精品解析：天津市武清区下朱庄街南湖初级中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷

2025－2026学年度初中数学9月月考卷 注意事项： 1．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 每小题3分，共12小题36分． 一、单选题 1. 图中以为边的三角形有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 2. 用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系.   故选：B ． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（ ） A. ，5，7 B. 3，4，8 C. 1，， D. 5，5，10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，实数的大小比较，熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形 ，据此分析各项即得． 【详解】解：A、，不能摆成三角形，故不符合题意； B、，不能摆成三角形，故不符合题意； C、，能摆成三角形，故符合题意； D、，不能摆成三角形，故不符合题意； 故选：C． 4. 已知中，，的角度大小为（ ） A. 30° B. C. D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度可得，结合即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 5. 如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可得：， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 6. 如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形外角的性质可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 8. 如图是两个全等三角形，字母a，b，c分别表示三角形的边长，根据图中数据，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应角相等解答． 【详解】解：∵两个全等三角形 ∴， 故选：C． 9. 如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据可得，再根据等式的性质并结合图形即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四个点，，，在同一直线上， ∴， 故选：A． 10. 关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是直线 B. 三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D. 三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心、三角形的角平分线、中线和高及三角形的面积，根据三角形角平分线的定义、高线的定义及重心的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为三角形一个内角平分线与另一边交点之间的线段称为三角形的角平分线，所以三角形的角平分线是一条线段．故A选项不符合题意． 三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故B选项不符合题意． 因为重心是三角形三条中线的交点，故C选项符合题意． 因为三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，而角平分线不一定能分成两个面积相等的三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 11. 如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 12. 下列条件中一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的几种方法是解题的关键； 在做此题时可画出图形，根据图形进行判断，切记判定方法的条件里必须有边． 根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】如图： A、没有边的参与，不能判定，故本选项不符合题意； B、根据SSA不能判定，故本选项不符合题意； C、由不能判定，对应顶点不相符，故本选项不符合题意； D、根据SSS能判定，故本选项符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题） 13－18题每题3分，19－20题每题8分，21－25每题10分 二、填空题 13. 如图，在中，，若，，，则_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】此题考查了和三角形高有关的计算，根据等面积法列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，，，， ，即， 解得，． 故答案为：4.8． 14. 如图，直线，如果，，那么的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，求解的度数是解题的关键． 由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：如图，设交于， ， （两直线平行，同位角相等）， 又， 所以解得． 故答案为：． 15. 如图，，还需补充一个条件______________，就可直接根据“”证明． 【答案】 【解析】 【分析】本题旨在依据“ASA”的三角形全等判定定理，结合已知的，找出还需补充的条件，使和满足“ASA”的要求 【详解】ASA判定定理要求两个三角形有两角及其夹边对应相等 已知，且两个三角形有公共角 此时，若补充，那么在和中： 满足“ASA”的判定条件，可证明 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形全等的“ASA”判定定理，掌握两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）是解题的关键 16. 已知是的高，，，则的度数是______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线，解题的关键是要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图，当高在的内部时， ； ②如图，当高在的外部时， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 17. 等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，掌握相关知识是解题的关键．分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，先根据三角形三边关系判定是否能组成三角形，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：当为腰长时，， ，，不能组成三角形； 当为腰长，， ，，能组成三角形， 三角形的周长为：， 故答案为：． 18. 如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 三、解答题 19. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 20. 如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【答案】 证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】略 21. 已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）若，的度数为______． （2）请用含的代数式表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握角平分线的定义． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线和三角形内角和定理得到，代入数据求解即可； （2）根据角平分线得到，，由三角形内角和定理可得，然后再由三角形内角和定理得，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：、为的角平分线， 、， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：、为的角平分线， 、 ， ， ． 22. 如图，在中，，D是的中点，延长至点E，连接．求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，得出，从而得，即可证． 【详解】略 23. 如图，已知． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中， ， ； （2） 证明：在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 25. 如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． （1）求证：ABC≌ECD； （2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵E是BC的中点， ∴BC＝2EC， ∵BC＝2AB， ∴AB＝EC， ∵， ∴∠B＋∠ECD＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ECD＝90°， 在△ABC和△ECD中， ， ∴△ABC≌△ECD（SAS）； （2） AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC≌△ECD（SAS）， ∴∠CED＝∠CAB， ∵∠CAB＋∠ACB＝90°， ∴∠CED＋∠ACB＝90°， ∴∠EFC＝90°， ∴AC⊥DE． 【解析】 【分析】（1）由E是BC的中点，BC＝2AB可证明AB＝EC，由平行线的性质得出∠B＋∠ECD＝180°，得出∠ECD＝90°＝∠B，最后由SAS证明△ABC≌△ECD即可； （2）由全等三角形的性质得出，∠CED＝∠CAB，再由∠CAB＋∠ACB＝90°推导∠CED＋∠ACB＝90°，进而得出∠EFC＝90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度初中数学9月月考卷 注意事项： 1．请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 每小题3分，共12小题36分． 一、单选题 1. 图中以为边的三角形有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是（ ） A. ，5，7 B. 3，4，8 C. 1，， D. 5，5，10 4. 已知中，，的角度大小为（ ） A. 30° B. C. D. 60° 5. 如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是两个全等三角形，字母a，b，c分别表示三角形的边长，根据图中数据，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 10. 关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是直线 B. 三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D. 三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 11. 如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（    ） A. B. C. D. 12. 下列条件中一定能判定的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 13－18题每题3分，19－20题每题8分，21－25每题10分 二、填空题 13. 如图，在中，，若，，，则_____． 14. 如图，直线，如果，，那么的度数是________． 15. 如图，，还需补充一个条件______________，就可直接根据“”证明． 16. 已知是的高，，，则的度数是______ 17. 等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是__________． 18. 如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对． 三、解答题 19. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 20. 如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 21. 已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）若，的度数为______． （2）请用含的代数式表示． 22. 如图，在中，，D是的中点，延长至点E，连接．求证：． 23. 如图，已知． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 24. 如图，相交于点O，． （1）求证：； （2）求证：． 25. 如图，四边形ABCD中，BC＝CD＝2AB，ABCD，∠B＝90°，E是BC的中点，AC与DE相交于点F． （1）求证：ABC≌ECD； （2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $