山东省菏泽市高二数学上学期期中自编模拟卷（人教A版）

2025-2026学年山东省菏泽市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第二至第三章。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角（ ） A． B． C． D． 2．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A. B. C. D. 4．已知圆：，圆：，则“两圆内切”是“”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．给出下列说法： 方程表示一个圆； 若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； 已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支； 以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切． 其中正确说法的个数是(    ) A. B. C. D. 7．以下四个命题表述错误的的是(    ) A. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点 8．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对抛物线，下列描述正确的是(    ) A. 开口向上，准线方程为 B. 开口向上，焦点为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，准线方程为 10．已知为坐标原点，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，则（ ） A．当时，双曲线的离心率 B．当是面积为2的正三角形时， C．当为双曲线的右顶点，轴时， D．当射线与双曲线的一条渐近线交于点时， 11．已知实数，满足方程，则下列说法错误的是 A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分。 12.椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为          ． 13．记双曲线的离心率为e，直线与C无公共点，则e的取值范围是___． 14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本题13分）分别求出满足下列条件的直线的方程： Ⅰ经过直线：和：的交点，且与直线垂直； Ⅱ过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍． 16．（本题15分）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于,两点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 17．（本题15分）已知在抛物线上． （1）求抛物线的方程； （2），是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点． 18.（本题17分）已知双曲线的右焦点为，离心率，直线与的一条渐近线交于，与轴交于，且． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于，两点，求证：平分． 19.（本题17分）某城市决定在夹角为的两条道路、之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，为的中点，为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域，其中，在椭圆上，且的倾斜角为，交于． （1）若千米，为了不破坏道路，求椭圆长半轴长的最大值； （2）若椭圆的离心率为，当线段长为何值时，游乐区域的面积最大？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省菏泽市上学期期中自编模拟卷 高二数学 参考答案 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C A B B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9． AB. 10.AB . 11. CD . 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、 . 13、. 14、 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. （本题13分） 解：Ⅰ由解得和的交点为．……2分 的斜率为，而直线与直线垂直， 直线的斜率为，……4分 直线的方程为，即．……6分 Ⅱ当在轴和轴上的截距均为时， 可设的方程为，把点代入可得，此时直线的方程为……9分 当在轴和轴上的截距均不为时，可设的方程为， 把点代入可得， 得，此时直线方程的一般式为．……12分 综上可得的方程为或． ……13分 16.（本题15分） 解：（1）易知到直线的距离为圆半径，……2分 ，……5分 圆方程为.……7分 （2） 垂径定理可知．且， 在中由勾股定理易知.……9分 设动直线方程为：或，显然合题意．……11分 由到距离为1知．……13分 或为所求方程．……15分 17.（本题15分） 解：（1）点坐标代入抛物线方程得，， 抛物线方程为．……5分 （2）证明：设， 将的方程与联立得，……6分 设，，，， 则，，……8分 所以△， ，……10分 同理：，……11分 由题意：， ，……13分 ，，， 故直线恒过定点．……15分 18.（本题17分） 解：（1）不妨设点在轴上方，由，得，……2分 又，且， ，……4分 又离心率，， ．……6分 的方程为：．……7分 （2）设过点得直线方程为：，，，，． 联立，可得， 则：，，……9分 过的直线交的右支于，两点， ，可得，又，，……11分 ，……13分 ．……15分 ，……16分 平分．……17分 19.（本题17分） 解：（1）以为坐标原点，以所在的坐标为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意，，由， 所以，……2分 所以，，， 所以直线的方程为：，设，则， 所以椭圆，当最大时直线与椭圆相切，……4分 整理可得：，……6分 △，解得舍） 所以椭圆的长半轴长为；……8分 （2）因为，，， 所以，所以椭圆的方程为：；……10分 设，则，直线的方程为： ，联立，整理可得：，……11分 设，，，则，， ， ，……13分 要保证与半椭圆有交点，当位于时， 所以，当，即，……15分 有最大值为1， 综上所述，当时，三角形的面积最大．……17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省菏泽市上学期期中自编模拟卷 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第二至第三章。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系直接求解. 【详解】直线，即， 直线的斜率为， 由于，所以. 故选：A 2．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 所以椭圆的焦点为. 设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以. 所以双曲线的方程为. 故选：D 3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解之得 则直线与直线间的距离为 故选：B 4．已知圆：，圆：，则“两圆内切”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心与半径，根据两圆内切可得半径之差的绝对值等于圆心距，求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】解：圆的圆心坐标为，半径为， 圆：，圆心坐标为，半径为3， ，两圆的半径差为， 由两圆内切，可得，解得或． ∴“两圆内切”是“”的必要不充分条件． 故选：C． 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，由已知渐近线方程得到， 又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合解出 即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线为，所以 即 ，又下焦点到下顶点的距离为1， 所以，结合解得，， 故选：A． 6．给出下列说法： 方程表示一个圆； 若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； 已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支； 以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切． 其中正确说法的个数是(    ) A. B. C. D. 解：根据题意，依次分析个说法： 对于，方程变形可得，不是圆的方程，错误； 对于，方程变形可得，若，则有， 则方程表示焦点在轴上的椭圆；正确； 对于，点、，则，若，则动点的轨迹是一条射线；错误； 对于，由抛物线的定义，以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，正确； 则正确；故选：． 7．以下四个命题表述错误的的是(    ) A. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为 C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点 解：选项A：圆的圆心为 ，半径 圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故选项A正确； 选项B：方程可化为，故曲线 表示圆心为，半径 的圆，方程可化为，因为圆 与曲线 有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径   同时两圆的位置关系为外离，有 ，即 ，解得，故B错误； 选项C：圆的圆心 ，半径 ，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离由切线的性质知， 为直角三角形， ，当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为，故选项C正确； 选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即，和圆的方程两式相减得到直线方程为，所以直线过定点，D正确． 故选B． 8．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 解析：， 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得故联立，解得故， 面积为：双曲线 其焦距为当且仅当取等号 的焦距的最小值：. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对抛物线，下列描述正确的是(    ) A. 开口向上，准线方程为 B. 开口向上，焦点为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，准线方程为 【答案】AB 【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可. 【详解】由题设，抛物线可化为， ∴开口向上，焦点为，准线方程为. 故选：AB 10．已知为坐标原点，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，则（ ） A．当时，双曲线的离心率 B．当是面积为2的正三角形时， C．当为双曲线的右顶点，轴时， D．当射线与双曲线的一条渐近线交于点时， 【答案】AB 【分析】可得的中垂线与双曲线有交点，结合离心率公式，可判断A；由等边三角形的性质和余弦定理，求得，由双曲线的定义和，，的关系，可判断B；求得，，可判断C；由三角形的三边关系和双曲线的定义，可判断D． 【详解】对于，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故A正确； 对于B，因为是面积为的正三角形，边长为 所以，即 在中，因为，， 所以， 所以，故，即，故B正确； 对于C，因为为双曲线的右顶点，则，又轴，则，所以，故C错误； 对于D，由，所以，故D错误． 故选：AB． 11．已知实数，满足方程，则下列说法错误的是 A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11. 【解析】对于A，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故A说法正确； 对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确； 对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误； 对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故D说法错误. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分。 12.椭圆的离心率为，则实数的所有可能取值为          ． 【答案】 【分析】根据椭圆方程先确定焦点所在位置，得出，再根据和离心率，即可求出. 【详解】由题可知，当焦点在y轴上时，，，而，所以， 又因为，所以，即：，解得. 当焦点在x轴上时，得，，又因为，所以，即：，解得. 故答案为：.  13．记双曲线的离心率为e，直线与C无公共点，则e的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求e的范围. 【详解】解：，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点” 所以， 又因为，所以， 故答案为： 14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______． 14.【答案】；. 设点，， ∴. 抛物线的焦点为点，由题意知，， ∴. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.分别求出满足下列条件的直线的方程： Ⅰ经过直线：和：的交点，且与直线垂直； Ⅱ过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍． 15. 解：Ⅰ由解得和的交点为．的斜率为，而直线与直线垂直， 直线的斜率为，直线的方程为，即． Ⅱ当在轴和轴上的截距均为时， 可设的方程为，把点代入可得，此时直线的方程为 当在轴和轴上的截距均不为时，可设的方程为，18. 把点代入可得，得，此时直线方程的一般式为． 综上可得的方程为或．  16．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于,两点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． 16. 解：（1）易知到直线的距离为圆半径， ， 圆方程为. （2） 垂径定理可知．且， 在中由勾股定理易知 设动直线方程为：或，显然合题意． 由到距离为1知． 或为所求方程． 17．已知在抛物线上． （1）求抛物线的方程； （2），是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点． 17. 解：（1）点坐标代入抛物线方程得，，抛物线方程为． （2）证明：设，将的方程与联立得， 设，，，，则，，所以△， ，同理：，由题意：， ，，，，故直线恒过定点． 18.已知双曲线的右焦点为，离心率，直线与的一条渐近线交于，与轴交于，且． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于，两点，求证：平分． 18. 解：（1）不妨设点在轴上方，由，得， 又，且，， 又离心率，，．的方程为：． （2）设过点得直线方程为：，，，，． 联立，可得，则：，， 过的直线交的右支于，两点，，可得，又，， ， ．，平分． 19.某城市决定在夹角为的两条道路、之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，为的中点，为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域，其中，在椭圆上，且的倾斜角为，交于． （1）若千米，为了不破坏道路，求椭圆长半轴长的最大值； （2）若椭圆的离心率为，当线段长为何值时，游乐区域的面积最大？ 19. 解：（1）以为坐标原点，以所在的坐标为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意，，由， 所以， 所以，，， 所以直线的方程为：，设，则， 所以椭圆，当最大时直线与椭圆相切， 整理可得：， △，解得舍）所以椭圆的长半轴长为； （2）因为，，，所以，所以椭圆的方程为：； 设，则，直线的方程为： ，联立，整理可得：， 设，，，则，， ， ， 要保证与半椭圆有交点，当位于时， 所以，当，即， 有最大值为1， 综上所述，当时，三角形的面积最大． / 学科网（北京）股份有限公司 $