4.5.3函数模型的应用（第2课时 函数模型的应用实例）（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版必修第一册）

该高中数学课件聚焦函数模型的选择与应用，通过投资方案、奖励机制等实际问题导入，引导学生从现实情境中抽象常数、一次、指数、对数等函数模型，结合表格对比与图像分析其增长差异，归纳建模步骤，构建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如投资回报、销售奖励）培养模型意识，通过数据表格与函数图像发展几何直观，强调模型验证与逻辑推理（如例6证明对数模型符合要求）。采用实例探究法，学生能提升用数学思维解决实际问题的能力，教师可高效开展函数建模教学。

人教版2019高一数学（必修一）第四章 指数函数与对数函数 4.5.3函数模型的应用 第2课时 函数模型的应用实例 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题． 2.能建立函数模型解决实际问题． 3.了解拟合函数模型并解决实际问题． 4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力． 新知探究 2.分析函数模型的方法： 解析法 列表法 图象法 1.不同函数模型的增长特点： 保持不变 直线上升 指数爆炸 匀速递增 急剧增长 常数函数 一次函数 指数函数 没有增长 在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决. 课本例题 例5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据． 解：设第x天所得回报是y元，则 方案一： 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析. 三种方案每天回报表 x/天 方案1 方案2 方案3 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 　 10 　 0.4 　 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214748365 107374182.4 表格 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(下表) 6 y=40 y=10x y=0.4×2x-1 再画出三个函数的图象： 函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，用虚线连接离散的点 7 y=40 y=10x y=0.4×2x-1 由表和图象可知，方案一的函数是常函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的. 从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元. 根据这里的分析，是否应作这样的选择:投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三? 8 方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三. 上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异. 9 分析:本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系。由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求:第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5;第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x. 不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果. 例6 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢 200 400 600 800 1000 2 3 4 5 6 7 8 1 0 解:借助信息技术画出函数y=5，y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x的图象(下图).观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y =1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求. 11 下面通过计算确认上述判断. 先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元. 对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x=20 时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求; 对于模型y=1.002x ，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点满足 ，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x>时，y>5，所以该模型也不符合要求; 对于模型y=log7x+1 ，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x=1000时,y=log71000+1 +1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x+1 ≤0.25x成立. 令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图象 由图象可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此 f(x)≤f(10)≈-0.316 7<0， 即 log7x +1<0.25x. 所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y= log7x +1奖励，奖金不会超过利润的 25%. 综上所述，模型y= log7x +1确实能符合公司要求. 实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模 型的解 化 归 推理 运算 解释说明 这一过程包括分析理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题，在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下: 归纳 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课本练习 解：若按模型，将代入得 解得，所以. 若按模型，将代入，解得 所以. 1．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数。结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？ 4 5 6 73 76 77 73.4 77.7 81 实际人数 74 78 83 比较发现，采用模型与实际人数误差更小，乙选择的模型更符合实际. 1．某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，都是常数。结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？ 课本练习 2.由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增2008~2018 年的11年，上市的肉鸡数量如下; 同期该地的人口数如下: (1)分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数; (2)如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求? (3)按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议? 课本练习 解：（1）取自变量x为0，1，2，…，10，…，对应年份为2008，2009，2010，2018，…，肉鸡数量为，人口万，依据表画出与，与的对应点的散点图，如图1、图2. 由图1、图2知，与x，与x均大数为线性关系. 设，将代入， 得，解得，所以. 将代入，得， 解得所以. 课本练习 （3）因为每万人平均拥有肉鸡数量的函数是增函数，且当时，，所以如果按已知两表的变化趋势，该地每万人平均可有肉鸡数量在逐渐缓慢增加，上市的肉鸡能满足本地的需求.考虑到随着生活水平的提高，对肉鸡的需求会有所增加，所以该地2018年后的肉鸡市场只需基本按照目前的趋势发展即可. （2）2017年人均消费肉鸡， 2018年人均消费肉鸡，所以2018年能满足市场的需求. 课本练习 题型分类讲解 1.［辽宁沈阳2025高一期中］某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8 万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为 万元，则 多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为 （单位：万元）.如 果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是( ) D A.15万元 B.25万元 C.30万元 D.20万元 题型1 对数函数模型 解析 由题意知，当时， ； 当时， , 所以 当时，，故小江的销售利润 ， 所以，解得 ，所以小江的销售利润是20万元.故选D. 2.［河南安阳一中2024高一段考］中国的技术领先世界， 技术的数学原理之一便是著名的香 农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 取决于信道带宽 、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比 较大时，公式的真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，由于技术提升，信道带宽 在原来的基 础上增加，信噪比从1 000提升至，则 大约增加了( ) （参考数据： ） C A. B. C. D. 解析 由题意可知, 大约增加了 .故选C. 21 3.（多选）［江苏南通2024高一质量检测］研究表明，地震时释放的能量（单位： ）与地震里 氏震级之间的关系为 ，则( ) BD A.震级为2级的地震释放的能量为 B.释放能量为 的地震震级为3级 C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍 D.释放能量之比为 的两场地震的震级相差2级 解析 对于A,当时,,解得 ,A错误； 对于B,当时,,解得 ,B正确； 对于C,令9级地震释放的能量为,8级地震释放的能量为 , 则,于是 ,C错误； 对于D,设释放的能量为,对应的震级为,释放的能量为,对应的震级为 , 则,且,两式相减得 ,解得 ,D正确.故选 . 22 4.［山东菏泽2025高一调研］某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成 本（单位：元/）与上市时间 （单位：天）的数据如下表： 时间 50 110 250 种植成本 150 108 150 根据上表数据，函数，，， .能够描述 西红柿种植成本与上市时间 的变化关系的是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 题型2 函数模型的选择 解析 根据题中表格数据，西红柿种植成本与上市时间 的变化关系不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在 时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的是 ，故选B. 归纳总结（1）当描述增长速度变化很快的情况时,选用指数函数模型. （2）幂函数模型可以描述增长速度不同的变化情况,当值较小 时,增长 较慢；当值较大 时,增长较快. 23 5.［广西南宁2025高一期末］为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上 游水域的水质.省环保局于2023年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速 度越来越快，2024年2月底测得蒲草覆盖面积为，2024年3月底测得蒲草覆盖面积为 ， 蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型 与 可供选择. （1）分别求出两个函数模型的解析式； 【解】若选择模型，则解得， ，故函数模型为 . 若选择模型，则解得， ，故函数模型为 . （2）若2023年年底测得蒲草覆盖面积为 ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型， 说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到.（参考数据： ， ） [答案] 把代入，可得 ， 把代入，可得，可知 与20相差比较大， 故选择函数模型 更合适. 令，可得，两边取常用对数可得 ， 即 ，故至少到2025年2月底蒲草覆盖面积能达到 . 24 6.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为 ，试解答下面的问题： （1）写出年后该城市的人口总数（万）与年数 （年）的函数关系式； 【解】1年后该城市人口总数为 ； 2年后该城市人口总数为 ； 3年后该城市人口总数为 ；……； 年后该城市人口总数为, . 易错点 错用函数模型而致错 （2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万）； [答案] 10年后该城市人口总数为 （万）. （3）计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万（精确到1年）. 本题参考数据：，， [答案] 令,则有,解方程可得 . 故大约16年后该城市人口总数将达到120万. 易错警示应用题中的增长率问题,一般是应用指数型函数,不要只考虑增长而使用了其他的函数模型. 25 课堂小结 实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模 型的解 化 归 推理 运算 解释说明 这一过程包括分析理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”)；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题，在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等. $