专项讲练3 倍数和因数（期中复习讲义）导图+新知回顾+14个重点难点考点讲练+真题演练+拔尖训练 共56题-2025-2026学年北师大版数学五年级上册

专项讲练3 倍数和因数 （导图+新知回顾+14个重点难点考点讲练+真题演练+拔尖训练 共56题） 【解析版】 知识速览 2 新知回顾 2 知识点梳理01：整数和自然数 2 知识点梳理02：倍数与因数 3 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 3 知识点梳理04：找因数 3 知识点梳理05：质数与合数 4 真题讲练 4 重点难点考点讲练1：因数和倍数的认识 4 重点难点考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 5 重点难点考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 6 重点难点考点讲练4：2、5的倍数特征 7 重点难点考点讲练5：奇数与偶数的认识 8 重点难点考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 9 重点难点考点讲练7：3的倍数特征 10 重点难点考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 13 重点难点考点讲练9：9的倍数特征 14 重点难点考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 16 重点难点考点讲练11：根据因数的特征解决问题 19 重点难点考点讲练12：倍数和因数的综合应用 20 重点难点考点讲练13：质数与合数的认识 21 重点难点考点讲练14：分解质因数 23 小升初真题实战演练 24 拔尖冲刺 25 知识点梳理01：整数和自然数 整数：像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3……这样的数统称为整数，整数包括正整数、0和负整数，没有最大或最小的整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数，自然数包括正整数和0，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 知识点梳理02：倍数与因数 倍数与因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。例如3×4=12，则3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 两者关系：倍数与因数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倍数或因数。比如不能说“12是倍数”“3是因数”，而应表述为“12是3和4的倍数”“3是12的因数”。 研究范围：在研究倍数和因数时，所说的自然数指的是不包括0的自然数。 求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。例如，3的倍数有3×1=3，3×2=6，3×3=9……所以3、6、9等都是3的倍数。 判断两个数成倍数关系的方法： 列乘法算式：看能否通过两个数相乘得到另一个数，用积来判断。 列除法算式：如果商是整数且没有余数，那么这两个数就成倍数关系，反之则不是。例如24÷6=4，商是整数且没有余数，所以24是6的倍数。 倍数与因数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如10、12、14等都是2的倍数。 奇数和偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。例如2、4、6是偶数，1、3、5是奇数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。如10、15、20等都是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如123，各位数字之和为1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 知识点梳理04：找因数 列乘法算式：从1开始，一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数。例如找12的因数，因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式：用这个数除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 知识点梳理05：质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。例如2、3、5、7等，它们都只有1和自身两个因数。 合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。例如4、6、8、9等，4的因数有1、2、4，除了1和4还有因数2。 特殊数：1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 重点难点考点讲练1：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西西安·期中）选择下面的（    ）包装盒刚好能把39瓶饮料装完。（每个盒子装同样多） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】要保证所选的包装盒刚好能把39瓶饮料装完，即要求每个包装盒里装的数量是39的因数（能整除39）。据此逐一分析。 【规范解答】A．39÷6＝6.5，不能整除，因此6不是39的因数，该选项错误； B．39÷3＝13，能整除，因此3是39的因数，该选项正确； C．39÷5＝7.8，不能整除，因此5不是39的因数，该选项错误； D．39÷9≈4.3，不能整除，因此9不是39的因数，该选项错误。 故答案为：B 【变式1】（23-24五年级上·陕西西安·期中）下面各数中，既是18的因数又是6的倍数的是（    ）。 A．3 B．6 C．12 【答案】B 【思路引导】根据倍数的定义：倍数是指一个数是另一个数的倍数，即这个数可以被另一个数整除，没有余数。结合因数的定义：‌因数是指一个数能够被另一个数整除的数。据此选择即可。 【规范解答】A．3是18的因数，不是6的倍数； B．6即是18的因数又是6的倍数； C．12不是18的因数，是6的倍数。 故答案为：B 【变式2】（23-24五年级上·广东深圳·期中）a，b，c是三个不同的不为0的自然数，a＝3×b，b÷c＝2，那么（    ）。 A．a是c的因数 B．b是a的倍数 C．c是a的因数 D．b是c的因数 【答案】C 【思路引导】根据a＝3×b，可化为a÷b＝3；a除以b等于3，说明a是b的倍数，b除以c等于2，说明b是c的倍数，a是c的倍数，那么a最大，c最小；b、c是a的因数，a是b、c的倍数。 【规范解答】根据分析可知，a，b，c是三个不同的不为0的自然数，a＝3×b，b÷c＝2，那么c是a的因数。 故答案为：C 重点难点考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（23-24五年级上·陕西西安·期中）2000的因数比3的倍数的个数要多得多。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】a÷b＝c（a、b、c均为正整数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。一个数的因数是有限的，一个数的倍数是无限的。据此解题。 【规范解答】2000的因数的个数是有限的，而3的倍数的个数是无限的。所以，2000的因数比3的倍数的个数要少。 故答案为：× 【变式1】（22-23五年级上·山西吕梁·期中）一个数既是6的倍数又是36的因数，这个数最小是( )。 【答案】6 【思路引导】根据求一个数因数的方法和求一个数倍数的方法，求出36以内6的倍数，36的全部因数，即可解答。 【规范解答】6的倍数：6，12，18，24，30，36； 36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 既是6的倍数，又是36的因数有：6，12，18，36；最小是6。 一个数既是6的倍数又是36的因数，这个数最小是6。 【变式2】（24-25五年级上·吉林·期中）如果一个数的最大因数是18，那么它的最小倍数是( )。 【答案】18 【思路引导】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】如果一个数的最大因数是18，即18就是它本身，所以这个数是18，那么它的最小倍数是它本身即18。 重点难点考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·广西贺州·期中）在古代，耳顺指人的年龄是六十岁，古稀指人的年龄是七十岁，奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年的年龄是（    ）岁。 A．64 B．24 C．66 D．48 【答案】A 【思路引导】已知耳顺指人的年龄是六十岁，古稀指人的年龄是七十岁，奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，所以奶奶的年龄在60到70之间，因为奶奶的年龄是8的倍数，所以找出处于60到70之间，且为8的倍数的数，即可求解。 【规范解答】A．64在60到70之间，，即64是8的倍数，符合题意； B．24不在60到70之间，不符合题意； C．66在60到70之间，，66不是8的倍数，不符合题意； D．48不在60到70之间，不符合题意。 故答案为：A 【变式1】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【思路引导】每9名排成一队，每队人数一样多，人数应是9的倍数，据此解答。 【规范解答】19÷9＝2（队）……1（名） 9－1＝8（名） 舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来8名同学才能排好队形。 故答案为：B 重点难点考点讲练4：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西西安·期中）五个连续自然数的和一定是5的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【规范解答】五个连续自然数的和＝中间数×5，五个连续自然数的和一定是5的倍数，说法正确。 故答案为：√ 【变式1】（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个两位的偶数，各个数位上的和是4，它还是5的倍数，这个数是( )。 【答案】40 【思路引导】个位上是0或5的数是5的倍数，各个数位上的和是4，由此可知，这个两位偶数的个位是0，再用4减去0即可求出十位上的数是几。 【规范解答】根据5的倍数的特征可知，个位是0； 4－0＝4 所以这个两位偶数是40。 【变式2】23-24五年级上·陕西西安·期中）任意5个连续自然数的和一定不是2的倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，结合2的倍数的特征：2的倍数的特征是个位数是0，2，4，6，8的数一定是2的倍数。假设5个连续的自然数为2、3、4、5、6，它们加起来为20，据此判断即可。 【规范解答】任意5个连续自然数的和有可能是2的倍数。 2＋3＋4＋5＋6 ＝5＋4＋5＋6 ＝9＋5＋6 ＝14＋6 ＝20 所以原题说法错误。 故答案为：× 重点难点考点讲练5：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·福建泉州·期中）欢欢、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 【答案】 10 14 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，用三人的年龄总和除以3，求出平均数，即是中间的年龄，再用中间的年龄分别减2、加2，求出三人中最小的年龄和最大的年龄。 【规范解答】36÷3＝12（岁） 12－2＝10（岁） 12＋2＝14（岁） 他们三人中最小的是10岁，最大的是14岁。 【变式1】（22-23五年级上·甘肃定西·期中）最小的自然数是 ，最小的合数是 ，既是偶数又是质数的数是 。 【答案】 0 4 2 【思路引导】用来表示物体个数的 0，1，2，3，4，……都叫自然数，自然数的个数是无限的，最小的自然数是 0； 根据质数与合数、奇数与偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答即可。 【规范解答】最小的自然数是0，最小的合数是4，既是偶数又是质数的数是2。 【变式2】22-23五年级上·甘肃定西·期中）三个相邻偶数的和是24，那么这三个数中最小的是（    ）。 A．6 B．8 C．12 【答案】A 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2；用这三个连续偶数的和除以3，求出平均数，也是中间的偶数，再用中间的偶数减2，即是这三个数中最小的偶数。 【规范解答】24÷3＝8 8－2＝6 这三个数中最小的是6。 故答案为：A 重点难点考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）笑笑有一些2元和5元的纸币（两种纸币都有），总共40元。她可能有多少张2元和5元的纸币？下面说法正确的是（    ）。 A．5元的可能有0张。 B．5元的可能有3张。 C．5元的张数一定是偶数张。 D．无法推测5元的张数。 【答案】C 【思路引导】根据总金额是40元，以及2元和5元的纸币的面值（两种纸币都有），结合数的奇偶性，奇数×奇数＝奇数，奇数＋偶数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，进而逐项判断即可。 【规范解答】A．根据题意可知2元和5元的纸币两种都有，5元的不可能为0张，原说法错误； B．因为总钱数是偶数，2元纸币不管几张都是偶数元，所以5元的纸币金额也是偶数元，即5元的纸币张数是偶数张，不可能是奇数张，原说法错误； C．根据B的分析，可知5元的一定是偶数张，原说法正确； D．根据B的分析，可知5元的一定是偶数张，原说法错误。 综上，只有C选项说法正确。 故答案为：C 【变式1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）为了加强生活垃圾分类宣传教育，提高师生参与垃圾分类的积极性和主动性，学校举办了垃圾分类知识竞赛。五（1）班同学参加了这次竞赛，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（1）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？ 【答案】偶数；原因见详解 【思路引导】答对的数量×3－答错的数量×1＝实际得分，奇偶的运算性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数。如果答对是奇数，那么答错也是奇数，得分和扣的分数一定是两个奇数，差为偶数；如果答对是偶数，那么答错也是偶数，得分和扣的分数一定是两个偶数，差还是偶数；据此解答即可。 【规范解答】假设全答对： 40×3＝120（分），得分为偶数； 假设答对39道题： 39×3－1×1＝117－1＝116（分），得分为偶数； 假设答对38道题： 38×3－1×2＝114－2＝112（分），得分为偶数； …… 由于答对的数量×3－答错的数量×1＝实际得分，总题数是40道，属于偶数，有两种情况： ①如果答对是奇数，那么答错也是奇数，得分和扣的分数一定是两个奇数，差为偶数； ②如果答对是偶数，那么答错也是偶数，得分和扣的分数一定是两个偶数，差还是偶数； 据此可得，总得分一定是偶数。 答：五（1）班同学所得总分是偶数。 【变式2】（23-24五年级上·广东深圳·期中）小华到文具店买文具，钢笔每支8元，日记本每本4元，他买了一些钢笔和日记本，付出100元，店员找回23元。小华马上告诉店员说钱数不对，你知道为什么吗？请用自己喜欢的方式进行解释说明。 【答案】见详解 【思路引导】单价×数量＝总价，据此明确实际钱数和找回的钱数的求法，再根据奇数和偶数的运算性质，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，进行分析。 【规范解答】钢笔单价×数量＋日记本单价×数量＝实际钱数，付的钱数－实际钱数＝找回的钱数，8、4和100都是偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱数应该是偶数，而23是奇数，所以钱数不对。 重点难点考点讲练7：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25六年级上·山西吕梁·期中）在下面4张卡片中选两个数字组成一个两位数，是3的倍数的是 ，同时是2和3的倍数的是 ，同时是3和5的倍数的是 。 【答案】 24、54、42、45 24、54、42 45 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。从2、0、5、4中选两个数字组成的两位数有：20、25、24、52、50、54、42、40、45，然后分类即可。 【规范解答】20：2＋0＝2，2不是3的倍数，所以20不是3的倍数。 25：2＋5＝7，7不是3的倍数，所以25不是3的倍数。 24：2＋4＝6，6是3的倍数，所以24是3的倍数，又是2的倍数。 52：5＋2＝7，7不是3的倍数，所以52不是3的倍数。 50：5＋0＝5，5不是3的倍数，所以50不是3的倍数。 54：5＋4＝9，9是3的倍数，所以54是3的倍数，又是2的倍数。 42：4＋2＝6，6是3的倍数，所以42是3的倍数，又是2的倍数。 40：4＋0＝4，4不是3的倍数，所以40不是3的倍数。 45：4＋5＝9，9是3的倍数，所以45是3的倍数，又是5的倍数。 所以是3的倍数的数有24、54、42、45；同时是2和3的倍数的数有24、54、42；同时是3和5的倍数是45。 【变式1】（24-25五年级上·四川成都·期末）从数字卡片2，3，5，7中任意抽出两张，组成的两位数中，得数是3的倍数有( )个。 【答案】4 【思路引导】先求出组成的两位数，再根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答。 【规范解答】2，3，5，7组成的两位数有：23，25，27，32，35，37，52，53，57，72，73，75。 23；2＋3＝5，5不能被3整除，不是3的倍数； 25；2＋5＝7，7不能被3整除，不是3的倍数； 27；2＋7＝9，9能被3整除，是3的倍数； 32；3＋2＝5，5不能被3整除，不是3的倍数； 35；3＋5＝8，8不能被3整除，不是3的倍数； 37；3＋7＝10，10不能被3整除，不是3的倍数； 52；5＋2＝7，7不能被3整除，不是3的倍数； 53；5＋3＝8，8不能被3整除，不是3的倍数； 57；5＋7＝12，12能被3整除，是3的倍数； 72；7＋2＝9，9能被3整除，是3的倍数； 73；7＋3＝10，10不能被3整除，不是3的倍数； 75；7＋5＝12，12能被3整除，是3的倍数。 得数是3的倍数一共有4个 从数字卡片2，3，5，7中任意抽出两张，组成的两位数中，得数是3的倍数有4个。 【变式2】（24-25五年级上·广西贺州·期中）在下列数字卡中选出三个数字，分别按要求组成一个三位数。 (1)3的倍数： ； (2)同时是2和3的倍数： ； (3)同时是2和5的倍数： ； (4)同时是2、3和5的倍数： 。 【答案】(1)156 (2)750 (3)160 (4)150 【思路引导】（1）3的倍数各位数字之和是3的倍数。选取1、5、6，组成156，各位数字之和为1＋5＋6＝12，12÷3＝4，12是3的倍数，所以组成的三位数156是3的倍数。 （2）2的倍数个位是0、2、4、6、8；各位数字之和是3的倍数。选取0、5、7，组成750，个位是0（是2的倍数），各位数字之和7＋5＋0＝12，12÷3＝4，750是3的倍数，所以750同时是2和3的倍数。 （3）同时是2和5的倍数的数，个位必须是0。选取1、6、0，组成160，个位是0，所以160同时是2和5的倍数。 （4）同时是2、3和5的倍数的数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数。选取1、5、0，组成150，个位是0，各位数字之和1＋5＋0＝6，是3的倍数，所以150同时是2、3和5的倍数。 【规范解答】（1）选取1、5、6，组成156。 1＋5＋6＝12，12是3的倍数。 所以组成的三位数156是3的倍数。（答案不唯一） （2）选取0、5、7，组成750，个位是0，是2的倍数； 7＋5＋0＝12，12是3的倍数； 所以750同时是2和3的倍数。（答案不唯一） （3）选取1、6、0，组成160，个位是0，所以160同时是2和5的倍数。（答案不唯一） （4）选取1、5、0，组成150，个位是0； 1＋5＋0＝6，6是3的倍数； 所以150同时是2、3和5的倍数。（答案不唯一） 重点难点考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期中）有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 【答案】30分 【思路引导】分析题目，要使三路公交车同时发车则时间必须同时是2、3、5的倍数，据此分别列举出2，3，5的倍数；再找出同时是2、3、5的倍数的最小数即可解答。 【规范解答】2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34…… 3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36…… 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35…… 同时是2、3、5的倍数的最小数是：30 答：这三路公交车至少再过30分会同时发车。 【变式1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）用3、2、7、0组成一个同时是2、3、5的倍数的最小三位数是（    ）。 A．230 B．270 C．320 D．720 【答案】B 【思路引导】一个数要同时是2和5的倍数，则个位必须是0，据此先选出个位的数字0；是3的倍数的数必须满足所有数位上的数字之和是3的倍数，据此从较小的数字开始选择确定其他两个数位上的数字，注意：题目要求是最小的三位数，所以百位的数字要比十位小，据此写出这个数即可。 【规范解答】3＋2＋0＝5 5÷3＝1……2 2＋7＋0＝9 9÷3＝3 用3、2、7、0组成一个同时是2、3、5的倍数的最小三位数是270。 故答案为：B 【变式2】（24-25五年级上·安徽亳州·期中）同时是2，5，3的倍数的数是（    ）。 A．432 B．623 C．720 D．613 【答案】C 【思路引导】能同时被2、5整除的数末尾一定是0；能被3整除的数，各个位数上的数加起来一定是3的倍数，所以同时是2、5、3的倍数的数是一定要同时满足以上特征。 【规范解答】 根据2、5的倍数特征以及3的倍数特征可知，同时是2、5、3的倍数的数是720。 故答案为：C 重点难点考点讲练9：9的倍数特征 【典例精讲】（23-24五年级上·广东揭阳·期中）由5、6、7三个数字组成的所有三位数一定都是（    ）的倍数。 A．9 B．6 C．5 D．2 【答案】A 【思路引导】9的倍数特征：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。 6的倍数特征：如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【规范解答】A．5＋6＋7＝18，18是9的倍数，所以由5、6、7三个数字组成的所有三位数一定都是9的倍数。 B．5、6、7组成567、657、675、765时，不是偶数，也就不是6的倍数； C．5、6、7组成567、576、657、756时，不是5的倍数； D．5、6、7组成567、657、675、765时，不是2的倍数。 故答案为：A 【变式1】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）（1）下面各数中，哪些数是9的倍数？请用“○”圈出来。 48    36    69    72    108    99    296    369    1026 （2）针对第1题数据列表探究。 9的倍数 各个数位上的数之和 （3）由第2题我发现是9的倍数的数的特征是______________。 （4）根据你的发现写出两个是9的倍数的四位数：（        ）、（        ）。 【答案】（1）（2）见详解 （3）各个数位上的数字之和是9的倍数 （4）1062，6021 【思路引导】（1）能够被9整除的数就是9的倍数；据此即可圈出9的倍数； （2）将（1）中9的倍数的数填入表中，再将各个数位上的数相加即可； （3）根据各个数位上的数字之和的特征解答即可； （4）列举出符合要求的四位数即可，答案不唯一。 【规范解答】（1）48÷9＝5……3 36÷9＝4 69÷9＝7……6 72÷9＝8 108÷9＝12 99÷9＝11 296÷9＝32……8 369÷9＝41 1026÷9＝114 如下： （2）列表如下： 9的倍数 36 72 108 99 369 1026 各个数位上的数之和 9 9 9 18 18 9 （3）我发现是9的倍数的数的特征是：各个数位上的数字之和是9的倍数。 （4）是9的倍数的四位数有：1062，6021。（答案不唯一） 【变式2】（24-25五年级上·辽宁·期中）在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，☑内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 【答案】 0 1、4、7 3 【思路引导】（1）要使24□是5的倍数，则□是0或5，由于24□又是3的倍数，则2＋4＋□的和是3的倍数，所以□只能填0。 （2）5□0的个位上是偶数，所以5□0是2的倍数，要使5□0是3的倍数，则5＋□＋0的和是3的倍数，所以□里可以填1、4、7。 （3）要□69是9的倍数，则□＋6＋9的和是9的倍数，所以□里只能填3，9是3的倍数，所以369是9的倍数就一定是3的倍数。 【规范解答】（1）根据分析可知，24□，□内填0既是3的倍数又是5的倍数。 （2）根据分析可知，5□0，□内填1、4、7既是2的倍数又是3的倍数。 （3）根据分析可知，□69，□内填3既是3的倍数又是9的倍数。 重点难点考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广西贺州·期中）爱华小学五年级的同学们准备去研学，出发前黄老师要购买一些食品和防护用品。请根据下面信息解决研学中的数学问题。 ①A品牌防蚊花露水：小瓶装39毫升，15.6元/瓶；大瓶装95毫升，22.8元/瓶。 ②晕车贴21.8元/盒 ③三层水果蛋糕288元/个 ④麒麟瓜6.8元/千克 ⑤买了一个三层水果蛋糕和12盒牛奶泡芙，一共付款489.6元。 ⑥买15千克樱桃所需的钱和24千克麒麟瓜的钱一样多。 （1）黄老师买了36个麒麟瓜。现在有三种不同的纸箱，选用哪种纸箱装能正好把这些麒麟瓜装完？写出你的理由。 （2）根据研学需要，黄老师买了3根同样的草绳，结账时售货员阿姨说应付49元，黄老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ （3）为了防止同学们在户外被蚊虫叮咬，黄老师准备购买足够五年级学生使用的A品牌防蚊花露水。买哪种瓶装的防蚊花露水最划算？请通过计算说明。 （4）为了防止有同学晕车，黄老师拿200元买了4盒晕车贴，剩下的钱去买价格为9.4元/提的纸巾，可以买多少提纸巾？ （5）请你从前面的信息中选出2条信息，提出一个数学问题并解答。 你选择的信息是：________和________（填序号）。 你的问题是：________________________________________。 解答： 【答案】（1）4个装或6个装；理由见详解 （2）解释见详解 （3）大瓶装；计算见详解 （4）12提 （5）④；⑥ 每千克樱桃多少钱？10.88元 【思路引导】（1）先列举出36的所有因数，再看三个不同纸箱“4个装”、“6个装”、“8个装”是否是36的因数；若是36的因数，则这种纸箱能正好装完；若不是36的因数，则这种纸箱不能正好装完；据此解答。 （2）根据“单价×数量＝总价”可知，买3根同样的草绳，总花费应是3的倍数；根据3的倍数特征“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，判断49是否是3的倍数，进而解释。 （3）根据“总价÷数量＝单价”，分别求出A品牌防蚊花露水小瓶装和大瓶装每毫升的价钱，再比较，即可得出买哪种瓶装的防蚊花露水最划算。 （4）已知晕车贴21.8元/盒，买4盒，根据“单价×数量＝总价”求出买晕车贴花的钱数；再用总钱数减去买晕车贴花的钱数，求出剩下的钱数； 剩下的钱去买价格为9.4元/提的纸巾，根据“总价÷单价＝数量”求出可以买纸巾的数量。 （5）从前面的信息中选出2条信息，提出一个数学问题并解答。 如选择信息④和⑥，提出问题：每千克樱桃多少钱？ 先根据“单价×数量＝总价”，用麒麟瓜的单价乘24，求出买24千克麒麟瓜的总花费；因为买15千克樱桃所需的钱和24千克麒麟瓜的钱一样多，根据“总价÷数量＝单价”，用买24千克麒麟瓜的总花费除以15，即可求出樱桃的单价。 【规范解答】（1）36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 4和6是36的因数，8不是36的因数。 答：选用4个装或6个装的纸箱能正好把这些麒麟瓜装完。因为4和6是36的因数，36能被4和6整除，所以用4个装和6个装的纸箱，能正好装完。 （2）4＋9＝13，13不是3的倍数，所以49不是3的倍数。 答：因为买3根同样的草绳，总花费应是3的倍数，而49不是3的倍数，所以黄老师认为售货员说的不对。 （3）15.6÷39＝0.4（元） 22.8÷95＝0.24（元） 0.24＜0.4 答：买大瓶装的防蚊花露水最划算。 （4）（200－21.8×4）÷9.4 ＝（200－87.2）÷9.4 ＝112.8÷9.4 ＝12（提） 答：可以买12提纸巾。 （5）我选择的信息是：④和⑥。（答案不唯一） 我的问题是：每千克樱桃多少钱？ 解答： 6.8×24÷15 ＝163.2÷15 ＝10.88（元） 答：每千克樱桃10.88元。 【变式1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）一个数既是9的倍数，又是27的因数，这个数可能是( )，也可能是( )。 【答案】 9 27 【思路引导】先列举出9的倍数、27的因数，再从中找出既是9的倍数，又是27的因数的数即可。 【规范解答】9的倍数：9、18、27、36…； 27的因数有：1、3、9、27； 所以，一个数既是9的倍数，又是27的因数，这个数可能是9，也可能是27。 【变式2】（24-25五年级上·广东深圳·期中）儿童节快到了，老师准备了32支棒棒糖作为奖品。现在要将这些棒棒糖装在漂亮的包装袋里（包装袋的数量大于1），每袋棒棒糖数量相同，老师有多少种方法？每种方法分几个袋子装？每个包装袋里有多少支棒棒糖？ 【答案】5种；见详解 【思路引导】根据题意可知，包装袋的个数与每袋装的棒棒糖的个数都是总数32的因数，先列举出32的所有因数，因为包装袋的数量大于1，用32所有因数的个数减去1，即是有多少种方法，进而得出每种方法分几个袋子装，以及每个包装袋里有几支棒棒糖。 【规范解答】32的因数：1，2，4，8，16，32；共有6个因数； 6－1＝5（种） 答：老师有5种方法。①分2个袋子装，每个包装袋里有16支棒棒糖；②分4个袋子装，每个包装袋里有8支棒棒糖；③分8个袋子装，每个包装袋里有4支棒棒糖；④分16个袋子装，每个包装袋里有2支棒棒糖；⑤分32个袋子装，每个包装袋里有1支棒棒糖。 重点难点考点讲练11：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江衢州·期中）今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 【答案】36位；3棵 【思路引导】根据每人植树棵数×总人数＝植树总棵数（其中总人数包含王老师），可知每人植树棵数和总人数是植树总棵数的因数，结合题中：五（2）班人数多于20且不超过40，据此确定每人植树棵数和总人数，因为王老师也参与了植树，所以总人数－1＝学生人数，据此列式解答。 【规范解答】111＝1×111＝3×37 学生人数多余20且不超过40，结合实际情况植树的总人数排除1、3、141。 也就是植树总人数为：37人，平均每人植树：111÷37＝3（棵） 学生人数为：37－1＝36（人） 答：五（2）班有36位同学，平均每位同学植树3棵。 【变式1】（23-24五年级上·福建泉州·期中）五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是( )行( )列，也可以是( )行( )列，最多可以排成( )个不同的队伍。 【答案】 3 15 5 9 6 【思路引导】五年级的学生的总人数是45名，排成队伍几行几列，就是用行数×列数＝45，即只需要列出两个整数的乘积是45。 1×45＝45，可以是1行45列，也可以是45行1列； 3×15＝45，可以是3行15列，也可以是15行3列； 5×9＝45，可以是5行9列，也可以是9行5列； 则一共有6种不同的队伍。 【规范解答】1×45＝45，可以是1行45列，也可以是45行1列； 3×15＝45，可以是3行15列，也可以是15行3列； 5×9＝45，可以是5行9列，也可以是9行5列； 五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是3行15列，也可以是5行9列，最多可以排成6种不同的队伍。 【变式2】（24-25五年级上·甘肃定西·期中）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？ 【答案】6种 【思路引导】列乘法算式找出40的所有因数，即：40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8，可得，40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，注意“40＝1×40”不符合题意，据此解题即可。 【规范解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 所以，可以排成：2行每行20人；20行每行2人；4行每行10人，10行每行4人；5行每行8人；8行每行5人； 答：一共有6种排法。 【考点剖析】找一个数的因数的方法：（1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个乘数都是这个数的因数。（2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 重点难点考点讲练12：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】．（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【答案】A 【思路引导】根据求一个数倍数的方法，求出32以内8的倍数；根据求一个数因数的方法，求出32的因数，据此分析解答。 【规范解答】32以内8的倍数有：8，16，24，32 32的因数有：1，2，4，8，16，32 即一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的16。 故答案为：A 【变式1】（23-24五年级上·四川成都·期中）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 。（写出符合条件的所有数） 【答案】9，18，27，54 【思路引导】先列举出54的因数，然后列举出54以内9的倍数，再找它们共同的数，这些数既是9的倍数，又是54的因数。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【规范解答】54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54； 9的倍数：9，18，27，36，45，54…； 所以，一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是9，18，27，54。 【变式2】（23-24五年级上·黑龙江大庆·期中）一个数即是8的倍数，又是32的因数，这样的数有（    ）个。 A．2个 B．3个 C．4个 【答案】B 【思路引导】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；据此先找出32的因数，再在32的因数中找出8的倍数即可。 