专题5.1 二次函数（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题5.1二次函数 教学目标 1．理解二次函数的概念，熟记其一般形式(为常数且 2．能准确区分二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，明确自变量取值范围 3．掌握二次函数的判断方法，能辨别给定函数是否为二次函数 教学重难点 重点：二次函数的概念及一般形式；二次函数的判断方法· 难点：理解“二次项系数的必要性；区分化简后自变量最高次数为2的函数 知识点01二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是任意实数。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0． 【即学即练】 1．已知函数：①；②；③；④．其中二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①是一次函数，②是二次函数；③未知数的最高次数是3，不是二次函数；④是二次函数， ∴是二次函数的有2个， 故选：B． 2．函数的图象过点，则 ． 【答案】3 【分析】 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴点的坐标． 满足函数解析式，即当时，． 将代入得： ∵， ∴． 故答案为：． 题型01识别二次函数 【例1】下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】A．，是一次函数，故该选项不符合题意； B．，是一次函数，故该选项不符合题意； C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D．，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 【例2】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为， 故选B． 【变式1-1】下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不是整式函数，不符合二次函数的定义，不符合题意； B、，自变量的最高次数是，不符合二次函数的定义，不符合题意； C、，符合二次函数的定义，符合题意； D、，不符合二次函数的定义，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列函数是二次函数的是（   ） A． B．（为常数） C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：A、是二次函数，故选项符合题意； B、（为常数），当时，函数为一次函数，故选项不符合题意； C、，解析式中有分式，它不是二次函数，故选项不符合题意； D、，解析式中有分式，它不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：． 【变式1-3】下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次函数， (2)是二次函数， (3)不是二次函数 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴是二次函数，． （2）解：∵， ∴是二次函数，． （3）解：∵， ∴不是二次函数． 题型02根据二次函数的定义求参数值 【例3】若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 【例4】已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求的值． (2)若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 【答案】(1) (2)且 【分析】 【详解】（1）解：依题意得， ∴由①得或， ∴； （2）解：依题意得， ∴且． 【变式2-1】已知函数是关于x的二次函数，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得或，且， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】已知函数（m为常数）是二次函数，求的值． 【答案】或 【详解】解：由题意得，即， 解得或． 或时，函数是二次函数． 【变式2-3】关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见详解 【详解】解：由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 先确定函数表达式中二次项、一次项、常数项的系数，再列两个关键式子：一是二次项系数不为0（保证是二次函数），二是若表达式含参数指数，则令指数等于2（保证是二次项）；最后解这两个式子组成的不等式或方程，得到参数值并验证即可。 题型03根据二次函数的定义求参数范围 【例5】若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 【例6】已知关于的函数． （1）若这个函数是一次函数，则的值为 ． （2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 0 且 【分析】 【详解】解：（1）这个函数是一次函数， 且， 解得：(已舍去)． 故答案为：． （2）这个函数是二次函数， ， 解得且． 故答案为：且． 【变式3-1】若函数（是常数）是关于的二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ ，解得， 故答案为：． 【变式3-2】已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵是二次函数， ∴． 解得：． 故答案为：． 【变式3-3】已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 题型04二次函数的一般形式 【例7】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 【例8】把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：化成一般式为， ∴二次项系数和一次项系数分别为，， 故选：． 【变式4-1】将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故选：D． 【变式4-2】把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【答案】1 【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键． 【变式4-3】已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 题型05求二次函数的值 【例9】当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 【例10】已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由题意得 () ， () ， ， ()()， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键． 【变式5-1】已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得： 把代入得： 等号两边同除以得： 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于的关系式是解决本题的关键． 【变式5-2】若函数，当函数值时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：将代入得，， 解得x或， ∵， ∴； 将代入得，， 解得， 故自变量x的值为或． 故选：B． 【变式5-3】已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的函数值，找出合适的自变量代入是解题的关键． 题型06根据实际问题列二次函数关系式 【例11】如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 【例12】某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 【变式6-1】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 【变式6-2】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【答案】 【分析】 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 【变式6-3】某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【答案】(1)； (2)元/件； 【分析】 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 一、单选题 1．下列函数中，y关于x的二次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：A、，未明确．若，函数变为一次函数（或常函数），因此不一定是二次函数； B、，右边是分式，不是整式，不符合二次函数“整式函数”的要求，不是二次函数； C、，展开得，符合二次函数的一般形式（其中，是二次函数； D、，展开并化简得，是一次函数，不是二次函数． 故选：C． 2．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 3．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 4．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 5．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：D． 6．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是（   ） A．汽车油箱中有汽油，耗油量为，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）之间的关系 B．学校进行篮球比赛共有个球队参加，每两队之间进行一场比赛．比赛的总场次数与球队数之间的关系 C．某村的耕地面积是，这个村人均占有耕地面积（单位：）与这个村人数之间的关系 D．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，则圆周长与它的半径之间的关系 【答案】B 【详解】解：、，是一次函数，不合题意； 、，是二次函数，符合题意； 、，是反比例函数，不合题意； 、，是一次函数，不合题意； 故选：． 7．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 二、填空题 8．如果函数是y关于x的二次函数，则 【答案】2 【详解】解：∵函数是y关于x的二次函数， ∴且， 解得 故答案为：2． 9．二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 10．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 11．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 【答案】 4 【详解】解：二次函数的解析式为， ， ， 或， 当时，，， 解得：，，满足，符合题意； 当时，，， 解得：，，不满足，不符合题意； 故答案为：；4． 12．定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 13．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵是一次函数， 且， 解得． （2）解：函数（m是常数）是二次函数， ，且， 解得：，且， ． 14．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 15．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【分析】 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 16．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 (3)该函数图像始终过定点 【分析】 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：，是原方程的两根， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 的值为1； （3）解：． 因为该函数的图像都会经过一个定点， 所以， 解得， 当时，， 所以该函数图像始终过定点． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1二次函数 教学目标 1．理解二次函数的概念，熟记其一般形式(为常数且 2．能准确区分二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，明确自变量取值范围 3．掌握二次函数的判断方法，能辨别给定函数是否为二次函数 教学重难点 重点：二次函数的概念及一般形式；二次函数的判断方法· 难点：理解“二次项系数的必要性；区分化简后自变量最高次数为2的函数 知识点01二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 其中是自变量，分别表示函数解析式的、、． 由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量x的取值范围是。 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是；②化简后自变量的是2；③二次项系数． 【即学即练】 1．已知函数：①；②；③；④．其中二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的图象过点，则 ． 题型01识别二次函数 【例1】下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【变式1-1】下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数是二次函数的是（   ） A． B．（为常数） C． D． 【变式1-3】下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 题型02根据二次函数的定义求参数值 【例3】若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【例4】已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求的值． (2)若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 【变式2-1】已知函数是关于x的二次函数，则k的值为 ． 【变式2-2】已知函数（m为常数）是二次函数，求的值． 【变式2-3】关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 先确定函数表达式中二次项、一次项、常数项的系数，再列两个关键式子：一是二次项系数不为0（保证是二次函数），二是若表达式含参数指数，则令指数等于2（保证是二次项）；最后解这两个式子组成的不等式或方程，得到参数值并验证即可。 题型03根据二次函数的定义求参数范围 【例5】若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6】已知关于的函数． （1）若这个函数是一次函数，则的值为 ． （2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是 ． 【变式3-1】若函数（是常数）是关于的二次函数，则的取值范围是 ． 【变式3-2】已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是 ． 【变式3-3】已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 题型04二次函数的一般形式 【例7】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【例8】把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【变式4-3】已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 题型05求二次函数的值 【例9】当时，的函数值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例10】已知函数，时，记函数值为()，则() ()（填写“”“”或“”）． 【变式5-1】已知二次函数，当时，函数值等于，则下列关于的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若函数，当函数值时，则自变量x的值是（　　） A．± B．或 C．±或 D． 【变式5-3】已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： 则代数式的值是 ． 题型06根据实际问题列二次函数关系式 【例11】如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【例12】某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是 ，自变量x的取值范围为 ． 【变式6-1】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【变式6-3】某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 一、单选题 1．下列函数中，y关于x的二次函数是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 3．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 4．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是（   ） A．汽车油箱中有汽油，耗油量为，如果不再加油，那么油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）之间的关系 B．学校进行篮球比赛共有个球队参加，每两队之间进行一场比赛．比赛的总场次数与球队数之间的关系 C．某村的耕地面积是，这个村人均占有耕地面积（单位：）与这个村人数之间的关系 D．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，则圆周长与它的半径之间的关系 7．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如果函数是y关于x的二次函数，则 9．二次函数的一次项系数是 ． 10．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 11．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 12．定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 三、解答题 13．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 14．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 15．已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 16．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $