精品解析：重庆市字水中学2025-2026学年高一上学期十月学情调研数学试题

重庆市字水中学2025年10月高2028届高一学情调研 年数学试卷 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合关系的概念，判断结果. 【详解】元素与集合之间用属于或不属于，所以B错误，C正确； 集合与集合之间用包含或不包含，所以A、D错误； 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过解不等式明确集合，再求两集合的交集. 【详解】二次不等式，变形得，解得或. 故. 因此. 故选：D 3. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误. 故选：B 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5. 设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 6. 命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，从而得，即可求解. 【详解】因为“，”为真命题，即恒成立， 则，即，解得， 故选：C. 7. 已知集合，则A的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式不等式，再确定集合A的元素，进而可得答案. 【详解】由，得，即，所以或， 得.又，所以，故A的非空真子集个数为. 故选：B. 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，平方后，由基本不等式可得；B可举出反例；C、D直接由基本不等式可判断. 【详解】A选项，， 当且仅当时，等号成立，故，A正确； B选项，显然时，有，故的最大值不是，B错误； C选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，C正确； D选项，，当且仅当时，等号成立，所以，D错误. 故选：AC 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的既不充分也不必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对于A，利用含量词的命题的否定要求判断即可；对于B，取反例排除；对于C，一个数的平方大于等于恒成立；对于D，按照充要条件的要求，从两个角度完成推理即得. 【详解】对于A，含量词的命题的否定包括改变量词和否定结论，所以A正确； 对于B，若，满足，但，故“”不是“”的充分条件， 若，满足，但，故“”不是“”的必要条件，所以B正确； 对于C，恒成立，故命题“”是真命题，即C正确； 对于D，若，方程的根的判别式，设两根为，则，故方程有一正一负根；若方程有一正一负根，则由韦达定理可得，故D正确. 故选：ABCD. 【点睛】 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 不等式的解集是； C. 若，，则； D. 当且仅当，均为正数时，恒成立． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式条件等式求最值即可判断A；解分式不等式确定解集即可判断B；根据不等式的同向可加性，结合待定系数法拆分式子得取值范围，即可判断C；根据基本不等式使用条件判断取最值情况即可判断D． 【详解】对于A：因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是2．所以选项A正确； 对于B：因为，所以， 即且，解得， 所以解集为，所以选项B错误； 对于C：因为，， 设， 可得，解得，即， 而，，所以，所以选项C正确； 对于D：当时，恒成立，当且仅当时，等号成立， 所以，同为负数时，也可使恒成立，所以选项D错误． 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为________； 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式化为整式不等式计算即可. 【详解】由得，即，且 解之得或. 故答案为： 13. 若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】转化为命题的否定为真命题，再利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】由题意得命题的否定：“，”为真命题， 即对恒成立， 所以，即，解得， 即实数m的取值范围为 故答案为： 14. 若，且满足，则的最小值为________，的最小值为________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①因为，当且仅当时等号成立，又， 所以， 所以，即， 所以，解得（，故舍去）或， 所以，即的最小值为6． ②令，， ，解得， ， ，， ，当且仅当，即时取等号， 最小值为，此时， 故答案为：6，． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合， （1）求 （2）求 （3）求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解一元一次不等式化简集合B，然后根据交集运算求解即可； （2）根据并集运算求解即可； （3）先由补集的运算得，然后根据并集运算求解即可. 【小问1详解】 集合， 又，所以； 【小问2详解】 因为， ， 所以； 【小问3详解】 因为，所以； 又，所以. 16. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得，再利用集合间的关系，分和两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，即，解得， 则，所以或，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，都有”是真命题， 则，又， 当，即时，，满足题意， 当，即时，则，解得，所以， 综上，实数的取值范围为. 17. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 【答案】（1）R； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【小问1详解】 时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； 【小问2详解】 ，即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 18. 已知， （1）求的最小值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配凑法，将转化为，根据基本不等式可求得最小值； （2）将已知条件变形为，给乘为，再根据基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 因为，所以. 所以. 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 若，则. 由已知得，所以. 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 19. 对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. （1）判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； （2）求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； （3）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【答案】（1）不是，理由如下： 当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； （2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. （3）7 【解析】 【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”； （2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数； （3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”， 去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾， 故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 【点睛】关键点点睛：此题考查对集合新定义的理解和应用，考查理解能力，解题的关键是对“和谐集”的准确理解，运用分类讨论求解是常用方法，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市字水中学2025年10月高2028届高一学情调研 年数学试卷 （试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知集合，则A的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 设正实数m，n满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为4 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的既不充分也不必要条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则的最大值为2； B. 不等式的解集是； C. 若，，则； D. 当且仅当，均为正数时，恒成立． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为________； 13. 若命题“，”是假命题，则实数m的取值范围为______ 14. 若，且满足，则的最小值为________，的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合， （1）求 （2）求 （3）求 16. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 17. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 18. 已知， （1）求的最小值； （2）若，求的最小值． 19. 对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. （1）判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； （2）求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； （3）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $