第3章 勾股定理过关测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

第3章 勾股定理基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一直角三角形两直角边的长度分别为和，则斜边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，斜边的长为， 故选：． 2．下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理及勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案． 【详解】解：A、 ，，1不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，2，，不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、4，5，7，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、3，4，5，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 3．如图，正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得，从而即可得出正方形的面积，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， ∴以为边长的正方形面积为， 故选：． 4．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：B． 5．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 6．如图，，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，与数轴交于点，那么点表示的无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟记定理并求出的长是解题的关键．利用勾股定理列式求出判断即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点C表示的无理数是． 故选：D 7．如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中．已知笔筒内部的底面直径为9，内壁高12．若这支铅笔长18，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A．3 B．5 C．6 D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：如图： 由题意，得，，． 在中，． ，． ∴这只铅笔在笔筒外面部分的长度在3cm到6cm之间（包含3和6）． 故选：D． 8．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】先将变形为，即可得出、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】解： 可变形为 ，， ，， 为直角三角形，其两直角边长分别为5和12 ． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理逆定理的应用，利用已知条件得出、、的值是解此题的关键． 9．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 10．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若一个三角形的三边长分别是12、16、20，则这个三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】选取较短的两条边求其平方和，与最长边的平方进行比较，根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形； 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13等等. 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形. 故答案为：直角三角形． 12．在中，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理和三角形的面积，由勾股定理得，然后通过直角三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 13．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 【答案】17 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 14．一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， ， 树折断之前高， 故答案为：． 15．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题在直角三角形背景下考查了正方形面积的计算，熟练掌握面积公式是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由图可知小正方形边长为：， 小正方形面积为：， 故答案为：1． 16．如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 ． 【答案】15 【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得，正方形D的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C面积=2+8+5=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 【答案】(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 18．（8分）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要300元，问要多少投入？    【答案】10800元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 连接，先根据勾股定理求出，再说明是直角三角形，然后根据求出面积，进而得出答案. 【详解】解：连接， 在中，， ∴， 解得. 在中，， ∴是直角三角形， ∴， 则（元）. 所以要投入10800元.    19．（8分）如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为，如图所示： 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）解： ，， 又， ， ． 20．（8分）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【详解】（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 21．（10分）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 22．（10分）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，再由勾股定理即可得解； （2）由题意可得，再结合勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵是斜边的中点，， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； （2）解：∵是斜边的中点，， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴， ∴的周长． 23．（10分）三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． (1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． (2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)秋千的长为4米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）根据空白部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，也等于边长为的两个正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，即可得证； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）， ， ∴， ∴． （2）设，， 在中，，即， 解得； 答：秋千的长为4米． 24．（10分）如图，距学校A的正南方向的B处有一辆汽车，且该汽车正以的速度沿北偏东的方向往C处移动，汽车在行进的过程中会发出噪音．若汽车周围以内会受到噪音的影响，请问： (1)求点A到的距离，并判断该学校是否会受到噪音影响． (2)若学校会受到噪音影响，求该学校受到噪音影响的持续时间有多长． 【答案】(1)点A到的距离为120米，该学校受到噪音影响； (2)噪音影响该学校的持续时间有10秒． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的构建图形是解本题的关键． （1）过点A作于D，利用锐角三角函数的定义求出的长与相比较即可； （2）过点A作，根据勾股定理求出的长即可得出噪音影响该学校的持续时间． 【详解】（1）解：如图：过点A作， ∵，米， ∴米米， 点A到的距离为120米，该学校受到噪音影响； （2）过点A作， ∴， 由勾股定理得：， 则， 则， 则影响时间：（秒）． 答：噪音影响该学校的持续时间有10秒． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．一直角三角形两直角边的长度分别为和，则斜边的长为（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 3．如图，正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，与数轴交于点，那么点表示的无理数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中．已知笔筒内部的底面直径为9，内壁高12．若这支铅笔长18，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A．3 B．5 C．6 D．2 8．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 9．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若一个三角形的三边长分别是12、16、20，则这个三角形的形状是 ． 12．在中，，，，则的面积是 ． 13．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 14．一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是 ． 15．用三边长分别为3、4、5的四个直角三角形拼成如图的弦图，则中间小正方形的面积为 ． 16．如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 18．（8分）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要300元，问要多少投入？    19．（8分）如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 20．（8分）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 21．（10分）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 22．（10分）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)试说明：； (2)若，，求的周长． 23．（10分）三国时代东吴数学家赵爽于公元3世纪在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”如图1．并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形． (1)请根据图2利用割补的方法验证勾股定理． (2)应用：如图3，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千AB的长． 24．（10分）如图，距学校A的正南方向的B处有一辆汽车，且该汽车正以的速度沿北偏东的方向往C处移动，汽车在行进的过程中会发出噪音．若汽车周围以内会受到噪音的影响，请问： (1)求点A到的距离，并判断该学校是否会受到噪音影响． (2)若学校会受到噪音影响，求该学校受到噪音影响的持续时间有多长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $