2.1.2 等式与不等式性质（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，先梳理等式的对称性、传递性及运算不变性，提炼数学思想，再通过类比引导学生猜想不等式性质，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以类比思想引导探究，通过“作差法”“数轴证明”等培养数学思维，结合糖水不等式等实例体现数学语言表达现实世界。学生能提升逻辑推理与迁移能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

2.1.2 等式性质与不等式性质 梳理等式的基本性质，能从中归纳出数学思想和方法(自身的特性和运算的不变性). 01 教学目标 能类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质并能加以证明，体会等式基本性质与等式基本性质的共性与差异性. 02 能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质，并能运用不等式的性质证明一些简单的命题. 03 导 等式的性质 性质1　如果a＝b，那么______________； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么________； 性质3　如果a＝b，那么______________； 性质4　如果a＝b，那么______________； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么________. b＝a a＝c a±c＝b±c ac＝bc 【对称性】 【传递性】 【同加（减）性】 【同乘性】 【同除性】 【追问】你能用自然语言依次描述以上四个性质吗？这四条性质有什么共同特点? 相等关系自身的特性 运算的不变性 （性质） 预学导读 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 任务：阅读课本41-42页，完成导学案预学部分（3分钟） 思 性质1 如果，那么如果b＜a，那么a＞b． 即 不等式的基本性质 证明:∵a>b ∴a-b>0 由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0. 即b-a<0 ∴b<a 同理可证,如果b<a,那么a>b. 小试身手：与m≥(n-2)2等价的是(　　). A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m 【对称性】 思 性质2【传递性】 不等式的基本性质 如果，，那么；即， 证明:∵a＞b，b＞c ∴a-b>0，b-c＞0 ∴(a-b)+(b-c)＞0，即a-c＞0， ∴a＞c 变形：（1）a≥b，b≥c⇒a≥c （2）a b，bc ⇒ac （3）a≤b，b≤c⇒a≤c 思 性质3【同加性】 不等式的基本性质 如果，那么 证明:∵a＞b ∴a-b>0 ∵(a+c)-(b+c)=a-b＞0 ∴a＋c＞b＋c 注：不等式两边同时加上（或减去）同一个实数，不等式与原不等式同向． （不等号方向不变） 特别地，a＋b＞c 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 移项 b 数轴证明，c>0 作差 思 性质4【可乘性】 不等式的基本性质 如果，，那么； 不等式两边同时乘上一个正数，不等号方向不变； 如果，，那么 不等式两边同时乘上一个负数，不等号方向改变； 证明:∵a＞b ∴a-b>0 ∵ac-bc=(a-b)c ∴当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc; 当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc. 1.该性质不能逆推,如ac>bc a>b. 2.ac>bc⇒a>b,c>0或a<b,c<0. 3.不等式两边仅能同乘(或除以)一个 符号确定的非零实数. 思 性质5【同向可加性】 不等式的基本性质 如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d. 证明:由a＞b和性质3（同加性）可得：a+c ＞b+c 由c > d和性质3（同加性）可得：b+c > b+d 由性质2（传递性），得 a+c > b+d 大数+大数>小数+小数 思 性质6【同向同正可乘性】 不等式的基本性质 如果， ，那么 证明：由a＞b＞0，c＞0，得ac＞bc 由c＞d＞0，b＞0，得bc＞bd 所以ac＞bd 大数×大数>小数×小数 思 性质7【同正可乘方性】 不等式的基本性质 如果a＞b＞0，那么 （n∈N，n≥2） . 【同正可开方性】 证明： 议 例2.已知，求证： 法一 法二 展1 1、用不等号“>”或“<”填空： （1）如果a>b，c<d，那么a-c ______ b-d； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd； （3）如果a>b>0，那么 ______ （4）如果a>b>c>0，那么 _______ 答案：（1） > （2） < （3） < （4） < 展2 答案：（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7）× ③　 小试牛刀 15 展3 已知<2取值范围. 解析： <6， ，2 <2. 展4 评 评 已知，试求5的取值范围. 检 1.已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0)，再添加m克糖，（m>0)（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式并证明。（糖水不等式） 检 检 练 1.下列命题为真命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 AB 2.下列选项中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 ACD 练 3.已知1<a<3，-5<b<-2，求下列各式的取值范围： ①a+b；②a-b；③ab；④ ；⑤3a-5b. 4.已知-4<a+b<1，2<a-b<7，求下列各式的取值范围： ①a；②b；③3a-5b. eq \f(a,c)＝eq \f(b,c) 判断下列命题是否正确: (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6) ( ) (7) ( ) 给出下列结论： ①若ac>bc，则a>b； ②若a<b，则ac2<bc2； ③若eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0，则a>b； ④若a>b，c>d，则a－c>b－d； ⑤若a>b，c>d，则ac>bd. 其中正确结论的序号是______. [解析]　(1)∵1<a<2，∴2<2a<4， ∵3<b<4，∴5<2a＋b<8； (2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3， 又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1； (3)∵3<b<4，∴eq \f(1,4)<eq \f(1,b)<eq \f(1,3)， 又1<a<2，∴eq \f(1,4)<eq \f(a,b)<eq \f(2,3). （1）已知－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,2)的范围． （2）已知1<a<2，3<b<4，求下列各式的取值范围： ①2a＋b； ②a－b； ③eq \f(a,b). 解析　（1）∵－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)， ∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)<eq \f(π,4)，－eq \f(π,4)<eq \f(β,2)≤eq \f(π,4).两式相加，得－eq \f(π,2)<eq \f(α＋β,2)<eq \f(π,2). ∵－eq \f(π,4)<eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)<eq \f(π,4)，∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)<eq \f(π,2). 又∵α<β，∴eq \f(α－β,2)<0.∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)<0. 已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围． 2. 已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围. 【答案】解：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)， 所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b. 所以 解得 因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2， 所以 所以-2≤4a-2b≤10. 答案：5<2a -b<8 3．设2<a<3，-2<b<-1，则2a-b的范围是________． 解析：4<2a<6，-2<b<-1， ∴1<-b<2，由同向不等式相加得到5<2a -b<8 $