【规范解答】32÷1＝32 32÷2＝16 32÷4＝8 则32的因数有：1、2、4、8、16、32，其中是8的倍数的有：8、16、32共3个。 故答案为：B 重点难点考点讲练13：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西商洛·期中）下面是张氏花店上午购进的鲜花枝数，哪几种花可以分成枝数相同的花束？哪几种花不可以？为什么？（每束花里花的枝数大于1且每束花里只有一种花） 品种 玫瑰 太阳花 百合 康乃馨 枝数 87 19 35 49 【答案】玫瑰、百合和康乃馨可以分成枝数相同的花束，太阳花不可以；理由见详解 【思路引导】要判断哪种花可以分成枝数相同的花束，需要看该种花的枝数是否为合数，因为合数有除了1和它本身以外的因数，这样就能分成每束大于1枝且枝数相同的花束；质数（只能被1和它本身整除的数）则不可以。 【规范解答】87的因数有1，3，29，87；87是合数，玫瑰可以分成枝数相同的花束； 19的因数有1，19；19是质数，太阳花不可以分成枝数相同的花束； 35的因数有1，5，7，35；35是合数，百合可以分成枝数相同的花束； 49的因数有1，7，49；49是合数，康乃馨可以分成枝数相同的花束。 答：玫瑰、百合和康乃馨可以分成枝数相同的花束，太阳花不可以；因为玫瑰、百合和康乃馨的枝数是合数，而太阳花的枝数是质数。 【变式1】（24-25五年级上·四川成都·期中）最小的质数是( )，最小的合数是( )，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的最小数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 【答案】 2 4 2 9 1 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此分析。 【规范解答】最小的质数是2，最小的合数是4，既是质数又是偶数的数是2，既是奇数又是合数的最小数是9，既不是质数也不是合数的数是1。 【变式2】（24-25五年级上·陕西西安·期中）李明同学申请的QQ号可有趣了，这串数字从左往右依次是：①最小的合数；②既是偶数，又是质数的数；③最大的一位数；④既不是质数，也不是合数，也不是0；⑤10以内（不包括10）最大的偶数；⑥最小的自然数；⑦自然数中，最小奇数的5倍；⑧7的最大因数；⑨是一位数，并且有因数3的偶数。李明的QQ号是( )。 【答案】429180576 【思路引导】质数：在大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫质数；合数：在大于1的自然数中，除了1和它本身还有其它因数的数叫合数。1既不是质数也不是合数。 偶数：整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数叫作奇数。在自然数中，0是最小的偶数，1是最小的奇数。 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。据此分析出每个数，解决本题即可。 【规范解答】①最小的合数是4；②既是偶数，又是质数的数是2； ③最大的一位数是9；④既不是质数，也不是合数，也不是0，那么这个数是1； ⑤10以内（不包括10）最大的偶数是8；⑥最小的自然数是0； ⑦1×5＝5，则最小奇数的5倍是5；⑧7的最大因数是7； ⑨一位数又有因数3，那么这个数是3的倍数，可以为：3、6、9，又要是偶数，则只能是6。 所以李明的QQ号是429180576。 重点难点考点讲练14：分解质因数 【典例精讲】（21-22五年级上·山西运城·期中）两个质数的和是21，积是38，这两个质数分别是 和 。 【答案】 2 19 【思路引导】因为两个质数的乘积是38，把38分解质因数即可解决此题。 【规范解答】因为38＝2×19，又符合2＋19＝21， 所以这两个质数分别是2和19。 【考点剖析】此题考查根据两个质数的和与积，推算两个质数是多少，只要把乘积分解质因数即可解决问题。 【变式1】（24-25五年级上·辽宁·期中）已知两个质数的积是21，这两个质数的和是（     ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【思路引导】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；根据分解质因数的方法，把21分解质因数即可求出这两个质数，进而求出它们的和即可。 【规范解答】把21分解质因数： 21＝3×7 3＋7＝10 故答案为：B 【考点剖析】此题考查的目的是理解质数的意义，掌握分解质因数的方法。 【变式2】（2014五年级·全国·课后作业）24的约数有 ，把24分解质因数是 。 【答案】 1，2，3，4，6，8，12，24 24＝2×2×2×3 【思路引导】所有能被24整除的数都是24的约数，可利用短除法将24分解质因数，由此解决问题。 【规范解答】24的约数有1，2，3，4，6，8，12，24； 24分解质因数为：24＝2×2×2×3。 【考点剖析】此题考查了求一个数的因数与分解质因数的方法。 【演练1】（2025·广东湛江·小升初真题）自然数a＝3×3×5，则a的全部因数有( )个。 【答案】6 【思路引导】已知a＝3×3×5，3×3×5＝45，所以a＝45。因数是指能整除45的数，45÷1＝45，所以1和45是45的因数；45÷3＝15，所以3和15是45的因数；45÷5＝9，所以5和9是45的因数。即a的因数有：1、3、5、9、15、45，一共6个。 【规范解答】3×3×5＝45 45÷1＝45，所以1和45是45的因数； 45÷3＝15，所以3和15是45的因数； 45÷5＝9，所以5和9是45的因数。 即45的因数有：1、3、5、9、15、45，一共6个。 所以a的全部因数有6个。 【演练2】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数且相差2，那么3和5就是一对“孪生质数”。下面为“孪生质数”的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【答案】C 【思路引导】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。据此判断各组的两个数是不是质数，及两个数的差是不是2，据此解答。 【规范解答】A．2和3都是质数，但是3－2＝1，不符合“孪生质数”的概念； B．9的因数有1、3、9，不是质数；11是质数，虽然11－9＝2，但不符合“孪生质数”的概念； C．11和13都是质数，且13－11＝2，符合“孪生质数”的概念； D．15的因数有1、3、5、15，不是质数；13是质数，虽然15－13＝2，但不符合“孪生质数”的概念。 故答案为：C 【演练3】（2024·安徽淮北·小升初真题）斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是( )。这个数列中的第100个数是( )数。（奇或偶） 【答案】 89 偶 【思路引导】根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； 根据题意可知，这组数据是按照偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，每3个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以3，余数是几，就从第1个数数，没有余数，则就是最后一个数，据此解答。 【规范解答】第八个数5＋8＝13 第九个数8＋13＝21 第十个数13＋21＝34 第十一个数21＋34＝55 第十二个数34＋55＝89 100÷3＝33（组）……1（个） 所以这个数列中的第100个数是偶数。 斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是89。这个数列中的第100个数是偶数。 【演练4】（2024·陕西汉中·小升初真题）笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是( )，它共有( )个因数。 【答案】 44 6 【思路引导】一个数的最小因数是1，最小倍数是它自己本身，据此可得出这个数。再根据分解因数法可得出因数。 【规范解答】一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是44，它的因数有：1、2、4、11、22、44，共有6个因数。 【演练5】（2022·河南鹤壁·小升初真题）小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】14岁  18岁 【规范解答】48÷3＝16(岁) 16－2＝14(岁) 16＋2＝18(岁) 1．（24-25五年级上·广东茂名·期中）著名的“哥德巴赫猜想”有一个命题是：每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数相加的形式。下面式子中可以印证这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．8＝2＋6 C．24＝3＋21 D．18＝5＋13 【答案】D 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此分析各选项中的算式是否符合“大于4的偶数＝质数＋质数”的形式即可。 【规范解答】A．1既不是质数也不是合数，排除； B．6是合数，排除； C．21是合数，排除； D．18是大于4的偶数，5和13都是质数，符合。 可以印证这个猜想的是18＝5＋13。 故答案为：D 2．（24-25五年级上·陕西西安·期中）下列各数中，（    ）既不是质数也不是合数。 A．3 B．2 C．1 D．10 【答案】C 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此判断。 【规范解答】A．3的因数只有1和3，所以3是质数； B．2的因数只有1和2，所以2是质数； C．1的因数只有1，所以1既不是质数也不是合数； D．10的因数有1、2、5、10，所以10是合数。 所以1既不是质数，也不是合数。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·四川成都·期末）从2，0，5，7四个数字中选择三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（    ）。 A．705 B．720 C．750 D．702 【答案】C 【思路引导】结合3、5的倍数特征：各个数位上的数字相加之和能被3整除的数是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数。因此当所组成三位数个位上的数是0或5且各个数位上的数字相加之和能被3整除，据此找到最大的数即可。 【规范解答】2、0、5、7四个数字中，7、5、0三个数加起来是12，所以可以组成3的倍数，有0，5所以也可以组成5的倍数，组成的3位数最大是750；7、2、0三个数加起来是9，所以可以组成3的倍数，有0所以也可以组成5的倍数，组成的最大数为720；750大于720，所以最大的还是750。 故答案为：C 4．（24-25五年级上·陕西西安·期中）8□是一个两位数，要使这个数是偶数，□里最大填( )，最小填( )；要使这个数既是奇数，又是3的倍数，□里可以填( )；要使这个数是4的倍数，□里可以填( )。 【答案】 8 0 1、7 0、4、8 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据2的倍数的特征可知，若8□是偶数，则个位上是0，2，4，6，8。 若8□是奇数，则个位上是1，3，5，7，9。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。8＋1＝9，9是3的倍数，8＋7＝15，15是3的倍数； 80÷4＝20，84÷4＝21，88÷4＝22，所以这个数是4的倍数，□可以填0、4、8。据此分析填空即可。 【规范解答】由分析可知：若8□是偶数，则80、82、84、86、88，□里最大填8，最小填0；若8□是奇数，则81、83、85、87、89。其中81和87是3的倍数； 80、84、88是4的倍数； 所以8□是一个两位数，要使这个数是偶数，□里最大填8，最小填0；要使这个数既是奇数，又是3的倍数，□里可以填1、7；要使这个数是4的倍数，□里可以填0、4、8。 5．（24-25五年级上·辽宁·期中）商店里有6箱货物，分别重16、19、21、22、24、25千克两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重( )千克。 【答案】22 【思路引导】其中一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么这两个顾客买的货物总重量是3的倍数，我们可以先从这一组数字（16＋19＋21＋22＋24＋25）÷3＝42……1，去掉一个除以3余1的数即可，只有22符合题意，由此列式解答即可。 【规范解答】根据分析可知，两个顾客拿走货物的总重量为： 16＋19＋21＋24＋25 ＝（16＋24）＋（19＋21）＋25 ＝105（千克） 105÷3＝35（千克） 35×2＝70（千克） 两个顾客拿走的重量分别是：21＋24＋25＝70（千克），16＋19＝35（千克） 那么商店剩下的一箱货物重22千克。 【考点剖析】解答此题的关键是分析出两位顾客买走的总重量是3的倍数，考查了学生分析问题的能力。 6．（2024五年级·全国·课后作业）如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据倍数的意义，如果数A能被数B整除（A、B都不为0），则A就是B的倍数；分解质因数是把一个合数分解成几个质数相乘的形式，据此把6分解质因数可得：6＝3×2，因为6是2和3的倍数，所以一个数如果是6的倍数，则也能被2和3整除，据此解答。 【规范解答】6＝2×3，6是2和3的倍数，所以一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。例如：12是6的倍数，也是2和3的倍数。 故答案为：√ 7．（24-25五年级上·陕西宝鸡·期中）一个长方形的长和宽均为质数，并且周长是32厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】39平方厘米或55平方厘米 【思路引导】根据可知，周长为32厘米，即长加宽的和为32÷2＝16（厘米）。只有1和它本身两个因数的数叫作质数。因为长和宽均为质数，小于16的质数有2、3、5、7、11、13。两个质数相加等于16的有3＋13＝16和5＋11＝16。所以这个长方形的长和宽可能是13厘米和3厘米，或者11厘米和5厘米。根据长方形的面积公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】32÷2＝16（厘米） 3＋13＝16 13×3＝39（平方厘米） 5＋11＝16 11×5＝55（平方厘米） 答：这个长方形的面积是39平方厘米或55平方厘米。 8．（24-25五年级上·陕西渭南·期中）希望小学五年级48名同学排队表演校园集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人或48人），一共有多少种不同的排法？（用列表法解决） 【答案】8种 【思路引导】分析题目，每行的人数必须是48的因数，因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数；据此先找出48的因数，再根据“每行不能是1人或48人”找出符合条件的排法即可。 【规范解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 因为每行不能是1人或48人，所以每行人数可能是：2，3，4，6，8，12，16，24； 列表如下： 每行人数/人 2 3 4 6 8 12 16 24 行数 24 16 12 8 6 4 3 2 答：一共有8种不同的排法。 9．（24-25五年级上·辽宁·单元测试）龙一鸣和壮壮玩抽数字卡片游戏，有意思的是，一次两人抽出卡片上的数都是质数，且两个数的和是奇数，还是小于50的7的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 【答案】10、38或94 【思路引导】在自然数中，除了1和它本身以外没有其他因数的数叫质数；两个质数的和是奇数，其中一个质数肯定是2；据此解答。 【规范解答】将龙一鸣和壮壮抽出的数分别设为A和B， 因为A和B都是质数，A＋B又是奇数， 所以A、B中必有一个是2； 不妨设A＝2，由于A＋B是7的倍数且小于50， 所以B可以是5、19、47， 又因为2×5＝10，2×19＝38，2×47＝94，所以A×B可能是10、38、94； 答：这两个质数的积可能是10、38或94。 【考点剖析】本题主要考查倍数、质数的意义及奇数和偶数的运算性质，解题的关键是理解两个质数的和是奇数则其中一个质数肯定是2。 10．（24-25五年级上·辽宁·课后作业）根据国家统计局公布的数据，2012年前三个季度，我国城镇居民人均总收入是2□□90元．它同时是2，3和5的倍数，且组成的数最小．□里填多少？ 【答案】0　1 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项讲练3 倍数和因数 （导图+新知回顾+14个重点难点考点讲练+真题演练+拔尖训练 共56题） 【原卷版】 知识速览 2 新知回顾 2 知识点梳理01：整数和自然数 2 知识点梳理02：倍数与因数 3 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 3 知识点梳理04：找因数 3 知识点梳理05：质数与合数 4 真题讲练 4 重点难点考点讲练1：因数和倍数的认识 4 重点难点考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 4 重点难点考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 4 重点难点考点讲练4：2、5的倍数特征 5 重点难点考点讲练5：奇数与偶数的认识 5 重点难点考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 5 重点难点考点讲练7：3的倍数特征 6 重点难点考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 7 重点难点考点讲练9：9的倍数特征 7 重点难点考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 8 重点难点考点讲练11：根据因数的特征解决问题 9 重点难点考点讲练12：倍数和因数的综合应用 10 重点难点考点讲练13：质数与合数的认识 10 重点难点考点讲练14：分解质因数 11 小升初真题实战演练 11 拔尖冲刺 11 知识点梳理01：整数和自然数 整数：像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3……这样的数统称为整数，整数包括正整数、0和负整数，没有最大或最小的整数。 自然数：像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数，自然数包括正整数和0，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 知识点梳理02：倍数与因数 倍数与因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。例如3×4=12，则3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 两者关系：倍数与因数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倍数或因数。比如不能说“12是倍数”“3是因数”，而应表述为“12是3和4的倍数”“3是12的因数”。 研究范围：在研究倍数和因数时，所说的自然数指的是不包括0的自然数。 求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。例如，3的倍数有3×1=3，3×2=6，3×3=9……所以3、6、9等都是3的倍数。 判断两个数成倍数关系的方法： 列乘法算式：看能否通过两个数相乘得到另一个数，用积来判断。 列除法算式：如果商是整数且没有余数，那么这两个数就成倍数关系，反之则不是。例如24÷6=4，商是整数且没有余数，所以24是6的倍数。 倍数与因数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 知识点梳理03：2、5、3的倍数的特征 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。例如10、12、14等都是2的倍数。 奇数和偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。例如2、4、6是偶数，1、3、5是奇数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。如10、15、20等都是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如123，各位数字之和为1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 知识点梳理04：找因数 列乘法算式：从1开始，一对一对地找，哪两个自然数的乘积等于这个数，这两个自然数就是这个数的因数。例如找12的因数，因为1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 列除法算式：用这个数除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 知识点梳理05：质数与合数 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。例如2、3、5、7等，它们都只有1和自身两个因数。 合数：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。例如4、6、8、9等，4的因数有1、2、4，除了1和4还有因数2。 特殊数：1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 重点难点考点讲练1：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西西安·期中）选择下面的（    ）包装盒刚好能把39瓶饮料装完。（每个盒子装同样多） A． B． C． D． 【变式1】（23-24五年级上·陕西西安·期中）下面各数中，既是18的因数又是6的倍数的是（    ）。 A．3 B．6 C．12 【变式2】（23-24五年级上·广东深圳·期中）a，b，c是三个不同的不为0的自然数，a＝3×b，b÷c＝2，那么（    ）。 A．a是c的因数 B．b是a的倍数 C．c是a的因数 D．b是c的因数 重点难点考点讲练2：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（23-24五年级上·陕西西安·期中）2000的因数比3的倍数的个数要多得多。( )（判断对错） 【变式1】（22-23五年级上·山西吕梁·期中）一个数既是6的倍数又是36的因数，这个数最小是( )。 【变式2】（24-25五年级上·吉林·期中）如果一个数的最大因数是18，那么它的最小倍数是( )。 重点难点考点讲练3：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·广西贺州·期中）在古代，耳顺指人的年龄是六十岁，古稀指人的年龄是七十岁，奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且年龄是8的倍数，那么奶奶今年的年龄是（    ）岁。 A．64 B．24 C．66 D．48 【变式1】（23-24五年级上·四川成都·期中）舞蹈教室来了19名同学，要求每9名同学排成一队，至少再来（    ）名同学才能排好队形。 A．7 B．8 C．9 D．10 重点难点考点讲练4：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西西安·期中）五个连续自然数的和一定是5的倍数。( )（判断对错） 【变式1】（24-25五年级上·山西吕梁·期中）一个两位的偶数，各个数位上的和是4，它还是5的倍数，这个数是( )。 【变式2】23-24五年级上·陕西西安·期中）任意5个连续自然数的和一定不是2的倍数。( )（判断对错） 重点难点考点讲练5：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·福建泉州·期中）欢欢、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 【变式1】（22-23五年级上·甘肃定西·期中）最小的自然数是 ，最小的合数是 ，既是偶数又是质数的数是 。 【变式2】22-23五年级上·甘肃定西·期中）三个相邻偶数的和是24，那么这三个数中最小的是（    ）。 A．6 B．8 C．12 重点难点考点讲练6：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）笑笑有一些2元和5元的纸币（两种纸币都有），总共40元。她可能有多少张2元和5元的纸币？下面说法正确的是（    ）。 A．5元的可能有0张。 B．5元的可能有3张。 C．5元的张数一定是偶数张。 D．无法推测5元的张数。 【变式1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）为了加强生活垃圾分类宣传教育，提高师生参与垃圾分类的积极性和主动性，学校举办了垃圾分类知识竞赛。五（1）班同学参加了这次竞赛，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（1）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？ 【变式2】（23-24五年级上·广东深圳·期中）小华到文具店买文具，钢笔每支8元，日记本每本4元，他买了一些钢笔和日记本，付出100元，店员找回23元。小华马上告诉店员说钱数不对，你知道为什么吗？请用自己喜欢的方式进行解释说明。 重点难点考点讲练7：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25六年级上·山西吕梁·期中）在下面4张卡片中选两个数字组成一个两位数，是3的倍数的是 ，同时是2和3的倍数的是 ，同时是3和5的倍数的是 。 【变式1】（24-25五年级上·四川成都·期末）从数字卡片2，3，5，7中任意抽出两张，组成的两位数中，得数是3的倍数有( )个。 【变式2】（24-25五年级上·广西贺州·期中）在下列数字卡中选出三个数字，分别按要求组成一个三位数。 (1)3的倍数： ； (2)同时是2和3的倍数： ； (3)同时是2和5的倍数： ； (4)同时是2、3和5的倍数： 。 重点难点考点讲练8：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期中）有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 【变式1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）用3、2、7、0组成一个同时是2、3、5的倍数的最小三位数是（    ）。 A．230 B．270 C．320 D．720 【变式2】（24-25五年级上·安徽亳州·期中）同时是2，5，3的倍数的数是（    ）。 A．432 B．623 C．720 D．613 重点难点考点讲练9：9的倍数特征 【典例精讲】（23-24五年级上·广东揭阳·期中）由5、6、7三个数字组成的所有三位数一定都是（    ）的倍数。 A．9 B．6 C．5 D．2 【变式1】（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）（1）下面各数中，哪些数是9的倍数？请用“○”圈出来。 48    36    69    72    108    99    296    369    1026 （2）针对第1题数据列表探究。 9的倍数 各个数位上的数之和 （3）由第2题我发现是9的倍数的数的特征是______________。 （4）根据你的发现写出两个是9的倍数的四位数：（        ）、（        ）。 【变式2】（24-25五年级上·辽宁·期中）在□内填入合适的数． （1）24□，□内填( )既是3的倍数又是5的倍数。 （2）5□0，☑内填( )既是2的倍数又是3的倍数。 （3）□69，□内填( )既是3的倍数又是9的倍数。 重点难点考点讲练10：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广西贺州·期中）爱华小学五年级的同学们准备去研学，出发前黄老师要购买一些食品和防护用品。请根据下面信息解决研学中的数学问题。 ①A品牌防蚊花露水：小瓶装39毫升，15.6元/瓶；大瓶装95毫升，22.8元/瓶。 ②晕车贴21.8元/盒 ③三层水果蛋糕288元/个 ④麒麟瓜6.8元/千克 ⑤买了一个三层水果蛋糕和12盒牛奶泡芙，一共付款489.6元。 ⑥买15千克樱桃所需的钱和24千克麒麟瓜的钱一样多。 （1）黄老师买了36个麒麟瓜。现在有三种不同的纸箱，选用哪种纸箱装能正好把这些麒麟瓜装完？写出你的理由。 （2）根据研学需要，黄老师买了3根同样的草绳，结账时售货员阿姨说应付49元，黄老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ （3）为了防止同学们在户外被蚊虫叮咬，黄老师准备购买足够五年级学生使用的A品牌防蚊花露水。买哪种瓶装的防蚊花露水最划算？请通过计算说明。 （4）为了防止有同学晕车，黄老师拿200元买了4盒晕车贴，剩下的钱去买价格为9.4元/提的纸巾，可以买多少提纸巾？ （5）请你从前面的信息中选出2条信息，提出一个数学问题并解答。 你选择的信息是：________和________（填序号）。 你的问题是：________________________________________。 解答： 【变式1】（24-25五年级上·广东深圳·期中）一个数既是9的倍数，又是27的因数，这个数可能是( )，也可能是( )。 【变式2】（24-25五年级上·广东深圳·期中）儿童节快到了，老师准备了32支棒棒糖作为奖品。现在要将这些棒棒糖装在漂亮的包装袋里（包装袋的数量大于1），每袋棒棒糖数量相同，老师有多少种方法？每种方法分几个袋子装？每个包装袋里有多少支棒棒糖？ 重点难点考点讲练11：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江衢州·期中）今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 【变式1】（23-24五年级上·福建泉州·期中）五年级有45名同学参加队列表演，这个队伍可以是( )行( )列，也可以是( )行( )列，最多可以排成( )个不同的队伍。 【变式2】（24-25五年级上·甘肃定西·期中）为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？ 重点难点考点讲练12：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】．（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是下面的（    ）。 A．16 B．4 C．24 【变式1】（23-24五年级上·四川成都·期中）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是 。（写出符合条件的所有数） 【变式2】（23-24五年级上·黑龙江大庆·期中）一个数即是8的倍数，又是32的因数，这样的数有（    ）个。 A．2个 B．3个 C．4个 重点难点考点讲练13：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西商洛·期中）下面是张氏花店上午购进的鲜花枝数，哪几种花可以分成枝数相同的花束？哪几种花不可以？为什么？（每束花里花的枝数大于1且每束花里只有一种花） 品种 玫瑰 太阳花 百合 康乃馨 枝数 87 19 35 49 【变式1】（24-25五年级上·四川成都·期中）最小的质数是( )，最小的合数是( )，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的最小数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 【变式2】（24-25五年级上·陕西西安·期中）李明同学申请的QQ号可有趣了，这串数字从左往右依次是：①最小的合数；②既是偶数，又是质数的数；③最大的一位数；④既不是质数，也不是合数，也不是0；⑤10以内（不包括10）最大的偶数；⑥最小的自然数；⑦自然数中，最小奇数的5倍；⑧7的最大因数；⑨是一位数，并且有因数3的偶数。李明的QQ号是( )。 重点难点考点讲练14：分解质因数 【典例精讲】（21-22五年级上·山西运城·期中）两个质数的和是21，积是38，这两个质数分别是 和 。 【变式1】（24-25五年级上·辽宁·期中）已知两个质数的积是21，这两个质数的和是（     ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（2014五年级·全国·课后作业）24的约数有 ，把24分解质因数是 。 【演练1】（2025·广东湛江·小升初真题）自然数a＝3×3×5，则a的全部因数有( )个。 【演练2】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数且相差2，那么3和5就是一对“孪生质数”。下面为“孪生质数”的是（    ）。 A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15 【演练3】（2024·安徽淮北·小升初真题）斐波那契数列为：0，1，1，2，3，5，8…这个数列中第12个数应是( )。这个数列中的第100个数是( )数。（奇或偶） 【演练4】（2024·陕西汉中·小升初真题）笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是( )，它共有( )个因数。 【演练5】（2022·河南鹤壁·小升初真题）小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 1．（24-25五年级上·广东茂名·期中）著名的“哥德巴赫猜想”有一个命题是：每一个大于4的偶数都可以表示成两个质数相加的形式。下面式子中可以印证这个猜想的是（    ）。 A．20＝1＋19 B．8＝2＋6 C．24＝3＋21 D．18＝5＋13 2．（24-25五年级上·陕西西安·期中）下列各数中，（    ）既不是质数也不是合数。 A．3 B．2 C．1 D．10 3．（24-25五年级下·四川成都·期末）从2，0，5，7四个数字中选择三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（    ）。 A．705 B．720 C．750 D．702 4．（24-25五年级上·陕西西安·期中）8□是一个两位数，要使这个数是偶数，□里最大填( )，最小填( )；要使这个数既是奇数，又是3的倍数，□里可以填( )；要使这个数是4的倍数，□里可以填( )。 5．（24-25五年级上·辽宁·期中）商店里有6箱货物，分别重16、19、21、22、24、25千克两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重( )千克。 6．（2024五年级·全国·课后作业）如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( )（判断对错） 7．（24-25五年级上·陕西宝鸡·期中）一个长方形的长和宽均为质数，并且周长是32厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 8．（24-25五年级上·陕西渭南·期中）希望小学五年级48名同学排队表演校园集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人或48人），一共有多少种不同的排法？（用列表法解决） 9．（24-25五年级上·辽宁·单元测试）龙一鸣和壮壮玩抽数字卡片游戏，有意思的是，一次两人抽出卡片上的数都是质数，且两个数的和是奇数，还是小于50的7的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 10．（24-25五年级上·辽宁·课后作业）根据国家统计局公布的数据，2012年前三个季度，我国城镇居民人均总收入是2□□90元．它同时是2，3和5的倍数，且组成的数最小．□里填多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $