精品解析：广西南宁市第十八中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题

2025年秋季学期10月份大作业九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 9. 如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 10. 若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 12. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 抛物线与轴的交点坐标为___________． 15. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为_________． 16. 如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算或解方程 （1） （2）． 18. 如图，三个顶点的坐标分别是，，， （1）请画出向左平移6个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （3）在y轴上求一点P使周长最小，请标出点P的位置 19. 某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取25名学生参赛，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．对九（1）班、（2）班的25名参赛学生的模型设计分数进行整理、描述和分析，给出如下部分信息． a．九（1）班模型设计分数频数分布直方图． 其中这一组的数据为：86 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89 班级 平均数 众数 中位数 九（1）班 86.6 m n 九（2）班 87.2 90 86 b．九（1）班、九（2）班模型设计的平均数、众数、中位数如上表所示： 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全九（1）班模型设计的频数分布直方图； （2）表格中m的值为______，n的值为______． （3）九（1）班这25名学生的科技小论文平均分为93分，九（2）班科技小论文平均分为89分．若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪个班最终成绩更高． 20. 如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 23. 定义：在四边形中，如果有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，则称该四边形为邻等四边形．其中，两条相等邻边的夹角称为邻等角．例如，如图1，在四边形中，已知，，则四边形是一个邻等四边形，其中是邻等角． （1）下列图形一定是邻等四边形的是 ．（填序号） ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． （3）如图3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． （4）如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期10月份大作业九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其符号表示即可． 【详解】解：若盈利元记作元，则亏损应用负数表示， 亏损元应记作元， 故选：B． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 3. 二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 4. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是3， 故选：B． 5. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答． 主要考查的是函数图象的平移，解题的关键是用平移规律直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为， 故选D． 6. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 7. 如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 8. 木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：因为若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平， 所以能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 9. 如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式表示是解题的关键． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为，因为镶嵌后的面积为为，根据矩形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：矩形长为、宽为，设镶嵌的装饰部分的宽度为， ∴镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为， ∴一元二次方程是， 故选：B ． 10. 若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 11. 已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可得出答案. 【详解】∵（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根 ∴且k-1≠0 解得：.k＜2且k≠1 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的个数与判别式的关系：①当时，有两个不等实根；②当时，有两个相等实根；③当时，无实数根. 12. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的应用，作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F， 根据题意，得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴四边形的周长为． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 抛物线与轴的交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把代入函数解析式，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：把代入函数解析式得：， ∴与轴的交点坐标为． 故答案为：． 15. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用题．设每次降价的百分率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用B， C坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值． 【详解】解：作轴于，作轴于， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， 设， 点B，C的坐标分别是，， ∴，解得：， ， ∵D在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算或解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握含乘方的有理数的混合运算，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先计算乘方、乘法，然后进行加法运算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 18. 如图，三个顶点的坐标分别是，，， （1）请画出向左平移6个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （3）在y轴上求一点P使周长最小，请标出点P的位置 【答案】（1） 解：如图，即为所求，； ； （2） 解：如图，即为所求，； （3） 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题，轴对称变换，平移变换． （1）依据平移的方向和距离，即可得到及点的坐标； （2）依据轴对称的性质，即可得到及点的坐标； （3）依据轴对称的性质，作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 某校九年级开展了“校园科技节”活动，每班选取25名学生参赛，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．对九（1）班、（2）班的25名参赛学生的模型设计分数进行整理、描述和分析，给出如下部分信息． a．九（1）班模型设计分数频数分布直方图． 其中这一组的数据为：86 86 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89 班级 平均数 众数 中位数 九（1）班 86.6 m n 九（2）班 87.2 90 86 b．九（1）班、九（2）班模型设计的平均数、众数、中位数如上表所示： 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全九（1）班模型设计的频数分布直方图； （2）表格中m的值为______，n的值为______． （3）九（1）班这25名学生的科技小论文平均分为93分，九（2）班科技小论文平均分为89分．若学校将模型设计和科技小论文两个项目的平均分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪个班最终成绩更高． 【答案】（1）补全统计图如下所示： （2）86；87 （3）九（1）班最终成绩更高 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数和加权平均数，正确读懂统计图并熟知中位数，众数和加权平均数的定义是解题的关键。 （1）求出九（1）班这一组的频数，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用对应项目的得分乘以其权重求出两个项目的得分，再求和求出总分，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，九（1）班这一组的频数为12， ∴九（1）班这一组的频数为， 图略； 【小问2详解】 解：∵九（1）班数据中得分为86分有5人，人数最多， ∴九（1）班数据的众数为86分，即, ， 把九（1）班25人的得分按照从低到高排列处在第13名的得分为87分， ∴九（1）班数据的中位数为87分，即； 【小问3详解】 解：九（1）班的成绩为分， 九（2）班的成绩为分， ∵， ∴九（1）班最终成绩更高． 20. 如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握菱形性质是解题的关键． （）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （）由菱形性质及（）中结论得到，在中，由勾股定理得，再结合面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 21. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 22. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】（1），， （2）抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【小问1详解】 解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 23. 定义：在四边形中，如果有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，则称该四边形为邻等四边形．其中，两条相等邻边的夹角称为邻等角．例如，如图1，在四边形中，已知，，则四边形是一个邻等四边形，其中是邻等角． （1）下列图形一定是邻等四边形的是 ．（填序号） ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． （3）如图3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． （4）如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 【答案】（1）④ （2） 证明：∵， ， ∵对角线平分， ， ， ， ∴四边形为邻等四边形． （3） 解：即为所求； （4） 【解析】 【分析】（1）根据“邻等四边形的定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，”即可解答． （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点；②，结合图形再确定满足的格点； （4）如图，过作于，可得四边形是矩形，，证明四边形为平行四边形，可得，设，而，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得一定是邻等四边形的是 正方形， 故答案为：④． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，过作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 设，而， ， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：（不符合题意舍去）， ， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $