2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习 2025-2026学年湘教版数学九年级上册

2.4 一元二次方程根与系数的关系 一．选择题 1．设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 2．一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A． B．﹣3 C．3 D． 3．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C． D． 5．已知m，n是方程x2﹣10x+1＝0的两根，则代数式m2﹣9m+n的值等于（　　） A．0 B．﹣11 C．9 D．11 6．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）＝0的两根，则m的值是（　　） A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．﹣4或1 7．已知xy≠1，且3x2+2022x+6＝0，6y2+2022y+3＝0，则（　　） A．9 B．3 C．2 D． 8．已知一元二次方程的两根分别为x1＝﹣2，x2＝﹣3，则这个方程可以为（　　） A．（x﹣1）（x+2）＝﹣3×（﹣1） B．（x+1）（x﹣3）＝﹣1×（﹣6） C．（x+2）（x+3）＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0 9．设a，b是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0，有9a+3b+c＝0和4a﹣2b+c＝0成立，则的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．5 D．﹣5 二．填空题 11．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为12，则该菱形的边长为 　 　 ． 12．已知a、b是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则代数式a2+5a+3b＝ 　 　 ． 13．若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且，则p的值为　 　 ． 15．（1）将方程2x2＝5x﹣1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是　 　 ． （2）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x1﹣x1x2＝　 　 ． 三．解答题 16．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根及m的值． 17．若关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设x1，x2是方程的两个根，且，求k的值． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． （1）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0是“2倍根方程”，求出c的值． （2）若（x﹣3）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“2倍根方程”，求代数式的值． 19．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根分别是x1，x2（x1＜x2），若x1，x2为整数，则称（x1，x2）为“Deep”点． （1）x2+5x+4＝0　 　 （填是或否）存在“Deep”点； （2）若关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0的“Deep”点为（2，3），求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0是否存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 20．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　 ，x1x2＝ 　 　 ； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，则m2+n2的值 　 　 ； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，则的值 　 　 ； （4）拓展：已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且3x1•x2﹣x1﹣x2＞2，则实数m的取值范围是 　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A C A D C C B 二．填空题 11．． 12．1． 13．7． 14．． 15．1． 三．解答题 16．解：（1）由条件可知Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0， 解得：m≥﹣1； （2）把x＝1代入x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0，得1﹣2m+m2﹣m﹣1＝0， 解得：m＝0或m＝3， 分以下两种情况： 当m＝0时，方程为x2﹣1＝0， 解得x＝1或x＝﹣1， 此时另一个根为﹣1； 当m＝3时，方程为x2﹣6x+5＝0， 解得x＝1或x＝5， 此时另一个根为5； 综上所述，当m＝0时，另一个根为﹣1；当m＝3时，另一个根为5． 17．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）≥0， 解得k≤3； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵， ∴（x1+x2）x1x2＝8， 即4（k+1）＝8， 解得k＝1， ∵k≤3， ∴k的值为1． 18．解：（1）设方程的两根分别为t，2t， 根据根与系数的关系得t+2t＝6，t•2t＝c， 解得t＝2， 所以c＝2×4＝8， 即c的值为8； （2）（x﹣3）（ax﹣b）＝0， 解得x1＝3，x2， 当2×3，即b＝6a时，原式； 当3，即ba时，原式0． 19．解：（1）由x2+5x+4＝0，得（x+4）（x+1）＝0， ∴x+4＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝﹣1， ∵﹣4，﹣1为整数， ∴（﹣4，﹣1）是“Deep”点， 故答案为：是； （2）由条件可知2+3＝﹣b，2×3＝c， 故b＝﹣5，c＝6； （3）假设关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上， 由x2+2mx+m2+m＝0， 得Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2+m）＝﹣4m≥0， 故m≤0， 由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，， ∴x2＝﹣2m﹣x1， ∵“Deep”点（x1，x2）在直线y＝﹣2x+2上， ∴x2＝﹣2x1+2， ∴﹣2x1+2＝﹣2m﹣x1， 解得x1＝2+2m，x2＝﹣2﹣4m， ∴9m2+13m+4＝0， 解得m＝﹣1或， 当m＝﹣1时，方程为x2﹣2x＝0，x1＝0，x2＝2，“Deep”点坐标为（0，2），符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上，此时m＝﹣1． 20．解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2，x1•x2． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n， ∴m+n，mn． ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝（）2﹣2×（） 1 ； 故答案为：； （3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t， ∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴s+t，st． ∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（）， ∴t﹣s， ∴ ∴的值为或． 故答案为：或． （4）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣1）＞0， 解得m＜5， 由根与系数的关系可知：x1+x2＝4，x1•x2＝m﹣1， ∵3x1•x2﹣x1﹣x2＞2， ∴3（m﹣1）﹣4＞2， 解得m＞3， ∴3＜m＜5． 故答案为：3＜m＜5． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/20 14:45:21；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $