1.1 第2课时正弦和余弦-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第2课时 正弦和余弦 要点提示 1.正弦、余弦与三角函数的定义：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠A的对边与 B 斜边的比叫微∠A的正：，记作A,即mA=∠A的对边=二」 斜边c ∠A的 斜边 对边a (2)如图①，在R△ABC中，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余，记作 之A的你边6 csA,即0A=∠A的年边-么：（3)锐角A的正程，金程和正物都是∠公 图① 图@ 斜边 的三角函数 2.梯子的倾斜程度与三角函数值的关系：如图②，如采AB表示靠墙倾斜的梯子，那么ta∠BAC的值越大，梯 子越徒：sin∠BAC的值越大，梯子越徒：cos∠BAC的值越小，梯子越徒. O1固基础念 (1)求AB的长 (2)求sinA,cosA,tanA的值. 知识点①正弦和余弦 1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=2√E, AB=3,则cosA的值为 () 号 C.3 n号 2.(2025云南)如图，在Rt△ABC中，∠C= 知识点3梯子的倾斜程度与三角函数值的关系 90°.若AB=13,BC=5,则sinA=( 5.如图，梯子与地面所成的锐角为a,关于a的 A 1 1 5 B.12 C.13 D.13 三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系， 下列叙述正确的是 () A.sina的值越小，梯子越陡 ICME-7 B.cosa的值越小，梯子越陡 图① 图② C.梯子的长度决定倾斜程度 第5题图 第2题图 第3题图 D.梯子的倾斜程度与a的三角函数值无关 知识点2锐角三角函数 3.图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会 ●易错点不能正确构造直角三角形而 徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角 误用正弦 角形，恰好能组合得到图②所示的四边形 6.如图，在4×5的网格中，每 OABC.若AB=BC=1,OC=5,则 个小正方形的边长都是1， sin∠OBA的值为 ( △ABC的顶点都在小正方 第6题因 A B司 D 形的顶点上，sin∠ACB的 值为 4.(教材变式)已知△ABC中，∠ACB=90° AC=12,BC=15. 5 5 D.5 44 下册第一章 念O2提能力 …… (2)过点D作DE⊥BC于点E,补全图形， 并求sin∠ABD的值. 7.(教材变式)在Rt△ABC中，∠ACB=90° 3 若AB=4,inA=亏，则AB边上的高CD 为 ( 12 A.5 B. c D. 8.如图，在菱形ABCD中，AE⊥ BC于点E,EC=4,osB= ·则菱形ABCD的面积是 5 第8题图 ( ) A号 B.5 C.39 D.40 9.（2025抚州模拟)如图，在矩形ABCD中， AD:AB=3:5,把矩形ABCD沿对角线 …03拓思维心 AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点 12.运算能力如下图，在Rt△ABC中，∠ACB E.cos∠DAE的值为 2 =90°，sinA=3,点D,E分别在边AB, AC上，且DE⊥AC于点E.若DE=2, DB=9,求： (1)BC的长 第9题图 第10题图 (2)cos∠BCD的值. 10.古代数学文化如图所示的是我国数学家赵 爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形 与一个小正方形拼成的一个大正方形.若 小正方形的面积为1，大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为a,则cosa 的值为 11.如右图，在Rt△ABC中， ∠CAB=902.cosC=g,AC =8,BD平分∠CBA交AC 边于点D (1)BC= .AB= 数学九年级BS版▣ 参考答案 第一章 直角三角形的边角关系 第2课时正弦和余弦 1锐角三角函数 1.A2.D3.C 第1课时正切 4.解：(1)，∠ACB=90°，AC=12,BC=15, 1.A2.B ∴.AB=AC+BC=3√T. 3解：在R△ABC中，amM=-5 BC155√I AC- (2)sinA= AB3√石41 ∴.可设AC=12x,BC=5x, ∴AB=AC+BC=√12x)+(5x)F=13x=26, A指片=1M=瓷-招- AC_12-4 解得x=2, 5.B6.D7.D ∴.AC=12x=24,BC=5x=10. 8.C【解析】设菱形ABCD的边长为x,则AB=BC= 故AC和BC的长分别是24,10. x.EC=4,∴BE=x-4. 4.乙5.C6.A7.1：18.D9.C :AE⊥BC,∴∠AEB=90 10.10或25【解析】当∠C=90°时，tan∠ABC=2= 在Rt△ABE中，cosB= AC 2 .AB=AC+BC,AB=5AC=25(舍去 负值.当∠A=0时，m∠ABC=6=2.:AB= 经检验一号是原分式方程的解，且符合题意。 5,.AC=10. =号-4= 1 在Rt△ABE中，AB=BE2+AE. ,【解析】如图.