1.2 30°，45°，60°角的三角函数值-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

230°，45°，60°角的三角函数值 要点提示 30°，45°，60°角的三角函数值： 角a 30 45° 60 sina 2 2 2 cos 2 2 tang 3 1 O1固基础 知识点3特殊角的三角函数值的实际应用 知识点①30°，45°，60°角的三角函数值 4.如图，测量河宽AB(假设河 的两岸平行)，在C点测得 1.（2025广州模拟)下列实数中，是无理数的是 ∠ACB=30°，D点测得 D ( ∠ADB=60°，若CD= 第4题图 A.sin45 0 b.7 60m,则河宽AB为 m. C.cos60 D.3.3030030003 5.(教材变式)如下图，在高BC为2m、斜坡面 2.计算： 与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯.若楼 (1)(2025泸州)（√2+1）°+(-1)2025-√4 梯宽为2m,需铺地毯的面积为(4√5十 +3tan45°. 4)m2.求∠a的度数 2sin60°-tan45° (2 2-1an30°·tan60-2c0s30+6sin245. P易错点 误认为半角的三角函数值等 知识点2由特殊角的三角函数值求角度 于三角函数值的一半 3.（2025毫州模拟)若tan(a十20)=1，则锐角 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC a的度数应是 ( =5,则sin 2 A.40°B.30° C.25° D.10 下册第一章 02提能力)念 60°，计算点A到地面的距离. (2)在一次操作中，中臂BC与底座CD成 7.若一个三角形的三个内角度数比为1：2：3， 135°夹角，上臂AB与中臂BC的夹角为 则这个三角形最小角的正切值为 105(如图③).计算这时点A到地面的 A日 c. 3 D③ 距离 8.(教材变式)如图，在△ABC中，∠A=30°， amB5,4C=23,则AB A.3+5 B.2十25 图① 图2 图③ C.5 D. 第8题图 第9题图 9.如图，已知线段AB=2,C是线段AB上一 动点，△DAC和△ECB都是等边三角形， M是CD的中点，N是BE的中点，则线段 MN的最小值为 ( ) A号 g号 C.2 10.如图，在口ABCD中，∠D =60°.以点B为圆心，以 BA的长为半径作弧交边 BC于点E,连接AE.分别 第10题图 以点A,E为圆心，以大于2AE的长为半径 作弧，两弧交于点P,作射线BP交AE于点 O,交边AD于点F,侧罡的值为 03拓思维) 11.图①是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座 12.如图，一块四边形土地，其中 三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动， ∠B=120°，AB⊥AC,BD1 底座与水平地面垂直.在实际运用中要求 CD,AB=30√5m,CD= 三部分始终处于同一平面内，其示意图如 图②所示.经测量，上臂AB=12cm,中臂 50m,则这块土地的面积第12题圈 BC=8cm,底座CD=4cm. 为 m2. (1)若上臂AB与水平地面平行，∠B= 数学九年级BS版=5AD. 又'Sae=Sanw+SaDc, 二气，品BD=2AB=AD+D=3+2动 .24=3AD+5AD,.AD=3 9.D【解析】如图，取AC的中点G, 在Rt△ABD中，BD=AD+AB=√3+6 BC的中点H,连接MG,NH,则 35∠ABD-品-。-号 MG∥NH,∠NHB=∠ECB =60°， 2 当MN为MG与NH之间的距离 12.解：I)在Rt△DEA中，DE=2,simA= 时，MN最小. AD-DE=3. 过点G作GF⊥NH,交NH的延长线于点F. sinA 又DB=9.AB=DB+AD=12. :GC=2AC,CH=2CB.∴GH=号AB=×2 =1. 在R△ABC中，AB=12,A-号， 在Rt△GFH中，∠GHF=∠NHB=60°， =AB·A=12X号=8 G你=GH60=1x9-9 (2)由(1)可知，AD=3,AB=12,BC=8,.AC= 10.√5 VAB-BC=45.AE=AD-DE=5. 11.解：(1)如图①，过点C作CM⊥AB,垂足为M,则 ∴.CE=AC-AE=4V5-5=35, M,C,D三点在同一直线上，∠BMC=90°. :∠B=60°，BC=8cm, ∴CD=√CE+DE=√(35)+2=7. ∴.CM=BC·sinB=4√5cm, 在R△DEC中o∠CDE-8器-号 ∴DM=CM+CD=(4√5+4)cm,即点A到地面的 DE⊥AC,∴∠DEA=∠ACB=90°，DE∥BC, 距离为(43+4)cm ∴LCDE=∠BCD,ios∠BCD=cos∠CDE=号 M 230°，45°，60°角的三角函数值 1.A 图① ② 2.解：(1)原式=1-1-2+3=1. (2)如图②，过点B作BG垂直于地面，垂足为G,分 2x9-1 别过点A,C作BG的垂线，垂足分别为E,F,则四 (2)原式= 边形CDGF为矩形. 2-5x :∠BCD=135°，∴.∠BCF=∠BCD-∠DCF=45, 3 ∴.∠CBF=180°-∠BFC-∠BCF=45°=∠BCF. -号-万+6x 1 ·BF=CF= 乞BC=4VEcm =5-1-5+3 又：∠ABC=105,.∠ABF=∠ABC-∠CBF=60, =2. ∴BE=AB·cos∠ABF=6cm, 3.C4.305 这时点A到地面的距离EG=BF十FG一BE= 5.解：由题意，得C+AC=5+4=(2,后+2)m, BF+CD-BE=4√2+4-6=(4√2-2)cm 2 12.24005【解析】如图，延长CA,DB交 .AC=(25+2)-2=25(m). 于点P. BC 2 ∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥CD, 在R△ABC中.ta0-AC2万=学，∠a=30 ∴∠C=60°，∠ABP=60°. BC 6.乞【解析】在R△ABC中，inA=历=乞 '在Rt△CDP中，tamC=PP. C元，CD= A 1 50√5m ∴∠A=60',.sin2=sin30=2 :.PD=CD tanC=503X3=150(m). 7.c 8.C【解析】如图，过点C作CD⊥ 在RAPAB中，a∠ABP=AB=30后m AB于点D,∠ADC=∠CDB= ∴.PA=AB·tan∠PBA=30W3×5=90(m), 90°.在R:△ACD中，∠A=30°， AC=25,∴CD=AC·sinM= i.Smaw-5gm-Sam0X19 √5，AD=AC·cosA=3.在Rt△BCD中，tanB= CD ×305×90=24005(m2). BD 故这块土地的面积为24005m2 数学九年级BS版