2.1.1 等式与不等式性质（第1课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，从现实情境（如限速、酸奶质量）和几何问题（三角形三边、垂线段）抽象不等关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接实数大小比较与重要不等式探究。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与几何直观，通过“糖水变甜”提炼不等式，用赵爽弦图“以形助数”证明\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，培养学生用数学眼光观察、思维推理的能力。丰富实例与探究活动助学生积累经验，教师可高效实施教学。

2.1.1 等式性质与不等式性质 能从情境中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式(组)，发展数学抽象素养. 01 教学目标 理解两个实数大小关系的基本事实，体会其蕴含的数学思想方法，并去比较两个代数式的大小. 02 经历重要不等式a2＋b2≥2ab的探索过程，并能证明，积累基本活动经验，提升数学运算、逻辑推理素养. 03 导 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系； 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子 导 高与矮 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、重与轻、长与短、高与矮、远与近、升与降、涨与跌、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 导 常见的文字语言与数学符号之间的转换 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 思 自主阅读课本37页问题1 你能用不等式或不等式组表示下列生活中的不等关系吗？ （1）某段路限速40 （2）某品牌酸奶的质量检查规定， 酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%， 蛋白质含量应不少于2.3%； 思 自主阅读课本37页问题1 你能用不等式或不等式组表示下列几何中的不等关系吗？ （3）三角形两边之和大于第三边、 两边之差小于第三边 （4）连接直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短. 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式； 接着，就可以用不等式研究相应问题了. a克糖水中有b克糖（a>b>0），若再添进m克糖（m>0），则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式． 拓展 已知有两杯糖水， 第一杯糖水b克含糖a克； 第二杯糖水d克含糖c克，且第一杯比第二杯更甜； 现在将两杯糖水混合得到第三杯糖水； 那么，这三杯糖水哪一杯最甜，请用不等式表示这一事实. 思 【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本。据市场 调查发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本。 如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元? 【依据】总收入=销售量×售价 【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， 议 两实数大小关系的基本事实 a 形 数 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小． 作差法 议 例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 议 若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，比较x与y的大小关系？ 展 展1：比较和2的大小 展2：比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小 评 39页探究：如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 （1）正方形ABCD的面积S=________； 四个直角三角形的面积和S'=_____; （2）S与S’有什么样的不等关系，如何表示？ （3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？ A B C D E(FGH) 当a=b时 A B C D E F G H a b 当且仅当a=b时，等号成立. 以形助数 探究不等式 证明： （作差法） 比较与的大小. 等式性质 ★【对称性】 ★【传递性】 ★【加减性】 ★【同乘性】 ★【同除性】 如果，那么 如果，，那么 如果，那么 如果，那么 如果，，那么 时，我也成立！ 那可不一定，你是不是成立，得问问c，c=0时，你就不成立！ 我成立，你不一定成立！ 为什么啊？ c≠0时，你成立；c=0时，你不一定成立！ $