精品解析：江苏省无锡市第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

无锡市第一中学2025—2026学年度第一学期阶段性质量检测试卷 高三数学 2025.10 命题：薛菁 审核：陶睿 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ） A. 24 B. ﹣24 C. 110 D. ﹣110 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 7. 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当或13时，取得最大值 D. 若．则数列的前36项和 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆． 则下列正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 三角形面积的最大值为2 C. 若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D. 圆锥的外接球体积为 11. 已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（），则_____． 13. 在中，，为的中点，，与交于点，则________. 14. 已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 16. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知函数，将函数先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值域； （2）求的单调增区间； （3）求数列的前项和． 18. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2025—2026学年度第一学期阶段性质量检测试卷 高三数学 2025.10 命题：薛菁 审核：陶睿 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出复数，然后根据复数的概念识别该复数的实部. 【详解】由已知条件知：. 所以. 所以该复数的实部为-1. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求集合A，再根据指数函数性质求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 3. 一质点在力＝(﹣3，5)，＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则，的合力F对该质点所做的功为（ ） A. 24 B. ﹣24 C. 110 D. ﹣110 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出，的合力F的坐标、的坐标，再求出由共点力平衡得合力对该质点所做的功. 【详解】由题意可知，，的合力=+=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，， 则由共点力平衡得合力对该质点所做的功为. 故选：A. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，解得，所以函数的定义域为， 记，可得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B； 由，可得，所以函数与x轴有两交点，排除CD；A符合. 故选：A. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数对数的转化先表示，利用换底公式化简，进而比较与的大小，利用简单的放缩即可比较与1的大小，进而求解. 【详解】由，，得，， 又，即有， 所以，因此，所以． 故选：D． 6. 已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得在上单调递增，且，得，得解. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 由，则，且在上单调递减， 所以在上单调递增，由余弦型函数的对称性易知， 所以，即，故. 故选：A. 7. 若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将换成用表示,从而将平方表示成，由,求出，进而求出范围. 【详解】因为, 所以且, 故且, 所以, 故, , 所以, 所以, 故选：A． 8. 对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在 上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确. 【详解】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下： （1）不等式变形为. （2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误. （3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当或13时，取得最大值 D. 若．则数列的前36项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得判断A；求出通项公式可判断B；由通项公式可得各项的符号判断C；利用并项求和法可得判断D. 【详解】在等差数列中，有，所以， 又因为，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，故A不正确； 所以等差数列的公差， 所以等差数列的通项公式为，故B正确． 当时，；当时，； 当时，，故当或13时，取得最大值， 故C正确， 因为，，所以， 则，故D正确． 故选：BCD. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆． 则下列正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 三角形面积的最大值为2 C. 若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D. 圆锥的外接球体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的半径与母线长度的关系求得表面积；依据的面积与长度的关系，利用基本不等式求最值；找出二面角的平面角可利用三角函数求得线段长度进而求面积；理清外接球的性质列方程求解半径. 【详解】圆锥底面周长为，即圆锥侧面展开图的半圆的弧长为. 则该半圆所在圆的周长为，故其半径为，即该圆锥的母线长为，. 圆锥的侧面积为，底面积为，故表面积为.A选项正确. 设，，，故的面积，当且仅当时等号成立，即时等号成立.但 ,故无法取得最大值. B选项错误. 中点为，连接，.易知. 所以为二面角的平面角，. 又因为为直角，所以，求得.由勾股定理得. 所以的面积为.C选项正确. 圆锥的外接球球心在点上方，设. 因为，所以，解得. 故外接球的半径为，所以体积为. D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求出可判断A；利用，可判断B；利用， 可判断C；设，又， 得，可判断D． 【详解】对于A，令，则，可得， 解得，故A正确； 对于B，由，可得， 所以函数的图象关于点中心对称，故B错误； 对于C，由可得， 所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，设①， 又②，由①②可得， 所以，即， 所以，所以， ，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（），则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将等式两边同时平方，然后构造齐次分式，然后分子分母同除得到关于的方程，解出的值，然后由正切的倍角公式求出. 【详解】 ，， ． 故答案为： 13. 在中，，为的中点，，与交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数的导函数为，对恒成立，（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合和，可求得，利用导数求出的单调区间和极值，画出的图象，结合图象可求得结果. 【详解】由，得， 令，则， 所以，因为，所以， 所以，所以， 故， 令，则或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值为，极小值为， 因为，，， 当时，，所以的图象如图所示， 因为不等式的解集中恰有3个整数， 所以时，不等式的解集中恰有3个整数， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据已知条件求出的解析式，然后利用导数画出的图象，结合图象求解. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）设D为边的中点，若，的面积为14，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解； （2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即. 在中，由，得， 所以，又，，所以，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以， 所以，即， 因为，即，所以， 在三角形中，由余弦定理可得 ， 所以. 16. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，，     因为中，，为所在边的中点，所以，， 在梯形中，，，所以， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系得出平面和平面的法向量即可得出面面角的余弦值，最后同角三角函数关系求解正弦. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面，又， 所以以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，，， ，令，则， 所以平面的一个法向量， 记二面角的平面角为， ， 所以，所以二面角的正弦值为． 17. 已知函数，将函数先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值域； （2）求的单调增区间； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）化简的表达式即可求得值域； （2）根据函数变换的概念求得的表达式后即可求解单调增区间； （3）根据n的奇偶性，求得的通项公式，再对分奇偶加起来即可． 【小问1详解】 ， 的值域为． 【小问2详解】 ，时满足，其中， 解得，最小零点为时，， 依题意有，，， 单调递增区间满足，， 单调递增区间为，． 【小问3详解】 由（2）可知满足，依据三角函数特性可知，一个周期内有两个零点，所以最小的两点零点为、，周期， 也即的奇数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列，的偶数项构成了一个以为首项，为公差的等差数列， 也即，所以， ． 18. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $