7.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，∠B= (2)求tan∠FBD的值. 30°，BC=6,AD平分∠CAB交BC于点D, E为边AB上一点，则线段DE长度的最小 值为 ( ) A.√瓦 B.5 C.2 D.3 B a 第7题图 第8题图 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB= 20,延长AB至C,连接OC,OC与x轴 所夹锐角为a.若OC2=BC·AC,tana=3, 则点C的坐标为 ( 03拓思维 A.(-2,6) B.(-3,9) c(-) n(-号9 12.创新意识【探究】 (1)如图①，在△ABC中，∠A=a(0°<a< 9.如图，∠A=60°.若△ABC的顶点B在射线 90),AB=c,AC=b.试用含b,c,a的式 AM上，且AB=2,点C在射线AN上运 子表示△ABC的面积. 动.当△ABC是锐角三角形时，BC的取值 【应用】 范围是 (2)如图②，在□ABCD中，对角线AC, N BD相交成的锐角为B.若AC=a,BD= d,请直接用含a,d,B的式子表示口AB- 60 CD的面积. B M 图① 图② 第9题图 第10题图 10.(教材变式)如图①，圆规两脚形成的角a 称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长 图① 图② 均为10cm,将圆规直立放置，从两脚并拢 到形成最大的张角，圆规的高度下降了 7.4cm,圆规形成最大张角的示意图如图 ②所示.圆规的最大张角的度数约为 (参考数据：sinl5°≈0.26， cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27). 11.-题多解法如下图，在△ABD中，AC⊥ BD.BC-8.CD=4.c0sZABC-BF 数学九年级BS版3三角函数的计算 8.C【解析】如图，过点C作CD⊥x 1.(1)0.45(2)0.52(3)0.642.A 轴，垂足为D.OC=BC·AC,C 3.(1)43954”(2)733025”(3)6711'32 ÷瓷-瓷：LAc0=∠00. a 4.B5.1406.36°7.A8.A9.74 10.解：过点B'作B'C⊥AB于点C,如图. ∴.△CBO∽△COA,∴.∠CAO=∠COB.∠COB+ 在Rt△CAB'中，∠ACB=90°，∠CAB'= ∠COD=90°，∠CAO+∠AB0=90°，∴∠AB0= 15°，AB'=1.2m, coD=g.tano=3.tanZABO=O=3.A0 .CB'=AB'·sinl5≈0.31(m). 故点B到AB的最大距离约为0.31m. =3BO.在Rt△AB0中，AO2+BO=AB,9B0 B'L...C 11.解：(1)3.3 +BO=40,∴.B0=2,∴.AO=3BO=6.在Rt△CDO OC OC CD (2)在Rt△OBC中，BC= tan∠0BC≈3.08 中，tana=D0=3.CD=3D0.“∠CD0=∠B0A 在Rt△OAC中，OC=AC·tanA≈(3+BC)·0.60. 90,∠BA0=∠CAD,△BAO∽△CAD装 0C=(3+)0.60解得0C2.2m 2 6 故该设备的安装高度OC约为2.2m. -品品=60n0m=子G0=0- 4解直角三角形 c(是》 1.c 9.5<BC<25 245”5【得折aoB=名-号 ,∠B=45 10.150°【解析】如图，过点A作AD ⊥BC,垂足为D.由题意，得AD= 在Rt△ABC中，由勾股定理得b=√-a7=5. D 10-7.4=2.6(cm).在Rt△ABD 一题多解法 =0.26,.∠B “smA=只= =号∠A=45,∠B=90°- 中，∠B是经角nB=铝-治 ≈15.：AB=AC,∴.∠C=∠B=15°，∴.∠BAC= c ∠A=45°，.∠B=∠A,∴b=a=5. 180°-15°-15°=150°，即圆规的最大张角的度数约 为150. =5, 3解：I)在R△ABC中.tamA=方=2G 1.解：1)：AC1BD,cos∠ABC=号，AB= ∴∠A=60°，∠B=90°-60°=30 BC =8=10.AC=√AB-BC=6, .c=2b=2X25=45. COSZABC= 5 (2)在Rt△ABC中，b=-aF=24. (2)如图，过点F作FE⊥BD于 ÷tamA=号=1LA=∠B=45 点E. BF为AD边上的中线，点F是 4.5 AD的中点， 5.解：∠C=90°，∠B=25, FE⊥BD,AC⊥BD,∴FE∥AC, ∴∠A=90°-∠B=90°-25°=65. .CE=DE=2,FE是△ACD的中位线， :b=10,n25°=么.tan25=力 FE 33 c 六FE=zAC=3,tan∠FBD=BE=g十2=0 b ·.c=25s23.66:a二an25≈21.45. 一题多解法 故∠A=65°，c≈23.66，a≈21.45. (2)如图，连接CF,过点F作FE 6.解，1：在R△ABD中，mB=品-分AD=2 ⊥BD,垂足为E.在Rt△ACD 中，AD=AC+CD=2√13. ∴.BD=4,∴.AB=AD+BD=25, :BF为AD边上的中线，∴点 io∠BAD-把-5 F为AD的中点CF=FD=乞AD=E。 em0-号∠c=46 :△CFD为等腰三角形，FE⊥CD,.CE= AD 2CD=2,在R△EFC中，EF=VCF-CE tanC=CD=1.AD=2.CD=2. =3, ∴Bc=BD+CD=6∴5Ar=2AD·BC=6. EF 33 ∴.tan∠FBD= BE=8+2=10 7.C 下册参考答案 12.解：(1)如图①，过点B作BD⊥AC于点D, 3 则∠ADB=90°. 六AB=sn4F=3E(km. 'AB=c,∠A=a, 故该船航行的距离为3√瓦km. ∴.BD=AB·sina=csina, 6.C 1 .S△ABe= 2AC·BD=2 sina. 7.137【解析】如图，过点B作AD的 C上…yB 垂线，交DA延长线于点C. 1 (2)Souc=adsing. 由题意得AD=50m,∠BAC=60°， ∠D=45 50 【解析】(2)如图②，过点D作DH⊥AC于点H,则 设AC=xm,则CD=AC+AD=(xD ∠DHO=90°. +50)m. :四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△BCD中，BC=CD·tanD=(x+50)m 0D=2BD=2d. 2 在Rt△ABC中，BC=AC·tan∠BAC=√3xm, :∠DOH=B, cOsZBAC=2x m.50=x AC AB= 1 ∴DH=OD·sing=dsing, 解得x=25√5+25，则AB=2x=50√5+50≈137 11 (m). 六Saem=zAC,DH=2a·dsing=-7 ad sin3, 8.解：(1)：∠CAB=30°，BC=9m, ∴.AB=9√5m,即BF=95+35=125(m. 六Saam=25am=2adsing. :AC∥DF, 5三角函数的应用 .∠DFB=∠CAB=30°， 第1课时方向角问题 .DB=BF·tan∠DFB=12m, .DC=12-9=3(m). 1.C2.D3.(20+203) 故看台顶端C与挡雨橱端点D之间的距离CD 4.解：(1)如图，过点B作BM⊥AD,垂足为M. 是3m. :AC⊥AD,∴.BM∥AC, 北 (2)过点E作EG⊥DF于点G,如图. BM BD ÷△BDMn△CDA.∴CX=CD 由(1)，得∠DFB=30°.DB= 12m, 5 DC=7BD.AC=6, ∴.DF=2DB=24m. .BM 2 12 设FG=xm. 6、 心BM=5 EF⊥FB, 12 ∠EFG=90°-30=60 BM 5 3 :∠MDE=75°，∠FDB=60, 在Rt△ABM中，sin∠BAD= AB=AB*写 .∠EDG=180°-75°-60°=45° AB≈4. 在Rt△EFG中，EG=√5FG=√5xm, 故岛A与港口B之间的距离约为4km. ∴在Rt△EDG中，DG=EG=√5xm, (②)在R△ABM中，AM=AB·cos37°≈4X4=15. ∴.x+3x=24,解得x=12(5-1), DM BD 2 .EF=2FG=24(5-1)≈16.8(m). :△BDMn△CDA一D六=CD=亏 16.8>16.5,这一设计符合要求. AD=号AM=号-9 第2课时仰角、俯角及坡度问题 1.13000m 16 2.解：如图，过点D作DG⊥AF,垂足为G. 在RaAC中mC=记-名-号 设EG=xm,则FG=(x+2.2)m. 在Rt△EGD中，DG=EG·tan53°≈ 5.3√2km【解析】如图，过点A作AC⊥OB于点C. 依题意，得∠AOB=30°，∴∠B= 3xm. 180°-30°-90°-15°=45° 在R△DFG中，an5-F元 DG =1 AC⊥OB, .∠ACO=∠ACB=90° 60 4 六DG=FG.3x=x+2.2,解得x=6.6, 在Rt△OCA中，AC=乞OA=2 .DG=FG=6.6+2.2=8.8(m), ×6=3(km). ∴灯管D距地面AF的高度约为8.8m. 3.解：(1)不会 在Rt△ACB中，sinB= AC AB' (2)在Rt△ACD中，AD=9m,∠ACD=20°， 数学九年级BS版