连接AB交OC 即（受）=（受）‘+AEAE=6, 于点D. 由题意知，OA=OB=2,AC=BC 13. ·菱形ABCD的面积是？X6=39. =6, OC垂直平分AB,.OC⊥AB,BD 9.号【解折1令AD=3a,则AB=50,由图折可知。 -AB. ∠EAC=∠BAC :∠AOB=60°，∴.△AOB是等边三角形， 四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD,CD=AB=5a, ∴.∠DCA=∠BAC,∴.∠DCA=∠EAC,∴.AE=EC. ..AB=AO=0B=2...BD=1. 令DE=x,则AE=EC=5a-x. ∴CD=/BC-BD=5. 在Rt△ADE中，DE2+AD=AE, 在Rt△BCD中，tan∠BCO= BD_1-5 即x2+(3a)2=(5a-x)2, 8 8 17 12.解：(1)5 ..x=- a.DE= aAE= 5a BC 3 (2):在R△ABC中，tanA=AC= 在R△ADE中，os∠DAE=P=3a=5 AE 17 imM-瓷- 13.解：(1)DF垂直平分BC,.BD=CD, 10.号 △ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+ 11.解：(1)106 CD=AB+AC. (2)补全图形如图. CE=AB.∴.△ABD的周长=CE+AC=AE=1. ∠CAB=90°..DA⊥AB. (2:AD=宁BD设AD=,则BD=3 :DE⊥BC,DA⊥AB,BD平分 ∠CBA,AD=ED. BD=CD=3x...AC=AD+CD=4x. .AB=6,AC=8,BC=10 在Rt△ABD中， AB=√BD-AD=V√3x)-x=2√Ex, S=2AB·AC=7X6X8=2.5A= 从在R△A中n2Ax-益一-后=E zAB,AD=3AD.Sam=号C·DE=5DE 下册参考答案 =5AD. 又'S△Be=S△B十S△DBc, BD=2.AB=AD+BD=3+2=5 .24=3AD+5AD,∴.AD=3. 9.D【解析】如图，取AC的中点G, 在Rt△ABD中，BD=√AD+AB=√3+6= BC的中点H,连接MG,NH,则 36∠AD-始-G-9 MG∥NH,∠NHB=∠ECB =60°， 2 当MN为MG与NH之间的距离 12.解：a)在Rt△DEA中，DE=2,sinA= 时，MN最小. ÷AD=DE=3. 过点G作GF⊥VH,交NH的延长线于点F. sinA 又DB=9,∴AB=DB+AD=12 GC=分AC.CH=2CB.GH=2AB=2×2 =1. 在Rt△ABC中，AB=12,sinA=名 3 在Rt△GFH中，∠GHF=∠NHB=6O°， 度=AB·mA=12X号=8 GF=GH60=1x号-9 (2)由(1)可知，AD=3,AB=12,BC=8,∴AC= 10.5 √AB-BC=45,AE=√AD-DE=5, 11.解：(1)如图①，过点C作CM⊥AB,垂足为M,则 CE=AC-AE=45-√5=35， M,C,D三点在同一直线上，∠BMC=90°. ∠B=60°，BC=8cm, ∴CD=√CE+DE=√W(35)+2=7. 在R△DEC中o∠CDE=器=号 ∴.CM=BC·sinB=4√5cm, ∴.DM=CM+CD=(4√+4)cm,即点A到地面的 :DE⊥AC,∴∠DEA=∠ACB=90°，∴DE∥BC. 距离为(45+4)cm. ∴∠CDE=∠BCD.ies∠BCD=LCDE=号 230°，45°，60°角的三角函数值 1.A 图① 图② 2.解：(1)原式=1-1-2+3=1. (2)如图②，过点B作BG垂直于地面，垂足为G,分 2x9- 别过点A,C作BG的垂线，垂足分别为E,F,则四 (2)原式= 2-5x -x9+6x( 边形CDGF为矩形. ,∠BCD=135°，∴.∠BCF=∠BCD-∠DCF=45°， 3 ∴∠CBF=180°-∠BFC-∠BCF=45°=∠BCF, -号-6+6x号 1 服=CF-号C=4Eem =√5-1-5+3 又：∠ABC=105,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=60, =2. ∴BE=AB·cos∠ABF=6cm, 3.C4.305 ∴这时点A到地面的距离EG=BF+FG一BE= 5.解：由题意，得C+AC=5+4=(2,后+2m, BF+CD-BE=4E+4-6=(4V2-2)cm. 2 12.24005【解析】如图，延长CA,DB交 .AC=(2√5+2)-2=25(m). 于点P 在Rt△ABC中，tane= c2万-号∠a=30 BC 2 ∠ABD=120°，AB⊥AC,BD⊥CD, ∠C=60°，∠ABP=60 1 BC3 6.7【解析】在Rt△ABC中，inA=AB=气， '在Ri△CDP中，tanC=PP CD.CD= A 1 50√5m ·∠A=60.sin2=sin30=2 ∴PD=CD·tanC=505X√3=150(m). 7.c 8.C【解析】如图，过点C作CD⊥ 在R△PAB中，a∠ABP=洽AB=30后m AB于点D,∴∠ADC=∠CDB= ∴PA=AB·tan∠PBA=305X3=90(m, S0°.在Rt△ACD中，∠A=30° AC=25,∴.CD=AC·sinA= 5anw=5gm-5w=2X506X150-7 D 5,AD=AC·cosA=3.在Rt△BCD中，tanB=B ×305×90=24005(m2). 故这块土地的面积为2400√5m. 数学九年级BS版