22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 学科网（北京）股份有限公司 练基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1(安徽芜湖无为阶段练习)小明画了二次函数 的图象(如图所示)，则关于x的方程 的解为 ( ) B. x=1 C. x=-6 D. x=-8 2若方程 的解为 则二次函数 的图象与x轴的公共点坐标为 . 3(浙江杭州余杭期末)设二次函数 (a,b,c是常数,且a≠0),下表列出了x与y的部分对应值： x -2 0 2 4 y -1.5 2.5 m -1.5 则方程 的解是 . 知识点2 二次函数图象与x轴的公共点个数 4(教材P44思考改编)抛物线 与x轴的公共点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【变式】已知二次函数 的图象和x轴有公共点，则k的取值范围是 ( ) 且k≠0 且k≠0 知识点3 一元二次方程的近似解 5(安徽合肥期末)根据以下表格中二次函数 的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程( 的一个解x的范围是 ( ) x 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 1 3.5 7 A.0<x<0.5 B.0.5<x<1 C.1<x<1.5 D.1.5<x<2 知识点4|二次函数与不等式 6(浙江杭州校级阶段练习)若抛物线 bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点(3，0)，则使函数值y>0成立的x的取值范围是 ( ) A.1<x<3 B. x>3或x<1 C.-1<x<3 D. x>3或x<-1 7 (教材P47第5题改编)画出二次函数y=2(x-1)(x+3)的大致图象，并结合图象解答：当x满足什么条件时，y<0? 练提升 8(福建福州校级期中)二次函数 (m为常数)的图象与x轴的公共点个数为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 【变式】(易错题)已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 . 9(江苏扬州宝应期末)二次函数 的图象如图所示，若一元二次方程( 有实数根，则m的最大值为 （ ） A.3 B.-3 C. -3 10关于x的二次函数 的图象与x轴的公共点为(-3,0),(1,0),则方程a(x+ 的解是 . 11二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)不等式 的解集为 ； (2)若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ； (3)当2<x<3时,方程 有实数根，则t的取值范围是 . 练素养 12 新趋势 材料阅读题阅读材料：可以用如下方法求方程 的实数根的范围：利用函数 的图象可知，当x=0时，y<0,当x=-1时,y>0,所以方程有一个根在-1和0之间. (1)参考上面的方法，求方程 的另一个根在哪两个连续整数之间； (2)若方程 有一个根在0和1之间，求c的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 微专题4 直线与抛物线的公共点问题 学科网（北京）股份有限公司 【方法指导】联立直线与抛物线的函数解析式，消去y，得到一元二次方程.若直线与抛物线没有公共点，则该方程中 ；若直线与抛物线有两个公共点，则该方程中 若直线与抛物线有一个公共点，则该方程中 其公共点的横坐标即为该一元二次方程的根，反过来，该一元二次方程的根是对应的直线与抛物线的公共点的横坐标. 【针对训练】 1.如图，抛物线 与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为 则方程 的解是 . 2.(重庆校级期中)如图，已知抛物线 bx(a≠0))经过A(3,0),B(4,4)两点. (1)求抛物线的解析式； (2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值. 22.2二次函数与一元二次方程 1. A解析：由题图得函数 的图象与x轴公共点坐标分别是(-3,0),(1,0),∴关于x的方程: 的解是 故选A. 2.(-1,0),(3,0) 解析:由题意,得点(-2,-1.5)与点(4,-1.5)为二次函数图象上的对称点，∴抛物线的对称轴为x=1.∵当x=2时,y=m,即( ,∴当x=0时,y=m也成立.∴方程( 的解为 解题关键点：由表格中数据得到抛物线的对称轴，进而得到m的值. 4. A 解析: ∴抛物线与x轴无公共点，故选A. 【变式】C解析：∵二次函数 的图象和x轴有公共点，∴ ,且k≠0,解得 且k≠0,故选C. 5. B 解析:观察表格可知,当x=0.5时,y=-0.5;当x=1时,y=1,∴方程( 的一个解x的范围是0.5<x<1.故选B. 6. D 解析:∵抛物线 的对称轴是x=1，且经过点(3,0),∴抛物线 与x轴的另一公共点为(-1,0). ∵a>0,∴使函数值y>0成立的x的取值范围是x>3或x<-1.故选D. 7.解:令y=0,解得 ∴抛物线y=2(x-1)(x+3)与x轴的公共点为(1,0)和(-3,0). 其大致图象如图所示,∴当-3<x<1时,y<0. 8. C 解析:令 则 当Δ=0时，抛物线与x轴有1个公共点；当Δ>0时，抛物线与x轴有2个公共点.故选C. 【变式】1或- 解析：当m=0时，y=-1，与坐标轴只有一个公共点，不符合题意. 当m≠0时，∵二次函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点， ①过坐标原点,则m-1=0,解得m=1,此时 满足题意. ②不过坐标原点，即m≠1，则Δ=0,即( 解得，m₁=0(舍去), 综上所述，m的值为1或 易错点 容易忽略函数图象与y轴的公共点. 9. A解析：由题图可得，二次函数 的最小值是-3.∵一元二次方程 有实数根，即一元二次方程 有实数根，也就是 与y=-m有公共点，∴-m≥-3,解得m≤3,∴m的最大值是3,故选A. 解析：∵二次函数 的图象是把二次函数 的图象向右平移3个单位长度得到的，二次函数 的图象与x轴的交点为(-3,0),(1,0),∴二次函数y=a(x+k-3)²+k的图象与x轴的交点为(0,0)和(4,0),∴方程( 的解是 11.(1)1<x<3 (2)k<2 (3)0<t<2 解析：(1)由题图可得，在1<x<3时，抛物线在x轴上方， 的解集为1<x<3. (2)∵抛物线开口向下，且函数最大值为2，∴当k<2时，直线y=k与抛物线有两个交点，即当k<2时，关于x的一元二次方程( 有两个不相等的实数根. (3)∵当2<x<3时,方程( 有实数根，∴当2<x<3时,抛物线 与直线y=t有交点，由图象可知，此时0<t<2. 12.解:(1)利用函数 的图象可知，当x=2时,y<0,当x=3时,y>0,所以方程的另一个根在2和3之间. (2)函数 的图象开口向上，对称轴为x=1，当x=0时,y=c,当x=1时,y=1-2+c=-1+c.由题意，得 解得0<c<1. 微专题 4 解析：方程 的解，就是抛物线y=ax²与直线y= bx+c的两个公共点A(-3,6),B(1, 的横坐标，即 2.解:(1)∵抛物线 经过A(3,0),B(4,4)两点， 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)设直线OB的解析式为y= kx,把B(4,4)代入,得4k=4,解得k=1, ∴直线OB的解析式为y=x， ∴直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的解析式为y=x-m. ∵直线y=x-m与抛物线 只有一个公共点D， 有两个相等的实数根， 整理方程得：x²-4x+m=0,∴△=(-4)²-4m=0,解得m=4,即m的值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $