精品解析：陕西省西安市长安区第三中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷

长安三中2025～2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形的对角线、的长分别为和，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 4 D. 2 5. 如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，则的长为（ ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 8 6. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则这个一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. D. ， 7. 最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接与相交于点O，作，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 10. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为______. 11. 如图，，且，若的面积为12，则的面积为___________． 12. 如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________． 13. 已知正数m是方程的一个根，且关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___________． 14. 在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为 _________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：． 16. 某公园游戏场举行一场活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8张红色卡片和若干张白色卡片（每张卡片除颜色外，其他都相同）的箱子中随机摸出一张卡片，摸到白色卡片就得到一个海宝玩具，现将箱子摇匀，随机摸出一张卡片，记下颜色后放回摇匀，记为一次试验，经过多次重复试验后发现，摸到白色卡片的频率稳定在，估计箱子中白色卡片的数量． 17. 如图，已知是矩形的对角线，请用尺规作图法作以为对角线，且点E、F分别在边上的菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点O为位似中心，在第四象限内作，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别是点、、）． 19. 已知：四边形ABCD是菱形，于点E，于点F．求证：． 20. 为弘扬中华传统文化，某中学准备开展学习“传统手工技艺”社团活动．共有4个社团供学生选择：“：剪纸”、“：木版画雕刻”、“：陶艺创作”、“：皮影制作”． （1）李华随机选择一个社团参加，选择的是“：剪纸”的概率为______； （2）张宇准备随机选择其中的两个社团参加．请用画树状图或列表的方法求他选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的概率． 21. 小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 22. 如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： （1）； （2）． 24. 如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． （1）求证：； （2）已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 25. 根据以下素材，完成任务： 素材1：秦腔是陕西地方戏的主要剧种，也是我国现存戏曲艺术中最古老的剧种．某工厂制作秦腔系列人物盲盒进行销售，6月份制作该盲盒个，同年8月份制作该盲盒个． 素材2：已知该盲盒的制作成本为元/个，销售一段时间后发现：当该盲盒的售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上每件售价每增长1元，则月销售量减少个． 任务1：求该工厂6月份到8月份制作该盲盒数量的月平均增长率； 任务2：为了使该盲盒每月所获得的销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该盲盒的实际售价应定为多少元/个？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长安三中2025～2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，菱形的对角线、的长分别为和，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，熟练掌握菱形的面积公式是解决问题的关键．根据菱形的面积公式“菱形的面积等于两对角线乘积的一半”即可求解． 【详解】四边形是菱形，两条对角线、的长分别为和， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， 故选：． 3. 如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得出，结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ∵四边形是矩形， ， ， 故选：B． 4. 两个多边形相似，且相似比为，小多边形的最大边长为8，则大多边形的最大边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形的边长比等于相似比作答即可． 【详解】解：设大多边形的最大边长是x． 依题意有， 解得：． 故大多边形的最大边长是16． 故选：A ． 5. 如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，，则的长为（ ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据可得，结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 6. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则这个一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0求出的值，代入方程后解方程即可． 【详解】解：∵方程常数项为 ， ∴由题意得 ，解得： ， ， ， ， ∴方程为： ， 提公因式得： ， 或， ∴方程的两个根为 ， 故选：A． 7. 最美的长安都写在唐诗里．将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算．解题用到的思想是列举法（列表法），通过列举所有可能结果分析概率；方法是先确定总结果数，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算；解题关键是准确列举所有等可能结果，并明确“组成‘长安’”所对应的结果；易错点是容易混淆“组成‘长安’”是否考虑顺序，若错误判断顺序要求会导致符合条件的结果数计算错误． 解题时，首先明确摸球方式为“有放回”，因此每次摸球的结果相互独立，第一次和第二次摸球各有4种可能，根据列表法总结果数为种．接着，需确定“组成‘长安’”对应的结果，即两个字为“长”和“安”，考虑顺序时符合条件的结果为（长安）和（安长），共2种．最后，根据概率公式计算，得到概率为． 【详解】列表如下： 最 美 长 安 最 最最 最美 最长 最安 美 美最 美美 美长 美安 长 长最 长美 长长 长安 安 安最 安美 安长 安安 根据表格，总共有种等可能的结果． 符合条件的是（长安）和（安长），共2种． 则概率为：． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接与相交于点O，作，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：矩形， ， E是边的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：12． 10. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为______. 【答案】15 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 11. 如图，，且，若的面积为12，则的面积为___________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为27； 故答案为：27． 12. 如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 13. 已知正数m是方程的一个根，且关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的根的意义，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握方程的根的意义及一元二次方程根的判别式是解题的关键．将代入方程，求出，再代入一元二次方程，最后根据一元二次方程根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：正数m是方程的一个根， ， 整理得， 解得或2， ， ， 关于x的一元二次方程为， 该方程没有实数根， 且， 解得． 故答案为：． 14. 在正方形中，，E，F分别为边上的点，且始终保持，连接和交于点P，则线段的最小值为 _________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，则（不变）， 根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用因式分解法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解方程． 先移项，再因式分解，进而求解即可． 【详解】， ， ， ， 或， ． 16. 某公园游戏场举行一场活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8张红色卡片和若干张白色卡片（每张卡片除颜色外，其他都相同）的箱子中随机摸出一张卡片，摸到白色卡片就得到一个海宝玩具，现将箱子摇匀，随机摸出一张卡片，记下颜色后放回摇匀，记为一次试验，经过多次重复试验后发现，摸到白色卡片的频率稳定在，估计箱子中白色卡片的数量． 【答案】估计箱子中有自色卡片2张 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，解分式方程，根据题意可知摸到白色卡片的概率为，据此设出白色卡片数，再利用概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设箱子中有x张白色卡片， 由题意得， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计箱子中有自色卡片2张． 17. 如图，已知是矩形的对角线，请用尺规作图法作以为对角线，且点E、F分别在边上的菱形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，四边形即为所作菱形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，菱形的性质，矩形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，则四边形即为所作菱形． 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，请以原点O为位似中心，在第四象限内作，使得与的相似比为（点A、B、C的对应点分别是点、、）． 【答案】 即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形等知识点，根据位似图形的性质先确定变化后关键点的坐标是解题的关键． 根据和关于原点O位似，且相似比为找出的坐标依次连接即可． 【详解】解：∵和关于原点O位似，且相似比为， ∴，连接如图所示， 19. 已知：四边形ABCD是菱形，于点E，于点F．求证：． 【答案】 证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF． 【解析】 【分析】由AE⊥BC，AF⊥DC，得到∠AEB＝∠AFD＝90°，由菱形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D，即可证明△ABE≌△ADF（AAS），结论得证． 【详解】略 【点睛】本题是简单的推理证明题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 20. 为弘扬中华传统文化，某中学准备开展学习“传统手工技艺”社团活动．共有4个社团供学生选择：“：剪纸”、“：木版画雕刻”、“：陶艺创作”、“：皮影制作”． （1）李华随机选择一个社团参加，选择的是“：剪纸”的概率为______； （2）张宇准备随机选择其中的两个社团参加．请用画树状图或列表的方法求他选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的概率． 【答案】（1） （2） 解：列表如下： 第一个 第二个 共有12种等可能的结果，其中选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的结果有2种， 张宇选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”的概率是． 【解析】 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率以及用画树状图或列表法求概率． （1）根据概率的意义直接计算概率即可． （2）列出表格，根据表格分析出共有多少种等可能情况，其中选择的两个社团是“：剪纸”和“：木版画雕刻”有几种情况并列举出来，最后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：根据题意：李华随机选择一个社团参加，选择的是“：剪纸”的概率为：； 【小问2详解】 略 21. 小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ， 又， ，， ， 即，， 解得：， 答：路灯的高度为． 22. 如图，点、、在一条直线上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的边长比等于相似比． （1）先证，进而可证； （2）由（2）得，再证，根据相似三角形的边长比等于相似比即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）设，则原方程可化为，然后根据因式分解法可求解方程； （2）设，则原方程可化为，然后根据因式分解法可求解方程． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为， 解得：， ∴当时，即，解得：； 当时，即，解得：； ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， 解得：， ∴当时，即，解得：， ∴原方程的解为． 24. 如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． （1）求证：； （2）已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质易证； （2）连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． 25. 根据以下素材，完成任务： 素材1：秦腔是陕西地方戏的主要剧种，也是我国现存戏曲艺术中最古老的剧种．某工厂制作秦腔系列人物盲盒进行销售，6月份制作该盲盒个，同年8月份制作该盲盒个． 素材2：已知该盲盒的制作成本为元/个，销售一段时间后发现：当该盲盒的售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上每件售价每增长1元，则月销售量减少个． 任务1：求该工厂6月份到8月份制作该盲盒数量的月平均增长率； 任务2：为了使该盲盒每月所获得的销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该盲盒的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】该盲盒数量的月平均增长率为；实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键， （1）设该工厂6月份到8月份制作该盲盒数量的月平均增长率为，根据题意列出方程，解得即可得到答案； （2）该盲盒的实际售价应定为元/个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：任务一：设该工厂6月份到8月份制作该盲盒数量的月平均增长率为，由题可得： ， （负值舍去） 解：， ∴， 答：该工厂6月份到8月份制作该盲盒数量的月平均增长率为． 任务二：该盲盒的实际售价应定为元/个，由题可得： 整理得：， 解得：，， 答：让顾客得到实惠，则该盲盒的实际售价应定为元/个． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，，点E为上的点，，连接，点O为线段上的点，过点O作交边于点M，交边于点N，则的长度为___________； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，连接，过的中点O作交于点M，交于点N，求的长度； 【拓展应用】 （3）如图3，李大爷家有一块四边形菜地，测得米，米，，菜地内有一条笔直的小路恰好经过四边形的对称中心（点E、F分别在边上），且米，为了管理方便，李大爷准备再开一条垂直于的小路（点G、H分别在边、上），两条小路交汇于点M，请你帮助李大爷求出新开出的小路的长．（小路的面积忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点M作于G，交于H，证明，根据全等三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （2）过点M作于K，交于L，证明，根据相似三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； （3）过点作E作于点I，过点G作于点J，解得四边形是矩形，再证明，根据相似三角形的性质得，可得四边形和四边形都是矩形，勾股定理求出，代入比例式计算即得． 【详解】（1）解：如图，过点M作于G，交于H，则， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵于点O， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 故答案为： （2）如图，过点M作于K，交于L，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）如图，过点E作于点I，过点G作于点J，则， ∵于点M， ∴, ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵恰好经过四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中心对称性质，正确构造辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $