专题5.2 二次函数的图像和性质（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题5.2二次函数的图像和性质 教学目标 1.掌握、、、及的图象性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值) 2.会进行二次函数顶点式与一般式的互化，能根据解析式求对称轴和顶点坐标 3.理解到的平移规律，能用“五点定形法”画二次函数图象 教学重难点 重点：各类二次函数的图象性质(尤其是增减性与最值);顶点式与一般式的互化；平移规律· 难点：根据的系数分析图象性，灵活运用平移规律转化函数解析式 知识点01y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 _______ _______ 当时,随的增大而_______， 当时,随的增大而_______; _______ _______ 当时，随的增大而_______， 当时,随的增大而_______. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口_______ 【即学即练】 1．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 2．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点02y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 _______ _______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当时，随的增大而_______﹔ 当时随的增大而_______ 当时随的增大而_______， 当时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 【即学即练】 1．二次函数的图象是一条 ，它的对称轴为 ，它的顶点坐标为 ． 2．二次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 知识点03y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 _______ _______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当_______时，随的增大而_______﹔ 当_______时随的增大而_______ 当_______时随的增大而_______， 当_______时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 【即学即练】 1．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个交点 2．若抛物线与抛物线的形状相同，则的值为 ． 知识点04y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线_______ 直线_______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当_______时，随的增大而_______﹔ 当_______时随的增大而_______ 当_______时随的增大而_______， 当_______时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 【即学即练】 1．当 时，二次函数有最小值． 2．已知二次函数，可知一定正确的是（   ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其最小值为1 知识点05二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线_______ 直线_______ 顶点坐标 _______ _______ 增减性 当_______时，随的增大而_______﹔ 当_______时随的增大而_______ 当_______时随的增大而_______， 当_______时随的增大而_______ 最值 当时，有_______ 当时，有_______ 【即学即练】 1．二次函数的对称轴是，则（    ） A． B．3 C． D．6 2．已知二次函数，当随的增大而减小时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点06二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点_______，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线_______，顶点坐标是_______． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法：_______. 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出_______和_______，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与_______的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点及对称点，由三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 【即学即练】 已知二次函数 (1)补全表格，并在图中画出函数图象； x … -1 0 1 2 3 y … - (2)观察图象，写出该二次函数图象的开口方向、顶点及当x取何值时，y随x的增大而增大． 知识点07 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀:_______）（口诀:_______）； ②（口诀:_______）（口诀:_______）； 【即学即练】 1．把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向下平移5个单位长度后，得到抛物线，则 ， ． 题型01 y=ax²的图象与性质 【例1】二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【例2】如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ． 【变式1-1】关于抛物线，给出下列说法， 其中正确的说法有（   ） ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是该抛物线上两点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”） 【变式1-3】已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 题型02 y=a(x-h)²+k的图象与性质 【例3】二次函数图象的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【例4】已知抛物线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式2-1】将抛物线绕顶点旋转得到新的抛物线，则新的抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】抛物线经过点，且对称轴与线段有交点，点，，则的取值范围是 ． 【变式2-3】如图，直线与二次函数的图象相交于两点，与轴相交于点，若，则 （1）对称轴是直线 ； （2） ． 题型03 y=ax²+bx+c的图象与性质 【例5】点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例6】初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时， 【变式3-1】已知二次函数图象顶点的纵坐标为3，则a的值是 ． 【变式3-2】已知在抛物线上，则A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知二次函数． (1)二次函数图象的顶点坐标为_________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围是_________． 题型04 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例7】已知抛物线过、两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【例8】若二次函数的图象经过、、三点，则关于，，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】二次函数的图象如图所示：若点在此函数图象上，，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是 （请用“＜”连接）． 题型05 利用二次函数的增减性求参数范围 【例9】对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【变式5-1】已知抛物线 当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【变式5-2】已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ，并说明理由． 【变式5-3】对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 题型06 二次函数图象与各系数符号 【例11】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例12】如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【变式6-3】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有 ． 判断二次函数中各系数符号，核心是结合图象特征对应系数：先看抛物线开口方向，开口向上则、开口向下则；再看对称轴位置，结合已确定的的符号，判断的正负（如对称轴在轴左侧则同号，右侧则异号）；最后看抛物线与轴交点，交点在正半轴则、负半轴则，过原点则，若需判断等代数式，可代入等特殊值结合图象上对应点的纵坐标符号分析。 题型07 一次函数、反比例函数、二次函数图象的综合判断 【例13】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【例14】一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，且交点在第二象限，则二次函数的大致图象是图中的（    ） A．B．C． D． 【变式7-1】在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是（   ） A．B．C．D． 【变式7-2】二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【变式7-3】已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 先锁定一个函数（通常选系数关联简单的，如一次函数或反比例函数，根据其图象特征（如一次函数的倾斜方向、与轴交点，反比例函数的双曲线所在象限）确定核心系数（如）的符号；再将这个系数符号代入另外两个函数的系数关系中，验证其是否与对应的图象特征匹配（如二次函数的开口方向、对称轴位置），匹配则为正确选项，不匹配则排除。 题型08 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例15】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【例16】已知二次函数图象上有两点、，则当时，二次函数的值是 ． 【变式8-1】已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【变式8-2】抛物线与x轴的一个交点是，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ． 【变式8-3】已知二次函数的图象经过两个不同的点，，则 ． 题型09 根据二次函数的对称性求函数值 【例17】已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 【例18】二次函数的与的部分对应值如下表： -1 0 1 2 5 则当时，的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【变式9-1】如图所示，抛物线 与x轴的一个交点为，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一交点坐标为 ． 【变式9-2】当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 【变式9-3】如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型10 二次函数图象的平移问题 【例19】将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【例20】将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-1】二次函数向左平移个单位，向上平移个单位得到函数解析式是 ． 【变式10-2】如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，网格的每个小正方形边长均为，将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，则图中阴影部分的面积为 ； 题型11 二次函数的最值问题 【例21】已知二次函数的最小值是，那么m的值是 ． 【例22】在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 【变式11-1】函数的最大值是（  ） A． B． C．0 D．5 【变式11-2】若当时， 二次函数的最小值为0．则m = ． 【变式11-3】已知二次函数（是常数）． (1)求证：无论为何值，该二次函数图象恒过一定点； (2)若该抛物线的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值． 题型12 根据二次函数的对称性求最短路径 【例23】如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【例24】抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【变式12-1】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【变式12-2】如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时， ． 【变式12-3】已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 一、单选题 1．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 3．已知，，是二次函数图象上的点，则（   ） A． B． C． D． 4．抛物线可由抛物线平移得到，正确的平移过程应该是 （    ） A．先向左平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向下平移个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移个单位 D．先向右平移个单位，再向下平移个单位 5．在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．已知抛物线与的形状相同，并且时，随的增大而减小，抛物线的解析式为 ． 9．抛物线关于y轴对称后的新抛物线表达式为 ． 10．若二次函数的图象的对称轴为直线，则的值为 ． 11．已知二次函数，当时函数的最小值为，则的值为 ． 三、解答题 12．已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 13．问题背景：对于一个函数，如果存在时，，那么我们称点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称点为该函数图象上的一个不动点．探究 (1)若点是一次函数的不动点，求的值； (2)求二次函数图象的不动点； (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 14．在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 15．如图，点为抛物线上一点，过点的直线（不与轴平行）与拋物线有唯一公共点． (1)求直线的解析式； (2)平移直线交抛物线于A，B两点，交轴于点，若点为的中点，求点的坐标． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2二次函数的图像和性质 教学目标 1.掌握、、、及的图象性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值) 2.会进行二次函数顶点式与一般式的互化，能根据解析式求对称轴和顶点坐标 3.理解到的平移规律，能用“五点定形法”画二次函数图象 教学重难点 重点：各类二次函数的图象性质(尤其是增减性与最值);顶点式与一般式的互化；平移规律· 难点：根据的系数分析图象性，灵活运用平移规律转化函数解析式 知识点01y=ax²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 当时,随的增大而减少， 当时,随的增大而增大; 向下 轴 当时，随的增大而增大， 当时,随的增大而减少. 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线来说，越大，抛物线的开口越小 【即学即练】 1．关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图像关于x轴对称 【答案】C 【详解】解：A. 它是一条抛物线，故原选项正确，不符合题意； B. ∵，∴它的开口向上，且关于y轴对称，故原选项正确，不符合题意； C. ∵的图像开口向上，∴它的顶点是抛物线的最低点，故原选项错误，符合题意； D. 它与的图像关于x轴对称，故原选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 知识点02y=ax²+k的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴 轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 【即学即练】 1．二次函数的图象是一条 ，它的对称轴为 ，它的顶点坐标为 ． 【答案】 抛物线 y轴 【分析】 【详解】解：二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴为，即y轴，它的顶点坐标为． 故答案为：①抛物线；②y轴；③． 2．二次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴抛物线过第一、二象限． 故选：A． 知识点03y=a(x-h)²的图像和性质 的符号 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 【即学即练】 1．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．与轴有两个交点 【答案】D 【详解】A.开口向下，A正确； B.对称轴是直线，B正确； C.当时，随的增大而增大，C正确； D.该函数图象的顶点为，在 x 轴上，所以图象与 x 轴只有一个交点，D不正确． 故选：D． 2．若抛物线与抛物线的形状相同，则的值为 ． 【答案】 【详解】∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴二次项系数的绝对值相等， ∴, ∴． 故答案为：． 知识点04y=a(x-h)²+k的图像和性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 【即学即练】 1．当 时，二次函数有最小值． 【答案】 【分析】 【详解】解：当时，二次函数有最小值． 故答案为：． 2．已知二次函数，可知一定正确的是（   ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其最小值为1 【答案】D 【分析】 【详解】解： 二次函数中， ，图象开口向上， 故A错误； 令得，即其图象的对称轴为直线，故B错误； 由，对称轴为直线，得抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，故C错误； 当时，y取最小值为1，故D本选项正确． 故答案为：D． 知识点05二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 的符号 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小﹔ 当时随的增大而增大 当时随的增大而增大， 当时随的增大而减小 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 【即学即练】 1．二次函数的对称轴是，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】 【详解】解：二次函数的对称轴是， 即，解得． 故选：C ． 2．已知二次函数，当随的增大而减小时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二次函数的对称轴为， 函数图象开口向上， 时，随的增大而减小． 故选：D． 知识点06二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 3.二次函数图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； 简易画法：五点定形法. 其步骤为： ①先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴． ②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与轴有两个交点时，描出这两个交点及抛物线与轴的交点，再找到点关于对称轴的对称点，将及这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与轴的交点及对称点，由三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 【即学即练】 已知二次函数 (1)补全表格，并在图中画出函数图象； x … -1 0 1 2 3 y … - (2)观察图象，写出该二次函数图象的开口方向、顶点及当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)见解析 (2)开口向上；顶点为；当时，y随x的增大而增大 【分析】 【详解】（1）从左到右依次填；如图； （2）二次函数图象开口向上；顶点为； 当时，y随x的增大而增大． 知识点07 y=ax²+k与y=a(x-h)²+k之间的平移规律 函数平移到的两种方法： ①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）； ②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）； 【即学即练】 1．把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， 故选B． 2．将抛物线向下平移5个单位长度后，得到抛物线，则 ， ． 【答案】 5 【分析】 【详解】解：∵抛物线向下平移5个单位长度后为， 且得到抛物线， ∴． ∴． 故答案为：；5． 题型01 y=ax²的图象与性质 【例1】二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 只有选项A符合， 故选：A． 【例2】如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】或或 【详解】解：当时， 把点代入，得； 把点代入，得， 如图： ∵如果抛物线与线段没有公共点， ∴a的取值范围为或． 当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点， 综上，a的取值范围是或或． 故答案为：或或． 【变式1-1】关于抛物线，给出下列说法， 其中正确的说法有（   ） ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是该抛物线上两点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 【详解】解：抛物线的开口向下，顶点在原点，所以①正确； 当时，函数值y随着x的增大而减小，所以②正确； 当时，，当时，， 所以当时，， 故③不正确； ∵点在抛物线上，可知这两个点关于对称轴对称，且对称轴是y轴， ∴，即， 所以④正确， 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 【变式1-2】在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”） 【答案】 【详解】解：由图象得，抛物线均开口向上， 越大，开口越小， ． 故答案为： ． 【变式1-3】已知抛物线，点是图象上一点． (1)求的值； (2)将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：将代入得， ； （2）解：由（1）得，点， ∵将点向右平移2个单位长度，得到点， 将代入得， ， 点在抛物线上． 题型02 y=a(x-h)²+k的图象与性质 【例3】二次函数图象的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 【例4】已知抛物线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 故答案为． 【变式2-1】将抛物线绕顶点旋转得到新的抛物线，则新的抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：将抛物线绕顶点旋转得到新的抛物线， ∴新的抛物线的顶点不变，开口大小不变，开口方向相反， ∴新的图象对应的函数表达式为． 故选：D ． 【变式2-2】抛物线经过点，且对称轴与线段有交点，点，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的对称轴与线段有交点，点，， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大为，当时，，当时，， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式2-3】如图，直线与二次函数的图象相交于两点，与轴相交于点，若，则 （1）对称轴是直线 ； （2） ． 【答案】 12 【分析】 【详解】解：设对称轴与交于点． ， ， ∴对称轴为直线，， ， ， ， 故答案为：，12． 题型03 y=ax²+bx+c的图象与性质 【例5】点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 离对称轴越远的点函数值越小， ， ， 故选：C． 【例6】初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图像时，列了如下表格： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 根据表格信息回答问题：该二次函数在时， 【答案】或 【分析】 【详解】解：观察表格可知，当或时，， 故根据二次函数图像的对称性，，是抛物线上两对称点， 即对称轴为， ∴根据对称性，与时，函数值相等，都是， ∴该二次函数在时，或， 故答案为：或． 【变式3-1】已知二次函数图象顶点的纵坐标为3，则a的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵图象顶点的纵坐标为3， ∴顶点坐标为， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-2】已知在抛物线上，则A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点的坐标为． 故选：D． 【变式3-3】已知二次函数． (1)二次函数图象的顶点坐标为_________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：函数图象过，描点连线即可； （3）解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 题型04 利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例7】已知抛物线过、两点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】 【详解】解：把、分别代入得， ， ∴ ， ∴， ∴，即． 故选C． 【例8】若二次函数的图象经过、、三点，则关于，，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线， ， 二次函数的图象开口向上， ， ． 故选：B． 【变式4-1】若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵三点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选A． 【变式4-2】二次函数的图象如图所示：若点在此函数图象上，，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：由图像可得当时，y随x的增大而增大，所以当时，． 故选：B． 【变式4-3】已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是 （请用“＜”连接）． 【答案】 【详解】解： 对称轴， ∴的对称点为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 题型05 利用二次函数的增减性求参数范围 【例9】对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴m的取值范围为． 故选：B 【例10】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：二次函数的图象经过，， 对称轴是直线． 又结合图象开口向下， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 若y随x的增大而减小，则． 故答案为：． 【变式5-1】已知抛物线 当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：抛物线的对称轴为，， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：，理由如下： ∵抛物线，当时，， ， ， ∵当时，的值随值的增大而减小， ， 解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-3】对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型06 二次函数图象与各系数符号 【例11】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为直线， 整理得，故②正确； 由图象可知，当时，即图象在x轴上方时， 或，故③错误， 由图象可知，当时，， 当时，， ， 即， 则，故④不正确； ， ， ， ， ， 即，故⑤错误． 则正确的有①②，共2个， 故选：C． 【例12】如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图像顶点为，经过点.有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ∵抛物线的顶点为，对称轴为直线， ， ， ， ， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，y随x的增大而减小，故④正确， 则正确的是①③④共3个． 故选：C． 【变式6-1】二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴正半轴， ， ∴，故①正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵图象过点， ， ， ， ∴，故②错误， 当时，函数有最大值， ， ∴（为常数），故③正确， ， ∴，故④正确， 正确的个数有3个， 故选：C． 【变式6-2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】 【详解】解：抛物线开口向下， ，故①不正确，不符合题意； 对称轴为， ，即，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为， 时，取最大值， 由可得， 当时，， 当时，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的由②③④． 故选：． 【变式6-3】已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】 【详解】解：①由图象可知：，，， ∴， ∴，故此选项正确； ②由图象可知：当时，函数值小于0，即，故此选项错误； ③由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ④由图象可知：， ∴， 由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值小于0，即， ∴，故此选项正确； ⑤由图象可知：当时，y的值最大，此时， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故此选项错误； 故①③④正确． 故答案为：①③④． 判断二次函数中各系数符号，核心是结合图象特征对应系数：先看抛物线开口方向，开口向上则、开口向下则；再看对称轴位置，结合已确定的的符号，判断的正负（如对称轴在轴左侧则同号，右侧则异号）；最后看抛物线与轴交点，交点在正半轴则、负半轴则，过原点则，若需判断等代数式，可代入等特殊值结合图象上对应点的纵坐标符号分析。 题型07 一次函数、反比例函数、二次函数图象的综合判断 【例13】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 【例14】一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，且交点在第二象限，则二次函数的大致图象是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，且交点在第二象限， ∴反比例函数图象位于第二、四象限，一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，且与y轴交于负半轴， 故选A． 【变式7-1】在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由一次函数的图象可知经过第一、三、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，故符合题意； B、由一次函数的图象可知经过第一、二、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，故该选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知经过第一、二、三象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，故该选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知经过第一、三、四象限，所以，即，则有二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，故该选项不符合题意； 故选A． 【变式7-2】二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【变式7-3】已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 先锁定一个函数（通常选系数关联简单的，如一次函数或反比例函数，根据其图象特征（如一次函数的倾斜方向、与轴交点，反比例函数的双曲线所在象限）确定核心系数（如）的符号；再将这个系数符号代入另外两个函数的系数关系中，验证其是否与对应的图象特征匹配（如二次函数的开口方向、对称轴位置），匹配则为正确选项，不匹配则排除。 题型08 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例15】已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： … 0 1 2 4 6 7 … … 0 7 … 则二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】解：观察表格，发现当和时，函数值相同为， 则两点关于对称轴对称， 则二次函数的对称轴为直线． 故选：D． 【例16】已知二次函数图象上有两点、，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】2025 【分析】 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 、是方程的两个根， ， 当时， 二次函数， ． 故答案为：2025． 【变式8-1】已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【详解】解：由表格可知点关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为直线； 故答案为． 【变式8-2】抛物线与x轴的一个交点是，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 【变式8-3】已知二次函数的图象经过两个不同的点，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵二次函数的图象经过两个不同的点，， ∴，关于直线对称， ∴， 解得， 故答案为： 题型09 根据二次函数的对称性求函数值 【例17】已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，抛物线的对称轴是y轴， 当分别取，时，函数值相等， ∴，互为相反数， ∴， 当时，． 故选：B． 【例18】二次函数的与的部分对应值如下表： -1 0 1 2 5 则当时，的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知：当或时，， ∴二次函数的对称轴为直线：， ∵时，， ∴当时，的值是5， 故选：C． 【变式9-1】如图所示，抛物线 与x轴的一个交点为，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一交点坐标为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图像与x轴的一个交点为， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即． 故答案为：． 【变式9-2】当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当或时，代数式的值相等， ∴当或时，抛物线的函数值相等， ∴以a、b为横坐标的点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， 即时，代数式的值为． 故答案为：． 【变式9-3】如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 题型10 二次函数图象的平移问题 【例19】将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得到新抛物线的解析式为：． 故选：A． 【例20】将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是： ， ∴，， 故选：． 【变式10-1】二次函数向左平移个单位，向上平移个单位得到函数解析式是 ． 【答案】 【详解】解:二次函数向左平移个单位，得到 向上平移个单位，得到 ∴函数解析式是：或． 故答案为:或． 【变式10-2】如果将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将某一抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是， 则表达式为的抛物线，左移1个单位，下移2个单位得原函数解析式为，即， 故选：C． 【变式10-3】如图，网格的每个小正方形边长均为，将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，则图中阴影部分的面积为 ； 【答案】 【详解】阴影部分是一个底为(从到)，高为（从到)的矩形， 因此阴影部分的面积为底乘以高， 即， 故答案为：． 题型11 二次函数的最值问题 【例21】已知二次函数的最小值是，那么m的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为，且函数图象开口向上， ∴函数的最小值即为， 又∵二次函数的最小值是， ∴， ∴， 故答案为：． 【例22】在平面直角坐标系中，已知二次函数（，为常数）． （1）当时，该函数图象的对称轴为直线 ； （2）当时，的最大值为；当时，的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】（1）当时，， ∴该函数图象的对称轴为直线． 故答案为：． （2）∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，且， ∴对称轴在y轴左侧． ∴，． ∴，解得（正值舍去）． ∴． 故答案为：． 【变式11-1】函数的最大值是（  ） A． B． C．0 D．5 【答案】D 【详解】解：∵函数解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 故选：D． 【变式11-2】若当时， 二次函数的最小值为0．则m = ． 【答案】或 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线： 若 ，则 当时，y有最小值，解得：或，都不合题意，舍去， 若，在时， y随x的增大而减小， 时，y有最小值， 解得：， 若，在时， y随x的增大而增大， 时，y有最小值， 解得：（不合题意，舍去）， 若 ，在时， 当时，y有最小值，解得：（不合题意，舍去）或， 综上：或， 故答案为：或． 【变式11-3】已知二次函数（是常数）． (1)求证：无论为何值，该二次函数图象恒过一定点； (2)若该抛物线的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】 【详解】（1）证明：二次函数 ， 当时，， 所以无论为何值，该二次函数图象恒过一定点． （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ①当时，在内，随的增大而减小， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为4， ∴，即，方程没有实数根，舍去； ②当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差为，舍去； ③当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴此时二次函数的最大值为，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为4， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， 综上，的值为1． 题型12 根据二次函数的对称性求最短路径 【例23】如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：对于抛物线，当时，， ∴， ∵， ∴， 过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，    由对称可得，， ∴， 当点共线时，取得最小值，此时与重合， 设直线， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴， ∴此时， 故选：A． 【例24】抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得， ∴． 连接交直线于点，如下图 ∵， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【变式12-1】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 【变式12-2】如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，连接， 抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长， ∵抛物线过点， ∴，解得：， 把代入，解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：在，当时，， ， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， 关于对称轴对称， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点P为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ， ∴，， ∴． 一、单选题 1．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 故选：C． 2．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：直线与四个二次函数的图象的交点分别为； 由图像可知：； 故选：D 3．已知，，是二次函数图象上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向下， 点，，均在二次函数图象上， 且 ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∴， 故选：D． 4．抛物线可由抛物线平移得到，正确的平移过程应该是 （    ） A．先向左平移个单位，再向上平移个单位 B．先向右平移个单位，再向下平移个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移个单位 D．先向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移个单位得到抛物线； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位得到抛物线， ∴平移过程为：先向右平移个单位，再向上平移2个单位， 故选：． 5．在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，则二次函数开口向上，一次函数图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当时，则二次函数开口向下，一次函数图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C． 6．已知抛物线，若将此抛物线绕点顺时针旋转，那么所得新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， 将此抛物线绕点顺时针旋转， 新的顶点坐标为， 故新的抛物线的解析式为． 故选：A． 7．如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∵对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故①②错误； 由函数图象可知，当时，，故③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当时，，即， ∴， ∵，对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有1个， 故选：A． 二、填空题 8．已知抛物线与的形状相同，并且时，随的增大而减小，抛物线的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴， ∵在中，时，随的增大而减小，且对称轴为轴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 9．抛物线关于y轴对称后的新抛物线表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴该抛物线关于y轴对称后的新抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴该抛物线关于y轴对称后的新抛物线表达式为， 故答案为：． 10．若二次函数的图象的对称轴为直线，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴，且， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 11．已知二次函数，当时函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，为最小值， 解得舍或， 当时，时，为最小值， 解得或舍， 故答案为：或． 三、解答题 12．已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵，且 ∴二次函数的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：， 列表如下： 0 2 4 6 0      0 图象如下： 13．问题背景：对于一个函数，如果存在时，，那么我们称点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称点为该函数图象上的一个不动点．探究 (1)若点是一次函数的不动点，求的值； (2)求二次函数图象的不动点； (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）解：点是一次函数的不动点， ， 解得：， 点的坐标为， 将代入得： ， 解得：； （2）解：根据题意联立得：， 解得，； 二次函数图象的不动点分别是：，； （3）解：， 则二次函数的顶点为， 根据题意可得，即． 14．在二次函数中． (1)若它的图象过点，则的值为多少？ (2)当，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：把点代入二次函数式中，得：， 解得：； （2）解：，则抛物线的对称轴为直线， 当时，当，则函数值随自变量的增大而减小，函数在取得最小值， ∴， 解得：， 但， 故不符合题意； 当时，当，函数在顶点处取得最小值， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上所述，； （3）解：根据A、C两点的坐标知，A、C关于抛物线的对称轴对称， 则，且点A在抛物线对称轴的左侧，点C在抛物线对称轴的右侧， ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点为，此点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，A、B两点在抛物线对称轴的左侧， ∴， 即， 解得：； 当时，C、B两点在抛物线对称轴的右侧， ∴， 即， 解得：； 综上，或． 15．如图，点为抛物线上一点，过点的直线（不与轴平行）与拋物线有唯一公共点． (1)求直线的解析式； (2)平移直线交抛物线于A，B两点，交轴于点，若点为的中点，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为． 【分析】 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， ， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线的方程得： ∴， ∴， 直线与抛物线有唯一公共点， ， 解得：， 将代入，可得：， 直线的解析式为； （2）解：∵直线直线， ∴可设直线为， 联立， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $